Vizualizare sursă pentru „Radical al unui ideal”

{{Distinge|radical al unui inel}}
În {{ill-wd| Q1208658||teoria inelelor}} '''radicalul unui ideal'''<ref><!-- Prof.dr. -->Răzvan-Dinu Lițcanu, [http://www.math.uaic.ro/~litcanu/Mult_alg_afine.pdf ''Mulțimi algebrice afine''] (curs, p. 7), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], accesat 2024-04-14)</ref> <math>I</math> al unui [[inel comutativ]] este un alt [[ideal (teoria inelelor) |ideal]] definit de proprietatea că un element <math>x</math> aparține radicalului [[dacă și numai dacă]] o putere a lui <math>x</math> este în <math>I</math>. Un '''ideal radical''' (sau '''ideal semiprim''') este un ideal care este egal cu radicalul său. Radicalul unui [[ideal primar]] este un [[ideal prim]].

Acest concept este generalizat pentru {{ill-wd| Q7049224||inele necomutative}} în articolul [[inel semiprim]].

== Definiție ==
Radicalul unui ideal <math>I</math> dintr-un [[inel comutativ]] <math>R</math>, notat cu <math>\operatorname{rad}(I)</math> sau <math>\sqrt{I}</math>, este definit ca
:<math>\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{ pentru unii }\ n \in \Z^{+}\!\right\},</math>
(de notat că <math>I \subset \sqrt{I}</math>). Intuitiv, <math>\sqrt{I}</math> este format din toate rădăcinile elementelor lui <math>I</math> din [[inel (matematică) |inelul]] <math>R</math>. Echivalent, <math>\sqrt{I}</math> este inversul imaginii idealului elementelor [[nilpotență |nilpotente]] ([[nilradical al unui inel |nilradicalul]]) ale [[inel factor |inelului factor]] <math>R/I</math> (prin aplicația naturală <math>\pi\colon R\to R/I</math>). Se poate demonstra că <math>\sqrt{I}</math> este un ideal.

Dacă radicalul lui <math>I</math> este finit generat, atunci o putere a lui <math>\sqrt{I}</math> este conținută în <math>I </math>.<ref>Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 7.14</ref> În particular, dacă <math>I</math> și <math>J</math> sunt idealele unui {{ill-wd| Q582271||inel noetherian}}, atunci <math>I</math> și <math>J</math> au același radical dacă și numai dacă <math>I</math> conține o anumită putere a lui <math >J</math> și <math>J</math> conține o anumită putere a lui <math>I</math>.

Dacă un ideal <math>I</math> coincide cu propriul său radical, atunci <math>I</math> se numește ''ideal radical'' sau ''ideal semiprim''.

== Exemple ==
* Fie inelul <math>\Z</math> al [[număr întreg |numerelor intregi]].
*# Radicalul idealului <math>4\Z</math> al multiplilor întregi ai lui <math>4</math> este <math>2\Z</math>.
*# Radicalul lui <math>5\Z</math> este <math>5\Z</math>.
*# Radicalul lui <math>12\Z</math> este <math>6\Z</math>.
*# În general, radicalul lui <math>m\Z</math> este <math>r\Z</math>, unde <math>r</math> este produsul tuturor factorilor [[număr prim |primi]] distincți din <math>m</math>, cel mai mare factor [[număr liber de pătrate |liber de pătrate]] al <math>m.</math> De fapt, acest lucru se generalizează la un ideal arbitrar (v. mai jos).

* Fie idealul <math>I = \left(y^4\right) \sub \C[x,y]</math>. Este trivial de arătat că <math>\sqrt{I}=(y)</math> (folosind proprietatea de bază <math>\sqrt{I^n} = \sqrt{I}</math>).  Radicalul <math>\sqrt{I}</math> corespunde cu [[nilradical al unui inel |nilradicalul]] <math>\sqrt{0}</math> al inelului factor <math>R = \C[x,y]/\!\left(y^4 \right)</math>, care este [[intersecție (matematică) |intersecția]] tuturor idealelor prime ale inelului factor. Acesta este conținut în {{ill-wd| Q1677769||radicalul Jacobson}}, care este intersecția tuturor [[ideal maximal |idealelor maximale]], care sunt {{ill-wd| Q574844|nucleu (algebră)|nucleele}} {{ill-wd| Q1194212||homomorfismelor}} cu [[corp (matematică) |corpurile]]. Orice homomorfism de inele <math>R \to \C</math> trebuie să aibă <math>y</math> în nucleu pentru a avea un homomorfism bine definit (dacă, de exemplu, am spune că nucleul ar trebui să fie <math>(x,y-1)</math> compunerea <math>\C[x,y] \to R \to \C</math> ar fi <math>\left(x, y^ 4, y-1\right)</math> care este același lucru cu încercarea de a forța <math>1=0</math>). Deoarece <math>\C</math> este un [[corp algebric închis]], orice homomorfism <math>R \to \mathbb{F}</math> trebuie să factorizeze în <math>\C</math>, deci va trebui doar să se calculeze intersecția lui <math>\{\ker(\Phi) : \Phi \in \operatorname{Hom}(R,\C) \}</math> pentru a calcula radicalul lui <math>(0).</math> Rezultă că <math>\sqrt{0} = (y) \subset R.</math>

== Proprietăți ==
În această secțiune se va continua convenția că ''I'' este idealul unui inel comutativ <math>R</math>.

* Este întotdeauna adevărat că
::<math>\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}</math>,
:adică obținerea radicalului este o operație {{ill-wd| Q368988||idempotentă}}. Mai mult, <math>\sqrt{I}</math> este cel mai mic ideal radical care îl conține pe <math>I</math>.

