Vizualizare sursă pentru „Teorema fundamentală a calculului integral”

'''Teorema fundamentală a calculului integral''' specifică relația dintre cele două operații de bază ale [[Calcul integral|calculului integral]], [[derivată|derivarea]] și [[Integrală|integrarea]].

Prima parte a teoremei, numită uneori prima [[teoremă]] fundamentală a calculului integral, arată că o [[integrală nedefinită]]<ref>
Mai precis, teorema tratează [[integrala|integrarea definită]] cu limită superioară variabilă și limită inferioară constantă arbitrară. Acest tip particular de integrală definită ne permite să calculăm una din infinit de multele [[Primitivă|primitive]] ale unei funcții (cu excepția celor care nu au un zero). Deci este aproape echivalentă cu o [[integrală nedefinită]], definită de majoritatea autorilor ca o operație care dă una din posibilele primitive ale unei funcții, inclusiv cele fără vreun zero.</ref> poate fi inversată prin derivare.

Partea a doua, uneori numită a doua teoremă fundamentală a calculului integral, permite calcularea [[Integrală|integralei definite]] a unei funcții folosind oricare din infinit de multele [[primitive]] ale acesteia. Această parte din teoremă simplifică calculul integralelor definite.

Prima formulare și [[demonstrație]] publicată a unei versiuni restrânse a acestei teoreme a fost dată de [[James Gregory]] (1638-1675).<ref>
Vezi, de exemplu, Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, ''Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History'', [[Mathematical Association of America]], 2004, [http://books.google.com/books?vid=ISBN0883855461&id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA114&lpg=PA114&ots=Z01TZKrQXY&dq=%22james+gregory%22+%22fundamental+theorem%22&sig=6xDqL0oNAhWw66IqPdI5fQX7euA p. 114].
</ref> [[Isaac Newton]] (1643–1727) și [[Gottfried Leibniz]] (1646–1716) au dezvoltat independent unul de altul forma finală a teoremei.

== Intuitiv ==
Intuitiv, teorema afirmă doar că suma unor variații [[infinitezimal]]e ale unei cantități în timp constituie variația netă a acelei cantități.

Pentru a înțelege această afirmație, vom da un exemplu. Să presupunem că o particulă se deplasează în linie dreaptă cu poziția dată de ''x''(''t'') unde ''t'' este timpul. Derivata acestei funcții este egală cu variația infinitezimală a poziției, d''x'', pentru o variație infinitezimală a timpului, d''t'' (bineînțeles, derivata însăși depinde de timp). Să definim această variație a distanței pe variația de timp ca viteza ''v'' a particulei. În [[Notație Leibniz|notația lui Leibniz]]:

:<math>\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = v(t). </math>

Rearanjând această [[ecuație]], rezultă că:

:<math>\mathrm dx = v(t)\,\mathrm dt. </math>

Prin logica de mai sus, o variație a lui ''x'', notată <math>\Delta x</math>, este suma modificărilor infinitezimale d''x''. Ea este egală și cu suma produselor infinitezimale ale derivatei și timpului. Această adunare infinită se numește integrare; deci, operația de integare permite recuperarea funcției originale din derivata ei. De aici se poate deduce că această operație funcționează și invers, derivând rezultatul integralei pentru a obține derivata originală.

== Enunțuri ==
Teorema fundamentală a calculului integral are două părți. Prima parte se ocupă de derivata unei [[primitive]], iar a doua parte se ocupă de relația dintre primitivă și [[integrala definită]].

=== Prima parte ===

Această parte este numită uneori ''Prima teoremă fundamentală a calculului integral''.

Fie ''f'' o [[funcție continuă]] cu valori reale definită pe un [[interval (matematică)|interval]] închis [''a'', ''b'']. Fie ''F'' funcția definită, pentru fiecare ''x'' din [''a'', ''b''], prin
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, \mathrm dt</math>
Atunci, oricare ar fi ''x'' din [''a'', ''b''],
:<math>F'(x) = f(x)\,</math>.

Operația <math>\int_a^x f(t)</math> este o [[integrală definită]] cu limită superioară variabilă, și rezultatul său ''F''(''x'') este una din infinit de multele [[primitive]] ale lui ''f''.

=== Partea a doua ===

Această parte este uneori numită ''A doua teoremă fundamentală a calculului integral''.

Fie ''f'' o funcție continuă cu valori reale definită pe un [[interval închis]] [''a'', ''b'']. Fie ''F'' o [[primitivă]] a lui ''f'', adică una din infinit de multele funcții cu proprietatea că, oricare ar fi ''x'' din [''a'', ''b''],
:<math>f(x) = F'(x)\,</math>.
Atunci:

<table>
<tr><td width="50"> </td><td width="200"><div style="text-align:center"><table border="1">
<tr><td width="100"><div style="text-align:center"><math> \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a) </math></div> </td> </tr>
</table></div> </td> </tr>
</table>

Acest rezultat este cunoscut sub denumirea de ''formula [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]]-[[Isaac Newton|Newton]]''.

