Vizualizare sursă pentru „Serie de puteri”

În [[matematică]], o '''serie de puteri''' (de o singură [[variabilă]]) este o [[serie (matematică)|sumă infinită]] de forma:

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>
unde ''a<sub>n</sub>'' reprezintă coeficienții celui de-al ''n''-lea termen , ''c'' este o constantă, iar ''x'' variază in jurul lui ''c'' (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui ''c'').
Această serie provine din [[serie Taylor]] a unei [[funcție|funcții]].

În multe situații ''c'' este nul, de exemplu în cazul [[serie Taylor|seriei Maclaurin]].
În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:
::<math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.
</math>

Astfel de serii sunt utilizate în [[analiza matematică]], în [[combinatorică]], dar și în [[electrotehnică]] ([[transformata Z]]).
De asemenea, scrierea [[număr zecimal|numerelor zecimale]] poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca [[argumentul unei funcții|argument]] ''x'' de valoarea 1/10.
În [[teoria numerelor]], seriile de puteri se aplică la studiul [[număr p-adic|numerelor p-adice]].

== Proprietățile seriilor de puteri ==
'''Seriile de puteri''' au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate în continuare. 
*::''[[uniform convergență|Convergența uniformă]] a '''seriilor de puteri''' în [[interval de convergență|intervalul de convergență]] ''.
::''' Teoremă.''' Fie <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> o '''serie de puteri''' convergentă pe intervalul <math>(-R, +R)</math>. Pentru orice număr <math>r</math>, astfel încât <math> 0<r<R </math>, seria este [[uniform convergentă]] pe intervalul <math>[-r, +r]</math>. 
::'' Demonstrație. ''
:Deoarece <math> r<R </math> și <math> r>0 </math>, rezultă, conform [[teorema lui Abel|teoremei lui Abel]], că seria <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> este [[absolut convergentă]], deci pentru <math> |x|\le r </math> seria <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> este absolut covergentă. 
: Dar <math>|a_n x^n|\le |a_n|r^n</math> și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că '''seria de puteri''' este uiform convergentă. 
: Această teoremă are două consecințe:
::'''Consecința 1.''' Suma <math> S </math> a unei '''serii de puteri''' <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> este o [[funcție continuă]] pe intervalul de convergență.
::'' Demonstrație. ''
: Pe orice interval <math>[-r, +r]\subset (-R, R)</math> '''seria de puteri''' este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt  funcții continue, rezultă că suma serie <math> S </math> este o funcție continuă pe <math>[-r, +r]</math>.
::'''Consecința 2. ''' Suma <math> S </math> a unei '''serii de puteri''' <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> este [[uniform continuă]] pe orice [[interval compact]] <math> I </math> conținut în intervalul de convergență.
::'' Demonstrație. ''
: Pe orice interval <math>I=[a, b]\subset (-R, R)</math> suma <math> S </math> este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact <math> I </math>.

*::'' [[Derivare]]a '''seriilor de puteri''' în intervalul de convergență.''
::''' Teoremă.''' Fie <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> o '''serie de puteri''' convergentă pe intervalul <math>(-R, +R)</math>. Seria <math>\sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}</math>, formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată. 
::'' Demonstrație. ''
Dacă notăm cu <math> R' </math> raza de convergență a serie <math>\sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}</math>, avem
:<math> R'= \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|=R.</math>
Această teoremă are mai multe consecințe:
::'''Consecința 1.''' Suma serie formată cu derivatele termenilor '''seriei de puteri''' este derivata sumei '''seriei de puteri''', în intervalul de convergență. Dacă notăm 
:<math> S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> și <math> \phi(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}</math>,
atunci
:<math>S'(x)=\phi(x)</math> pentru orice <math>x \in (-R, R)</math>.
::'' Demonstrație. ''
Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei <math> S </math>  este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, <math> S'=\phi </math>.
::'''Consecința 2.''' Suma serie formată cu derivatele termenilor unei '''serii de puteri''' este o [[funcție continuă]] și [[funcție derivabilă |derivabilă]] pe intervalul de convergență. 
::'''Consecința 3.''' Dacă <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> este o '''serie de puteri''' cu raza de convergență <math> R </math>:
# seria formată cu derivatele de ordinul <math> n </math> ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență <math> R </math>;
# suma <math> S </math> a seriei <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență <math>(-R, R)</math> și derivata de ordinul <math>n</math>, <math> S^{(n)}(x) </math> este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul <math>n</math> pentru orice <math> x \in (-R, R) </math>.

