Vizualizare sursă pentru „Spațiu Banach”

{{referințe|date=aprilie 2023}}[[Fișier:Spaţii abstracte.png|thumb|right|300px|Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.]]
În [[analiză matematică|analiza matematică]], un '''spațiu Banach''' este un [[spațiu vectorial normat]] [[Spațiu complet|complet]], adică în care orice [[șir Cauchy]] este [[șir convergent|convergent]].

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez [[Stefan Banach]] ([[1892]]-[[1945]]).

== Definiție ==
În teoria [[spațiu liniar|spațiilor liniare]] [[normă (matematică)|normate]], cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de [[Spațiu complet|completitudine]].

Noțiunea de completitudine este bazată pe cea de [[șir Cauchy]]: un șir <math> \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} </math> de elemente dintr-un spațiu liniar normat <math> \left ( X,\, \|\cdot\| \right ) </math> se numește ''șir Cauchy'' dacă oricare ar fi <math> \varepsilon >0, </math> există un indice <math> N(\varepsilon) </math> astfel încât <math>n, m \ge N(\varepsilon) </math> implică <math> \| x_n - x_m  \| < \varepsilon. </math>

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy, dar reciproc nu este adevărat în general. Spațiile Banach sunt spațiile în care este cazul.

{{Math theorem|Definiție|
Un spațiu liniar normat {{mvar|X}} în care oricare șir Cauchy este convergent se numește ''spațiu liniar normat complet'' sau ''spațiu Banach''.}}

== Exemple de spații Banach ==
Prin [[Normă (matematică)#Proprietăți|echivalența normelor în dimensiune finită]], oricare [[spațiu vectorial normat|spațiu liniar normat]] finit-dimensional este spațiu Banach.

Un alt exemplu important de spațiu Banach este [[spațiu ℓp|spațiul {{math|''ℓ''{{sup|''p''}}}}]] al șirurilor {{mvar|p}}-absolut sumabile, cu <math>p \geq 1</math>.

{{math_theorem|
Fie <math>\mathbb K</math> [[corp comutativ]] complet și fie <math>p \ge 1.</math> Fie spațiul liniar normat <math> \left ( \ell^p_{\mathbb K},\, \| \cdot \|_p \right )</math> al șirurilor <math> x= \{ \alpha_j \}^{\infty}_{j=1} </math> din <math> \mathbb K </math> astfel încât seria <math> \textstyle \sum_j |\alpha_j|^p </math> este convergentă, unde norma este definită de:
:<math> \|x\|_p= \left ( \sum_{j=1}^{\infty} |\alpha_j|^p  \right )^{1/p}.</math>
Atunci <math> \left ( \ell^p_{\mathbb K},\, \| \cdot \|_p \right ) </math> este spațiu Banach.}}
{{Math proof| Faptul că <math> x \mapsto \| x \|_p </math> este normă, rezultă din [[inegalitatea lui Minkowski]] pentru sume finite.

Fie <math>\{ x_n \}^{\infty}_{n=1}</math> un [[șir Cauchy]] din spațiul <math>\ell^p_{\mathbb K},</math> unde <math>x_n = \{  \alpha_{nj} \}^{\infty}_{j=1},</math> și fie <math> \varepsilon >0.</math> Atunci există un număr natural <math> k_{\varepsilon} </math> astfel încât <math> \| x_n- x_m \|_p < \varepsilon</math> pentru orice <math>n,m > k_{\varepsilon}</math> — adică <math>\textstyle \sum_{j=1}^{\infty} | \alpha_{nj} - \alpha_{mj}  |^p <  \varepsilon^p.</math> În particular, pentru orice <math>j \geq 1</math>, <math>| \alpha_{nj} - \alpha_{mj}  | <  \varepsilon</math> dacă <math>n,m > k_{\varepsilon},</math> de unde rezultă că șirul <math>\{\alpha_{nj}\}_{n = 1}^{\infty}</math> este Cauchy. Prin complitudinea lui <math>\mathbb K</math>, există <math>\textstyle \alpha_j = \lim_n \alpha_{nj} \in \mathbb{K}.</math> Fie atunci <math>x = \{\alpha_j\}_{j =1}^{\infty}.</math>
Rezultă că pentru orice <math>n>k_{\varepsilon},</math>
:<math> \sum_{j=1}^{\infty} |\alpha_{nj} - \alpha_{j}|^p < \varepsilon^p,</math>
de unde se deduce că:
# <math>x_n - x \in \ell^p_{\mathbb K},</math> iar spațiul <math>\ell^p_{\mathbb K}</math> fiind liniar, <math> x \in \ell^p_{\mathbb K}; </math>
# Pentru orice <math>n>k_{\varepsilon},</math> <math> \| x_n - x \|_p < \varepsilon.</math>

