Vizualizare sursă pentru „Subspațiu ortogonal”

În [[algebră liniară|algebra liniară]], pentru un subspațiu ''W'' al unui [[spațiu vectorial]] ''V'', se numește '''subspațiu ortogonal''' (sau '''complement ortogonal''') al acestuia, o [[mulțime]] ''W''<sup>⊥</sup> care posedă proprietatea că orice [[vector]] al acesteia este [[ortogonalitate|ortogonal]] pe orice vector din ''W''.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei [[bază algebrică|baze]] a subspațiului.


''Propoziție''.
Fie ''W'' un subspațiu vectorial al [[spațiu vectorial|spațiului vectorial]] ''V'', <math> B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n  \} </math> o [[bază algebrică|bază]] a lui ''W'' și '''x''' un [[vector]] oarecare din ''V''.
Atunci:
::<math> x \perp W \; \Leftrightarrow \; x \perp e_j, \; \forall j= 1, 2, \cdots , m. </math>

''Demonstrație''.
* Faptul că <math> x \perp W \; \Rightarrow \; x \perp e_j, \; \forall j= 1, 2, \cdots , n</math> este evident deoarece din <math> x \perp W </math> rezultă <math> x \perp e_j, \; \forall j = 1, 2, \cdots , n \;</math> căci <math> e_j \in W. </math>
* Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că <math> x \perp e_j, \; \forall  j = 1, 2, \cdots , n . \;</math> Trebuie demonstrat că <math> \langle x, y \rangle = 0, \;  </math> oricare ar fi vectorul <math> y \in W. </math> Cum orice vector <math> y \in W </math> se scrie în baza ''B'' sub forma <math> y = \sum_{j=1}^n y_j e_j, \; </math> se obține <math> \langle x, y \rangle = \langle x, \sum_{j=1}^n y_j e_j \rangle = \sum_{j=1}^n y_j  \cdot \langle x, e_j \rangle =0. </math>

== Teorema subspațiului ortogonal ==
'''Teoremă'''.
Fie ''V'' un spațiu euclidian și ''W'' un subspațiu finit dimensional al acestuia.
Atunci <math> V= W \oplus W^{\perp}. </math>

''Demonstrație''.
Se arată că orice vector <math> x \in V </math> se scrie în mod unic sub forma <math> x= u+w \; </math> cu <math> \; w \in W \; </math> și <math>u \in W^{\perp}. \; </math>
Subspațiul ''W'' fiind finit dimensional, se notează cu ''n'' dimensiunea sa și se consideră o [[bază ortonormată]] <math> B =\{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \; </math> a lui ''W''.

Fie ''x'' un [[vector]] oarecare din ''V''.
Vectorul ''w'' definit prin:
::<math> w = \langle x, e_1  \rangle \cdot e_1 +\langle x, e_2  \rangle \cdot e_2 + \cdots +\langle x, e_n  \rangle \cdot e_n + </math>
aparține subspațiului ''W''.

Se notează <math> u= x-w </math> și se demonstrează că <math> u \in W^{\perp}. </math>
În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că <math> u \perp e_j, \; j= 1,2, \cdots , n. </math>

::<math> \langle u, e_j \rangle = \langle x- w, \; e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle - \langle x, e_1 \rangle  \cdot \langle  e_1 , e_j \rangle -  \langle x, e_2 \rangle  \cdot \langle  e_2 , e_j \rangle - \cdots </math> 
::<math> \cdots - \langle x, e_n \rangle  \cdot \langle  e_n , e_j \rangle =  \langle x, e_j \rangle - \langle x, e_j \rangle = 0   \; \Rightarrow \; u \in W^{\perp}.</math>

Deci <math> x= w+u \; </math> &nbsp; cu &nbsp; <math>\;  w \in W </math> &nbsp; și &nbsp; <math> u \in W^{\perp} \; \Rightarrow \; V = W+ W^{\perp}. </math>

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că &nbsp; <math> W \cap W^{\perp} = \{ 0 \}.  </math>

Fie &nbsp; <math> x \in W \cap W^{\perp}, \; \; \langle x,x \rangle = 0 \; \Rightarrow \; x=0 \; \Rightarrow \; W \cap W^{\perp} = \{ 0 \}. </math>


'''Corolar'''.
Dacă ''V'' este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice ''W'' subspațiu vectorial al lui ''V'', atunci are loc descompunerea &nbsp; <math> V = W \oplus W^{\perp}. </math>

== Exemple ==
* În <math> \mathbb R^2: </math> &nbsp; <math> W = \{ (x,0) | \; x \in \mathbb R \}, \; W^{\perp} = \{ (0, y) | \; y \in \mathbb R \}, \; \mathbb R^2 = W \oplus W^{\perp}. </math>
* În <math> \mathbb R^3: </math> &nbsp; <math> W = \{ (x,y,0) | \; x, y \in \mathbb R \}, \; W^{\perp} = \{ (0,0, z) | \; z \in \mathbb R \}, \; \mathbb R^3 = W \oplus W^{\perp}. </math>

== Vezi și ==
* [[Bază ortonormată]]

[[Categorie:Algebră liniară]]
[[Categorie:Analiză funcțională]]