== Operații cu serii de puteri ==
: Fie <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> și <math>\sum_{n=0}^\infty b_n x^n</math> două '''serii de puteri''' cu raze de convergență <math>R_1</math>, respectiv <math>R_2</math>.
*: ''' Suma ''' celor două '''serii de puteri''' este tot o serie de puteri, <math>\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)x^n</math>, care are ca rază de convergență <math> R \ge min(R_1, R_2)</math>.
: Într-adevăr, pentru orice <math> x_0 </math>, astfel încât <math> |x_0|<R_1, \quad |x_0|<R_2 </math>, seriile numerice <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x_0^n</math> și <math>\sum_{n=0}^\infty b_n x_0^n</math> sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.
: Dacă <math> A(x)</math> și <math> B(x)</math> sunt sumele celor două serii și <math> S(x)</math> este suma seriei <math>\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)x^n</math>, avem <math> S(x)= A(x)+B(x) </math> petru orice <math> |x|<R </math>.
*: ''' Diferența ''' celor două '''serii de puteri''' este tot o '''serie de puteri''', <math>\sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n)x^n</math>, care are ca rază de convergență <math> R \ge min(R_1, R_2)</math>.
:Dacă <math> D(x)</math> este suma seriei <math>\sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n)x^n</math>, atunci
:: <math> D(x)= A(x)-B(x) </math> petru orice <math> |x|<R </math>.
*: ''' Produsul ''' celor două '''serii de puteri''' este tot o '''serie de puteri''',
: <math> a_0b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)x + \ldots + (a_0 b_n + a_1 b_{n-1}+ \ldots + a_n b_0)x^n + \ldots ,</math>
care are ca rază de convergență <math> R \ge min(R_1, R_2)</math>.
:Dacă <math> T(x)</math> este suma seriei produs, atunci
:: <math> T(x)= A(x) \cdot B(x) </math> petru orice <math> |x|<R </math>.
*: ''' Câtul ''' celor două '''serii de puteri''' cu sumele <math> A(x)</math>, <math> B(x) </math>, <math> b_0 \neq 0 </math> este o '''serie de puteri''' cu suma <math> C(x) </math>,
: <math> c_0 + c_1x + c_2x^2+ \ldots +c_nx^n+ \ldots, </math>
cu coeficienți <math> c_0, c_1, \ldots </math> definiți de egalitatea <math> A(x)= B(x) \cdot C(x) </math>.
: Coeficienții <math> c_0, c_1, \ldots </math> se determină dintr-un [[sistem de ecuații liniare]] infinit.
<math>\begin{cases} 
a_0=b_0c_0\\          
a_1=b_0c_1 + b_1c_0\\
a_2=b_0c_2 + b_1c_1 + b_2c_0\\
\ldots \\
a_n=b_0c_n + b_1c_{n-1} + \ldots b_{n-1}c_1 + b_nc_0\\
\ldots
\end{cases}</math>

== Serii de puteri remarcabile ==
{| class="wikitable"
! Nr. crt. !! <math>f(x)</math> !! Domeniu<br />maxim de<br />definiție !! Dezvoltarea în serie de<br />puteri ale lui <math>x</math> pentru funcția <math>f(x)</math> !! Raza de<br />convergență<br />a seriei !! Mulțimea de<br />convergență<br />a seriei !! Mulțimea de<br />divergență<br />a seriei
|-
| 1. || <div style="text-align:center"><math>e^x</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {1}{n!} \cdot x^n </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 2. || <div style="text-align:center"><math>e^{-x}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {(-1)^n}{n!} \cdot x^n </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 3. || <div style="text-align:center"><math>a^{x}</math>,</div><br /> <math> a>0 , \; a \neq 1 </math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {(\ln a)^n}{n!} \cdot x^n </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 4. || <div style="text-align:center"><math>\cos x</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {(-1)^n}{(2n)!} \cdot x^{2n} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 5. || <div style="text-align:center"><math>\sin x</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 6. || <div style="text-align:center"><math>\arctan x</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {(-1)^n}{2n+1} \cdot x^{2n+1} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>1</math></div> || <div style="text-align:center"><math>[-1, 1]</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f/ M_C</math></div>
|-
| 7. || <div style="text-align:center"><math>\cosh x</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {1}{(2n)!} \cdot x^{2n} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 8. || <div style="text-align:center"><math>\sinh x</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n\ge 0} \frac {1}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>\infty</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\hat A</math></div>
|-
| 9. || <div style="text-align:center"><math>(\alpha +x)^a</math>,<br /> <math>a, \alpha \in \mathbb R</math> || <div style="text-align:center"><math>(-\alpha, \infty )</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)}{\alpha^{n-a} \cdot n!} \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\alpha</math></div> || <div style="text-align:center"><math>(-\alpha, \alpha )</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f \setminus M_C</math></div>
|-
| 10. || <div style="text-align:center"><math>(\alpha -x)^a</math>,<br /> <math>a, \alpha \in \mathbb R</math>  || <div style="text-align:center"><math>(- \infty , -\alpha )</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {(-1)^n a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)}{\alpha^{n-a} \cdot n!} \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\alpha</math></div> || <div style="text-align:center"><math>(-\alpha, \alpha )</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f \setminus M_C</math></div>
|-
| 11. || <div style="text-align:center"><math>(1+ \alpha x)^a</math>,<br /> <math>a, \alpha \in \mathbb R</math>  || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1}{\alpha} ,  \infty ,)</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {{\alpha}^n a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)}{\alpha^{n-a} \cdot n!} \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{\alpha} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1}{\alpha} , \frac {1}{\alpha})</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f \setminus M_C</math></div>
|-
| 12. || <div style="text-align:center"><math>(1- \alpha x)^a</math>,<br /> <math>a, \alpha \in \mathbb R</math>  || <div style="text-align:center"><math>(- \infty , \frac {1}{\alpha} )</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {(-{\alpha})^n a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)}{\alpha^{n-a} \cdot n!} \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{\alpha} </math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1}{\alpha} , \frac {1}{\alpha})</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f \setminus M_C</math></div>