* <math>\sqrt{I}</math> este intersecția tuturor [[ideal prim|idealelor prime]] ale lui <math>R</math> care îl conțin pe <math>I</math>
::<math>\sqrt{I}=\bigcap_{\stackrel{\mathfrak{p}\text{prim}}{R\supsetneq\mathfrak{p}\supseteq I}}\mathfrak{p},</math>
:și prin urmare radicalul unui ideal prim este egal cu el însuși. Afirmația poate fi întărită puțin: radicalul lui <math>I</math> este intersecția tuturor idealelor prime ale lui <math>R</math> care sunt [[ideal minimal |minimale]] între cele care-l conțin pe <math>I</math>.

* Utilizând ultimul punct, nilradicalul este egal cu intersecția tuturor idealelor prime ale lui <math>R</math>
::<math>\sqrt{0} = \mathfrak{N}_R = \bigcap_{\mathfrak{p}\subsetneq R\text{ prim}}\mathfrak{p}.</math>
:Această proprietate este considerată echivalentă cu prima prin aplicația naturală <math>\pi\colon R\to R/I</math> care dă o [[bijecție]] <math>u</math>:<ref>{{en icon}} {{Cite book| url=https://bookstore.ams.org/gsm-104| title=Algebra: Chapter 0| last=Aluffi| first=Paolo| publisher=AMS| year=2009| isbn=978-0-8218-4781-7| pages=142}}</ref>
::<math>\left\lbrace\text{ideals }J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace
\quad {\overset{u}{\rightleftharpoons}} \quad
\left\lbrace\text{ideals }J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace,</math> defined by <math>u \colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace.</math>

* Un ideal <math>I</math> dintr-un inel <math>R</math> este radical dacă și numai dacă inelul factor <math>R/I</math> este [[inel redus |redus]].

* Radicalul unui ideal omogen este omogen.

* Radicalul unei intersecții de ideale este egal cu intersecția radicalilor lor: <math> \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}</math>.

* Radicalul unui [[ideal primar]] este prim. Dacă radicalul unui ideal <math>I</math> este maximal, atunci <math>I</math> este primar.<ref>Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 4.2</ref>

* Dacă <math>I</math> este un ideal, <math>\sqrt{I^n} = \sqrt{I}</math>. Deoarece idealele prime sunt ideale radicale, <math>\sqrt{\mathfrak{p}^n} = \mathfrak{p}</math> pentru orice ideal prim <math>\mathfrak{p}</math>.

* Fie <math>I,J</math> idealele unui inel <math>R</math>. Dacă <math>\sqrt{I}, \sqrt{J}</math> sunt [[Ideal (teoria inelelor)#Tipuri_de_ideale |comaximale]], atunci <math>I, J</math> sunt comaximale.

* Fie <math>M</math> un {{ill-wd| Q1340572||modul finit generat]] peste un {{ill-wd| Q582271||inel noetherian}} <math>R</math>. Atunci<ref>Lang, 2002, Ch. X, Proposition 2.10</ref>
::<math>\sqrt{\operatorname{ann}_R(M)} = \bigcap_{\mathfrak{p} \,\in\, \operatorname{supp}M} \mathfrak{p} = \bigcap_{\mathfrak{p} \,\in\, \operatorname{ass}M} \mathfrak{p}</math>
:unde <math>\operatorname{supp}M</math> este [[suportul unui modul |suportul]] pentru <math>M,</math> iar <math>\operatorname{ass}M</math> este mulțimea de [[prim asociat |prime asociate]] lui <math>M</math>.

== Aplicații ==
Motivația principală în studierea radicalilor este {{ill-wd| Q1068976||teorema zerourilor a lui Hilbert}} în [[algebra comutativă]]. O versiune a acestei celebre teoreme afirmă că pentru orice ideal <math>J</math> din {{ill-wd| Q1455652||inelul de polinoame}} <math>\mathbb{k}[x_1, x_2, \ldots, x_n]</math> peste un corp algebric închis <math>\mathbb{k}</math>, există
:<math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt{J}</math>
unde
:<math>\operatorname{V}(J) = \left\{x \in \mathbb{k}^n \mid f(x)=0 \mbox{ for all } f \in J\right\}</math>
și
:<math>\operatorname{I}(V) = \{f \in \mathbb{k}[x_1, x_2,\ldots x_n] \mid f(x)=0 \mbox{ for all } x \in V \}.</math>
Geometric, aceasta spune că dacă o {{ill-wd| Q648995|varietate algebrică|varietate}} <math>V</math> este tăiată de [[ecuație polinomială |ecuația polinomială]] <math>f_1=0,\ldots,f_r=0</math>, atunci singurele alte polinoame care se anulează în <math>V</math> sunt cele din radicalul idealului <math>(f_1,\ldots,f_r)</math>.

Un alt mod de a spune: compunerea <math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(-))=\sqrt{-}</math> este un {{ill-wd| Q10564851||operator de închidere}} pe mulțimea idealelor unui inel.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{Cite book|last1=Atiyah|first1=Michael Francis|author1-link=Michael Atiyah|year=1994|publisher=Addison-Wesley|first2=Ian G. |last2=Macdonald |title=Introduction to Commutative Algebra|isbn=0-201-40751-5|location=Reading, MA}}
*{{en icon}} {{Cite book | last=Eisenbud|first= David |title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry | location=New York | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=150 | year=1995 | mr=1322960 | isbn=0-387-94268-8 |ref=none}}
*{{en icon}} {{Lang Algebra|edition=3r}}

== Vezi și ==
* [[Radical Jacobson]]
* [[Nilradical al unui inel]]
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Ideale]]