Câmp scalar

Format:Deznotă În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

$\phi :D\to ℝ,\phi (P)=\phi (x_1,x_2,\cdots ,x_n),(\mathrm{\forall })P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D,$

unde  $D\subseteq E^n.$

Suprafață de nivel

Dându-se un punct fix  $P_0,$  suprafața de ecuație:

$\phi (P)=\phi (P_0)$

se numește suprafață de nivel a câmpului  $\phi (P),$  atașată punctului  $P_0.$

Exemplu

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin  $\phi (\overrightarrow{r})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{r},$  unde  $\overrightarrow{a}$  este un vector unitar constant, iar  $\overrightarrow{r}$  este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{r}=C,$

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe  $\overrightarrow{a}.$ 

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul  $A(1,2,3)$  este planul perpendicular pe  $\overrightarrow{a}$  și care are ecuația:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b},$  unde  $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}.$ 

Derivata după o direcție

Fie o curbă  $(\mathrm{\Gamma })$  care trece printr-un punct  $P_0.$  Dacă există limita:

$\underset{P\to P_0}{\lim }\frac{\phi (P)-\phi (P_0)}{l_{P_{0}P}}={\left(\frac{d\phi }{d\overrightarrow{t}}\right)}_{P_0}$

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor  $\overrightarrow{t}$  în punctul  $P_0,$ 

unde  $\overrightarrow{t}$  este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar  $l_{P_{0}P}$  este abscisa curbilinie a punctului  $P$  față de  $P_0.$ 

Notând cu  $\overrightarrow{n}$  versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin  $P_0$  și cu  $\theta$  unghiul dintre  $\overrightarrow{t}$  și  $\overrightarrow{n},$  există relația:

${\left(\frac{d\phi }{d\overrightarrow{t}}\right)}_{P_0}={(\frac{d\phi }{d\overrightarrow{n}}\cdot \cos \theta .)}_{P_0}$

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

${\left(\frac{d\phi }{d\overrightarrow{n}}\right)}_{P_0}=\sqrt{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x_0}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y_0}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial z_0}\right)}^2}.$

Dacă  ${\phi }_h(P),(h=1,2,\cdots ,n),$  sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția  $F({\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_n),$  atunci:

$\frac{dF}{d\overrightarrow{t}}=\sum _{h=1}^n\frac{\partial F}{\partial {\phi }_h}\cdot \frac{\partial {\phi }_h}{\partial \overrightarrow{t}}.$

Exemplu

Pentru calculul derivatei lui  $\mathrm{\Phi }=x^{2}yz+4x{z}^2$  în punctul  $A(1,2,-1)$  și după direcția  $2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$  se fac calculele:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(x^{2}yz+4x{z}^2)=(2xyz+4z^2)\overrightarrow{i}+x^{2}z\overrightarrow{j}+(x^{2}y+8xz)\overrightarrow{k},$

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Phi }}_A=0\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-6\overrightarrow{k}.$

Vectorul unitar în direcția  $2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$  este:

$\overrightarrow{a}=\frac{2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{i}-\frac{1}{3}\overrightarrow{j}-\frac{2}{3}\overrightarrow{k}.$

Deci:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }\cdot \overrightarrow{a}=(0\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-6\overrightarrow{k})\cdot (\frac{2}{3}\overrightarrow{i}-\frac{1}{3}\overrightarrow{j}-\frac{2}{3}\overrightarrow{k})=\frac{13}{3}.$

Gradientul unui câmp scalar

Dacă  $\alpha ,\beta ,\gamma$  sunt componentele versorului  $\overrightarrow{t},$  în cazul unui spațiu tridimensional:

${\left(\frac{d\phi }{d\overrightarrow{t}}\right)}_{P_0}=\alpha \frac{\partial \phi }{\partial x_0}+\beta \frac{\partial \phi }{\partial y_0}+\gamma \frac{\partial \phi }{\partial z_0}.$

Vectorul de componente  $\frac{\partial \phi }{\partial x_0},\frac{\partial \phi }{\partial y_0},\frac{\partial \phi }{\partial z_0}$  se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil  $\phi (P)$  în punctul  $P_0\in D$  și se notează  $(grad\phi {)}_{P_0}.$ 

Există relațiile:

$grad\phi =\frac{d\phi }{d\overrightarrow{n}}\cdot \overrightarrow{n}$

$gradF({\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_n)=\sum _{h=1}^n\frac{\partial F}{\partial {\phi }_h}\cdot grad{\phi }_h.$

Operatorul diferențial vectorial:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}==\overrightarrow{i}\frac{\partial }{\partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial }{\partial y}+\overrightarrow{k}\frac{\partial }{\partial z}$

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

$grad\phi =\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\phi ,\frac{d\phi }{d\overrightarrow{t}}=(\overrightarrow{t}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\cdot \phi .$

Derivata în raport cu un vector

Fie  $\overrightarrow{u}$  un vector de mărime u și versor  ${\overrightarrow{u}}_0,$  adică  $\overrightarrow{u}=u\cdot {\overrightarrow{u}}_0.$  Dacă se notează  $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=u({\overrightarrow{u}}_0\cdot \dot{\mathrm{\nabla }})$  atunci expresia:

$(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\phi =u\cdot \frac{d\phi }{d{\overrightarrow{u}}_0}$

se numește derivata funcției  $\phi (P)$  în raport cu vectorul  $\overrightarrow{u}.$

Vezi și

• Câmp vectorial