|-
| 13. || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{\alpha +x}</math>, <br /><math>\alpha \in \mathbb R^*</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R\setminus \{ - \alpha \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {(-1)^n}{\alpha^{n+1}} \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\alpha</math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \alpha , \alpha)</math></div> || <div style="text-align:center"><math> D_f \setminus M_C </math></div>
|-
| 14. || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{\alpha -x}</math>, <br /><math>\alpha \in \mathbb R^*</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R\setminus \{ - \alpha \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {1}{\alpha^{n+1}} \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\alpha</math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \alpha , \alpha)</math></div> || <div style="text-align:center"><math> D_f \setminus M_C </math></div> 
|-
| 15. || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{1+ \alpha x}</math>, <br /><math>\alpha \in \mathbb R^*</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R\setminus \{ - \frac {1}{ \alpha } \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} (- \alpha)^n \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{ \alpha } </math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1}{ \alpha } , \frac {1}{ \alpha })</math></div> || <div style="text-align:center"><math> D_f \setminus M_C </math></div>
|-
| 16. || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{1- \alpha x}</math>, <br /><math>\alpha \in \mathbb R^*</math> || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R\setminus \{ - \frac {1}{ \alpha } \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0}  \alpha^n \cdot x^n</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{ \alpha } </math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1}{ \alpha } , \frac {1}{ \alpha })</math></div> || <div style="text-align:center"><math> D_f \setminus M_C </math></div>
|-
| 17. || <div style="text-align:center"><math>\frac {x}{\alpha + x}</math>, <br /><div style="text-align:center"><math>\alpha \in \mathbb R^* </math></div>  || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R \setminus 
\{- \alpha \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {(-1)^n}{\alpha^{n+1}} \cdot x^{n+1}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\alpha </math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \alpha , \alpha)</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f \setminus M_C</math></div>
|-
| 18. || <div style="text-align:center"><math>\frac {x}{\alpha - x}</math>, <br /><div style="text-align:center"><math>\alpha \in \mathbb R^* </math></div>  || <div style="text-align:center"><math>\mathbb R \setminus 
\{- \alpha \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \frac {1}{\alpha^{n+1}} \cdot x^{n+1}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\alpha </math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \alpha , \alpha)</math></div> || <div style="text-align:center"><math>D_f \setminus M_C</math></div>
|-
| 19. || <div style="text-align:center"><math>\frac {x}{1+ \alpha  x}</math>, <br /><div style="text-align:center"><math>\alpha \in \mathbb R^* </math></div>  || <div style="text-align:center"><math> \mathbb R \setminus 
\{- \frac {1}{\alpha } \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} (-\alpha)^n \cdot x^{n+1}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{\alpha}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1} {\alpha} , \frac {1} {\alpha})</math></div> || <div style="text-align:center"><math> D_f \setminus M_C </math></div>
|-
| 20. || <div style="text-align:center"><math>\frac {x}{1- \alpha  x}</math>, <br /><div style="text-align:center"><math>\alpha \in \mathbb R^* </math></div>  || <div style="text-align:center"><math> \mathbb R \setminus 
\{ \frac {1}{\alpha } \}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\sum_{n \ge 0} \alpha^n \cdot x^{n+1}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>\frac {1}{\alpha}</math></div> || <div style="text-align:center"><math>(- \frac {1} {\alpha} , \frac {1} {\alpha})</math></div> || <div style="text-align:center"><math> D_f \setminus M_C </math></div>
|-
| 21. || <div style="text-align:center"><math></math> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div>
|-
| 22. || <div style="text-align:center"><math></math> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div>
|-
| 23. || <div style="text-align:center"><math></math> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div>
|-
| 24. || <div style="text-align:center"><math></math> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math> </math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div> || <div style="text-align:center"><math></math></div>
|}

== Bibliografie ==
{{Portal|Matematică}}
* Marcel Roșculeț, ''Analiză matematică'', Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984

[[Categorie:Șiruri și serii]]