În concluzie, pentru orice șir Cauchy <math>\{ x_n \}^{\infty}_{n=1}</math>, există <math> x \in \ell^p_{\mathbb K}</math> astfel încât <math>\textstyle x= \lim_n x_n</math> — adică spațiul <math> \left ( \ell^p_{\mathbb K},\, \| \cdot \|_p \right )</math> este complet.}}

Mai general, [[Spațiu Lp|spațiul {{math|''L''{{sup|''p''}}}}]] al funcțiilor {{mvar|p}}-integrabile este Banach dacă <math>p \geq 1</math>.

== Proprietăți ==
{{Math theorem|
Oricare subspațiu liniar [[mulțime închisă|închis]] al unui spațiu Banach este spațiu Banach.}}
{{Math proof|
Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach.
Deoarece subspațiul este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul este complet.}}

{{Math theorem|
Dacă <math> X_1, X_2, \cdots , X_n </math> sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs <math>\textstyle X = \prod_{k=1}^n X_k</math> este de asemenea un spațiu Banach.}}
{{Math proof|
Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului <math>\textstyle X = \prod_{k=1}^n X_k</math>

Fie <math>\{  x^m \}_{m=1}^{\infty} </math> un șir Cauchy din spațiul {{mvar|X}}, unde <math>x^m= \left ( x_{m1}, x_{m2} , \cdots , x_{mn} \right ), \; (m=1,2,3, \cdots ). </math>

Pentru fiecare <math> \varepsilon >0, </math> există <math> N_{\varepsilon} </math> astfel încât <math> \| x^i - x^k \| < \varepsilon , \; (j, k > N_{\varepsilon}), </math> de unde rezultă că  <math> \| x_{ji} - x_{ki} < \varepsilon \|, \; (i= 1,2, \cdots , n ; \; j,k > N_{\varepsilon}). </math>
Atunci există <math> x_i \in X_i, \; i=1,2, \cdots , n, </math> astfel încât <math> x_i = \lim_{k \to \infty} x_{ki}. </math>
Deci <math> \| x_{ji} - x_i \| \le \varepsilon \; (i=1,2, \cdots , n; \; j> N_{\varepsilon}). </math>

Se notează <math> x= (x_1, x_2, \cdots , x_n). </math>
În concluzie, oricare ar fi <math> \varepsilon >0,  </math> există <math> N_{\varepsilon} </math> astfel încât <math> \| x^j-x \| \le \varepsilon \; (j> N_{\varepsilon}), </math> adică <math>\textstyle \lim_{m \to \infty} x^m = x. </math>}}

{{Math theorem|name=Teoremă|note=echivalența spațiilor Banach|
Dacă normele <math> \| \cdot \|^{\prime} </math> și <math> \| \cdot \|^{\prime \prime} </math> definite în spațiul liniar {{mvar|L}} sunt [[Normă (matematică)#Definiție|echivalente]], atunci spațiul liniar normat <math>(L,\, \| \cdot \| ^{\prime}) </math> este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat <math>(L,\, \| \cdot \| ^{\prime \prime})</math> este spațiu Banach.}}
{{Math proof|
Fie <math>c_1>0, \; c_2>0 </math> două constante alese astfel ca <math>  \| x \| ^{\prime \prime} \le c_1 \| x \| ^{\prime}, \; \| x \| ^{\prime } \le c_1 \| x \| ^{\prime \prime} \; (x \in L). </math>
Fie, în continuare, <math>N_1 = (L,\, \| \cdot \|^{\prime})</math> spațiu Banach și <math> (x_n)^{\infty}_1 </math> un șir Cauchy în <math> N_2 = (L,\, \| \cdot \|^{\prime \prime}).</math>
Pentru numărul <math>\varepsilon >0 </math> există <math> n_0 \in \mathbb N </math> astfel încât pentru orice <math> m, n \in \mathbb N; \; m,n \ge n_0 </math> există relația <math>\textstyle\| x_n - x_m \| ^{\prime \prime} < \frac {\varepsilon}{c_2}. </math>
Se obține <math>\textstyle \| x_n - x_m \| ^{\prime}< c_2 \cdot \frac {\varepsilon}{c_2} = \varepsilon \; (n, m \ge n_0).</math>
Prin urmare șirul <math> (x_n)^{\infty}_1 </math> este Cauchy în <math> N_1 </math> și întrucât spațiul <math> N_1 </math> este complet, <math> (x_n)^{\infty}_1 </math> este convergent în <math> N_1. </math>
Fie <math>\textstyle x= \lim_{n \to \infty} x_n </math> în <math> N_1, </math> adică <math> \| x_n -x \|^{\prime} = 0. </math>
Însă <math>\textstyle \lim_{n \to \infty} \| x_n -x \|^{\prime \prime} \le \lim_{n \to \infty} c_1  \| x_n -x \|^{\prime}=0 </math> și deci șirul <math> (x_n)^{\infty}_1 </math> este convergent în <math> N_2. </math>
În consecință, spațiul <math> N_2 </math> este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele <math> \| \cdot \| ^{\prime}</math> și <math> \| \cdot \| ^{\prime \prime}</math> se obține că dacă <math> N_2 </math> este spațiu Banach atunci și <math> N_1 </math> este spațiu Banach.}}

