Vizualizare sursă pentru „Progresie armonică”

{{Pentru|termenul muzical|Progresie de acorduri}}
[[Fișier:First members of harmonic sequence.svg|thumb|Primii zece termeni ai progresiei armonice <math>a_n = \tfrac{1}{n}</math>]]
În [[matematică]] o '''progresie armonică'''{{Efn|Expresiile ''șir armonic'' și ''secvență armonică'' nu sunt uzuale în terminologia matematică românească, ele se întâlnesc exclusiv în domeniul muzical.}} este un [[șir (matematică) |șir]] ai cărui termeni sunt inversele termenilor unei [[progresie aritmetică |progresii aritmetice]].

Echivalent, un șir este o '''progresie armonică''' când fiecare termen (cu excepția capetelor) este [[medie armonică |media armonică]] a termenilor vecini. De aici vine și denumirea progresiei.

O a treia caracterizare echivalentă este un șir infinit de forma
:<math> \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\ \frac{1}{a+3d}, \cdots,</math>
unde ''a'' este nenul iar &minus;''a''/''d'' nu este un [[număr natural]] sau un șir finit de forma
:<math> \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\ \frac{1}{a+3d}, \cdots,\ \frac{1}{a+kd},</math>
unde ''a'' este nenul, ''k'' este un număr natural iar &minus;''a''/''d'' nu este un număr natural sau este mai mare decât ''k''.

== Exemple ==
* 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, uneori numit ''șirul armonic''
* 12, 6, 4, 3, <math>\tfrac{12}{5}</math>, 2, … , <math>\tfrac{12}{n}</math>, …
* 30, −30, −10, −6, − <math>\tfrac{30}{7}</math>, … , <math>\tfrac{10}{1-\tfrac{2n}{3}}</math>
* 10, 30, −30, −10, −6, − <math></math>, … , <math>\tfrac{10}{1-\tfrac{2(n-1)}{3}}</math>

== Suma progresiilor armonice ==
[[Sumă |Suma]] progresiilor armonice infinite tinde la [[infinit]].

Nu este posibil ca suma unei progresii armonice de [[fracție |fracții]] cu [[numărător]]ul [[1 (cifră)|1]] (altul decât cazul banal în care ''a'' = 1 și ''k'' = 0) să fie un [[număr întreg]]. Motivul este că, în mod necesar, cel puțin un [[numitor]] al progresiei va fi divizibil cu un [[număr prim]] care nu divide niciun alt numitor.<ref>{{hu icon}} {{citation|first=P.|last= Erdős |authorlink=Paul Erdős |title=Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása|trans-title=Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák|language=Hungarian|journal=Mat. Fiz. Lapok|volume=39|year=1932|pages=17–24|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf}}. Citat de {{citation
 | last = Graham | first = Ronald L. | authorlink = Ronald Graham
 | contribution = Paul Erdős and Egyptian fractions
 | doi = 10.1007/978-3-642-39286-3_9
 | mr = 3203600
 | pages = 289–309
 | publisher = János Bolyai Math. Soc., Budapest
 | series = Bolyai Soc. Math. Stud.
 | title = Erdős centennial
 | volume = 25
 | year = 2013| isbn = 978-3-642-39285-6 | citeseerx = 10.1.1.300.91 }}</ref>

== Utilizarea în geometrie ==
Dacă [[punct (geometrie) |punctele]] [[coliniaritate |coliniare]] A, B, C și D sunt astfel încât D este [[diviziune armonică |conjugatul armonic]] al lui C față de A și B, atunci distanțele de la oricare dintre aceste puncte la cele trei puncte rămase formează o progresie armonică.<ref>{{en icon}} Richard Townsend (1865), ''Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II'', p.&nbsp;24</ref><ref>{{en icon}} John Alexander Third (1898), ''[https://books.google.com/books?id=HfFYvQEACAAJ Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise]'' p.&nbsp;44</ref> În particular, oricare din șirurile AC,&nbsp;AB,&nbsp;AD; BC,&nbsp;BA,&nbsp;BD; CA,&nbsp;CD,&nbsp;CB și DA,&nbsp;DC,&nbsp;DB sunt progresii armonice, unde fiecare dintre distanțe este definită de [[orientare (geometrie) |orientarea]] fixă a liniei (nu neapărat [[dreaptă]], distanțele măsurându-se pe linie).

Într-un triunghi, dacă [[înălțime (geometrie) |înălțimile]] sunt în [[progresie aritmetică]], atunci [[latură (geometrie) |laturile]] sunt în progresie armonică{{nc}}.

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst (2007), ''Mastering Technical Mathematics'', p.&nbsp;221
* {{en icon}} Chemical Rubber Company (1974), ''Standard mathematical tables'', p.&nbsp;102
* {{en icon}} Webster Wells (1897), ''Essentials of algebra for secondary schools'', p.&nbsp;307

== Vezi și ==
* [[Progresie aritmetică]]
* [[Progresie geometrică]]

{{Portal|Matematică}}
[[Categorie:Serii matematice]]
[[Categorie:Șiruri și serii]]
[[Categorie:Medii]]