Vizualizare sursă pentru „Produs Hadamard”

[[Fișier:Hadamard product qtl1.svg|thumb|Produsul Hadamard operează pe matrici de formă identică și produce o a treia matrice cu aceleași dimensiuni]]
În [[matematică]] '''produsul Hadamard'''<ref>[https://www.cs.ubbcluj.ro/wp-content/uploads/Tablouri-bidimensionale-10.03.2018.pdf Matrici (tablouri bidimensionale)], [[Universitatea Babeș-Bolyai]], 10 martie 2018, accesat 2023-04-06</ref> sau '''produsul Schur'''<ref>{{en icon}} {{cite journal|last=Davis|first=Chandler|year=1962|title=The norm of the Schur product operation|journal=Numerische Mathematik|volume=4|pages=343–44|doi=10.1007/bf01386329|number=1|s2cid=121027182}}</ref>) este o [[operație binară]] pe două [[matrice |matrici]] de aceleași dimensiuni, rezultatul fiind o altă matrice de aceeași dimensiune, în care fiecare element {{mvar|i, j}} este produsul elementelor {{mvar|i, j}} ale celor două matrici inițiale. Este numit astfel pentru a fi distins de [[înmulțirea matricilor |produsul matricial]] comun. Numele său vine fie de la [[matematician]]ul francez [[Jacques Hadamard]], fie de la matematicianul german [[Issai Schur]] din [[Rusia]].

Produsul Hadamard este [[asociativitate |asociativ]] și [[distributivitate |distributiv]]. Spre deosebire de produsul matricial, acesta este, de asemenea, [[comutativitate |comutativ]].<ref name=":1">{{en icon}} {{Cite web|last=Million|first=Elizabeth|date=April 12, 2007|title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|access-date=September 6, 2020|website=buzzard.ups.edu}}</ref>

== Definiție ==
Pentru două matrice {{mvar|A}} și {{mvar|B}} de aceeași dimensiune {{mvar|m × n}}, produsul Hadamard <math>A \circ B</math> (sau <math>A \odot B</math><ref>{{en icon}} {{cite web|url=https://machinelearning.wtf/terms/hadamard-product/|title=Hadamard product - Machine Learning Glossary|website=machinelearning.wtf}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/815315 |title=linear algebra - What does a dot in a circle mean?|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite web|url=https://math.stackexchange.com/a/601545/688715|title=Element-wise (or pointwise) operations notation?|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>) este o matrice de aceeași dimensiune cu cele care formează operanzii, matrice a cărei elemente sunt date de<ref name=":1" />
:<math>(A \circ B)_{ij} = (A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.</math>

Pentru matrici de dimensiuni diferite ({{mvar|m × n}} și {{mvar|p × q}}, unde {{mvar|m ≠ p}} sau {{mvar|n ≠ q}}), produsul Hadamard este nedefinit.

== Exemplu ==
De exemplu, produsul Hadamard pentru o matrice  {{mvar|A}} de 3&nbsp;×&nbsp;4 cu o matrice {{mvar|B}} de 3&nbsp;×&nbsp;4 este:
:<math> 
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
  \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}
    b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\
    b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\
    b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    a_{11}\, b_{11} & a_{12}\, b_{12} & a_{13}\, b_{13} & a_{14}\, b_{14}\\
    a_{21}\, b_{21} & a_{22}\, b_{22} & a_{23}\, b_{23} & a_{24}\, b_{24}\\
    a_{31}\, b_{31} & a_{32}\, b_{32} & a_{33}\, b_{33} & a_{34}\, b_{34}
  \end{bmatrix}.
</math>