== Corolar ==
Fie ''f'' o funcție cu valori reale definită pe un [[interval închis]] [''a'', ''b'']. Fie ''F'' o funcție astfel încât, oricare ar fi ''x'' din [''a'', ''b''],
:<math>f(x) = F'(x)\,</math>
Atunci, oricare ar fi ''x'' din [''a'', ''b''],
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm dt + F(a)</math>
și
:<math>f(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \int_a^x f(t)\,\mathrm dt</math>.

== Exemple ==
De exemplu, să presupunem că trebuie să se calculeze

:<math>\int_2^5 x^2\, \mathrm dx. </math>
 
Aici, <math>f(x) = x^2</math> și putem folosi <math>F(x) = {x^3\over 3} </math> ca primitivă. Deci:

:<math>\int_2^5 x^2\, \mathrm dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.</math>

Sau, mai general, să presupunem că trebuie să se calculeze

:<math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \int_0^x t^3\, \mathrm dt. </math>

Aici, <math>f(t) = t^3</math> și putem folosi <math>F(t) = {t^4 \over 4} </math> ca primitivă. Astfel:

:<math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \int_0^x t^3\, \mathrm dt = {\mathrm d \over \mathrm dx} F(x) - {\mathrm d \over \mathrm dx} F(0) = {\mathrm d \over \mathrm dx} {x^4 \over 4} = x^3.</math>

Dar acest rezultat putea fi găsit mult mai ușor ca

:<math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \int_0^x t^3\, \mathrm dt = f(x) {\mathrm dx \over \mathrm dx} - f(0) {\mathrm d0 \over \mathrm dx} = x^3.</math>

== Demonstrație ==

Să presupunem că
:<math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm dt.</math>

Fie două numere ''x''<sub>1</sub> și ''x''<sub>1</sub> + Δ''x'' din [''a'', ''b'']. Deci avem
:<math>F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt</math>
și
:<math>F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt.</math>

Scăzând cele două ecuații
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt. \qquad (1)</math>

Se poate arăta că
:<math>\int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt. </math>
:(Suma ariilor a două regiuni adiacente este egală cu aria combinată a ambelor regiuni combinate.)

Manipularea acestei ecuații produce
:<math>\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt. </math>

Înlocuind aceasta de mai sus în (1) rezultă
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t)\mathrm dt. \qquad (2)</math>

Conform cu [[teorema valorii medii]] pentru integrare, există un ''c'' din [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''] astfel încât
:<math>\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt = f(c) \Delta x </math>.

Înlocuind aceasta în (2) obținem
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,</math>.

Împărțind ambele părți la un Δ''x'' obținem
:<math>\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c). </math>

Mergând la limită când Δ''x'' → 0 în ambele părți ale ecuației,
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). </math>

Expresia din partea stângă a ecuației este definiția derivatei lui ''F'' în ''x''<sub>1</sub>.
:<math>F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3) </math>

Pentru a găsi cealaltă limită, vom folosi [[Teorema cleștelui|teorema cleștelui]]. Numărul ''c'' este din intervalul [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''], astfel că ''x''<sub>1</sub> ≤ ''c'' ≤ ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''.

De asemenea, <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1</math> and <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1</math>.

Deci, conform teoremei cleștelui,
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1.</math>

Înlocuind în (3), rezultă
:<math>F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c).</math>

Funcția ''f'' este continuă în ''c'', deci limita poate fi introdusă în cadrul funcției. Deci rezultă
:<math>F'(x_1) = f(x_1) \,</math>.

ceea ce încheie demonstrația.

<small>(Leithold et al, 1996)</small>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* Larson, Ron,  Bruce H. Edwards, David E. Heyd. ''Calculus of a single variable''. 7th ed.  Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
* Leithold, L. (1996). ''The calculus 7 of a single variable''. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
* Malet, A,  ''Studies on James Gregorie (1638-1675)'' (PhD Thesis, Princeton, 1989).
* Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In ''Calculus: early transcendentals''. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
* {{citat carte | last=Dahlquist | first=Germund | others=Björck, Åke | title=Numerical Methods in Scientific Computing | publisher=[[SIAM]] | location=Philadelphia | url=http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | chapter=Chapter&nbsp;5: Numerical Integration | access-date=2008-03-04 | archive-date=2007-06-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070615185623/http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | dead-url=yes }}
* {{citat carte | last=Stoer | first=Josef | others=Bulirsch, Roland | year=2002 | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=3rd | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | chapter=Chapter&nbsp;3: Topics in Integration | isbn=978-0-387-95452-3 }}.
* {{citat carte | last=Kahaner | first=David | others=Moler, Cleve; Nash, Stephen| title=Numerical Methods and Software | year=1989 | publisher=[[Prentice Hall]] | chapter=Chapter&nbsp;5: Numerical Quadrature | isbn=978-0-13-627258-8 }}
* Turnbull, H W (ed.), ''The James Gregory Tercentenary Memorial Volume'' ([[Londra|London]], 1939)

[[Categorie:Calcul integral]]
[[Categorie:Teoreme matematice|Fundamentală a calculului integral]]