== Serii în spații Banach ==

O proprietate utilă a seriilor [[număr real|numerice]] este că orice serie absolut convergentă este convergentă. Deoarece această proprietate se generalizează la spații Banach, aceștia oferă un cadru natural pentru studiul seriilor generale.

=== Serii convergente și absolut convergente ===

Fie <math> (X,\, \| \cdot\|) </math> un [[spațiu vectorial normat|spațiu liniar normat]], <math> \{ x_n \}^{\infty}_{n=1} </math> un șir de elemente din <math> X </math> și, pentru orice <math>n \geq 1,\, s_n=x_1+x_2+ \cdots + x_n.</math>
Dacă există <math>\textstyle \lim_{n \to \infty}s_n = s \in X,</math> atunci seria <math>\textstyle \sum_n s_n </math> se numește ''serie convergentă''.
Dacă seria numerică <math>\textstyle \sum_n \| x_n \| </math> este convergentă, atunci seria <math>\textstyle \sum_n x_n </math> se numește ''absolut convergentă''.

=== Convergența absolută implică convergența ===

{{Math theorem|
Un spațiu liniar normat <math>(X,\, \| \cdot\|)</math> este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.}}
{{Math proof|
Fie <math> X </math> un spațiu vectorial normat și fie <math>\textstyle \sum_n x_n </math> o serie absolut convergentă. Fie <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^{n} x_k</math> și <math>\textstyle\sigma_n = \sum_{k=1}^{n} \| x_k \|</math> șirurile sumelor parțiale. Prin [[inegalitatea triunghiului]], <math> \| s_n - s_m \| \le |\sigma_n - \sigma_m|. </math>

Deci dacă <math> \{ \sigma_n \}_{n=1}^{\infty} </math> este șir Cauchy, atunci și <math> \{ s_n \}^{\infty}_{n=1} </math> este șir Cauchy.
Prin urmare, spațiul liniar normat {{mvar|X}} fiind complet, există <math>\textstyle \lim_{n \to \infty} s_n = s \in X, </math> adică seria <math>\textstyle \sum x_n </math> este convergentă.

Reciproc, fie <math> \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} </math>un șir Cauchy în {{mvar|X}}.
Atunci există un subșir <math> \{ x_{k_n} \}_{n=1}^{\infty} </math> astfel încât <math>\textstyle \| {x_k}_{n+1} - x_{k_n} \|< 2^{-(n+1)}.</math>
Rezultă că seria <math>\textstyle\sum_n \| x_{k_{n+1}} - x_{k_n} \|</math> este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria <math>\textstyle \sum_n \left ( x_{k_{n+1}} - x_{k_n} \right ) </math> este convergentă.
Se notează <math>\textstyle x=x_{k_1} + \sum_{n=1}^{\infty} \left ( x_{k_{n+1}} - x_{k_n}  \right ). </math>
Deoarece:
:<math> x_{k_1} + \sum_{n=1}^{\infty} \left ( x_{k_{n+1}} - x_{k_n} \right ) = x_{k_m}, \; \; (m \ge 2), </math>
rezultă că subșirul <math>\textstyle \{ x_{k_n} \}_{n=1}^{\infty} </math> al șirului <math> \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} </math> este convergent.
Prin urmare, șirul <math> \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} </math> este convergent.}}

== Vezi și ==
* [[Spațiu vectorial normat]]
* [[Spațiu complet]]
* [[Spațiu Lp]]

==Legături externe==
* {{Commonscat-inline}}
* {{springer|title=Banach space|id=p/b015190}}
* {{MathWorld|BanachSpace|Banach Space}}
{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Algebră liniară]]
[[Categorie:Analiză funcțională]]