== Proprietăți ==
* Produsul Hadamard este comutativ (când se lucrează cu un inel comutativ), asociativ și distributiv peste adunare. Adică dacă {{mvar|A, B}} și {{mvar|C}} sunt matrici de aceeași dimensiune, iar {{mvar|k}} este un scalar:
:<math>\begin{align}
  A \circ B &= B \circ A, \\
    A \circ (B \circ C) &= (A \circ B) \circ C, \\
        A \circ (B + C) &= A \circ B + A \circ C, \\
\left(kA\right) \circ B &= A \circ \left(kB\right) = k\left(A \circ B\right), \\
  A \circ 0 &= 0 \circ A = 0.
\end{align}</math>
* Matricea unitate pentru înmulțirea Hadamard a două matrice {{math|''m'' × ''n''}} este o [[matrice cu toate elementele 1]] {{mvar|m × n}}. Aceasta este diferită de [[Matrice unitate |matricea unitate]] pentru produsul matricial obișnuit, unde doar elementele diagonalei principale sunt egale cu 1. În plus, pentru o înmulțire Hadamard o matrice are o [[inversarea matricilor |matrice inversă]] [[dacă și numai dacă]] niciunul dintre elemente nu este egal cu zero.<ref name="hadamardpdf1">{{en icon}} {{cite web|last=Million| first=Elizabeth | title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|access-date=2 January 2012}}</ref>
* Pentru vectorii {{math|'''x'''}} și {{math|'''y'''}} și matricile diagonale corespunzătoare {{math|''D''<sub>'''x'''</sub>}} și {{math|''D''<sub>'''y'''</sub>}} cu acești vectori drept diagonale principale, este valabilă următoarea identitate:<ref name="HornJohnson">{{en icon}} {{cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|first2=Charles R.|last2=Johnson|title=Matrix analysis| publisher = Cambridge University Press|date=2012}}</ref>{{rp|479}}
::<math>\mathbf{x}^* (A \circ B)\mathbf{y} = \operatorname{urma}\left({D}_\mathbf{x}^* A {D}_\mathbf{y} {B}^\mathsf{T}\right),</math>
:unde cu {{math|'''x'''<sup>*</sup>}} este notată [[matrice adjunctă |matricea adjunctă]] a lui {{math|'''x'''}}. În particular, folosind vectori cu toate valorile 1, aceasta arată că suma tuturor elementelor din produsul Hadamard este [[urmă (algebră) |urma]] lui {{math|''AB''<sup>T</sup>}}, unde exponentul {{math|<sup>T</sup>}} indică [[matrice transpusă |matricea transpusă]]. Un rezultat înrudit pentru {{mvar|A}} și {{mvar|B}} pătrate este că sumele pe linii ale produsului Hadamard sunt elementele diagonale ale lui {{math|''AB''<sup>T</sup>}}:<ref name=styan1973>{{en icon}} {{Citation | doi=10.1016/0024-3795(73)90023-2 | last=Styan | first=George P. H. | title=Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis | journal=Linear Algebra and Its Applications | year=1973 | volume=6 | pages=217–240| hdl=10338.dmlcz/102190 | hdl-access=free }}</ref>
::<math>\sum_i (A \circ B)_{ij} = \left(B^\mathsf{T} A\right)_{jj} = \left(AB^\mathsf{T}\right)_{ii}.</math>
:Similar,
::<math>\left(\mathbf{y}\mathbf{x}^*\right) \circ A = {D}_\mathbf{y} A {D}_\mathbf{x}^*.</math>
:Mai mult, un produs Hadamard de matrici-vector poate fi exprimat ca:
::<math>(A \circ B) \mathbf{y} = \operatorname{diag}\left( A D_\mathbf{y} B^\mathsf{T} \right)</math>
:unde <math>\operatorname{diag}(M)</math> este vectorul format din diagonalele matricei {{mvar|M}}.
* Produsul Hadamard este o submatrice principală a [[produs Kronecker |produsului Kronecker]].<ref>{{en icon}} {{cite journal |last1=Liu |first1=Shuangzhe |last2=Trenkler |first2=Götz|year=2008 |title= Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products |journal= International Journal of Information and Systems Sciences |volume=4 |issue=1 |pages=160–177}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite journal|last1=Liu|first1=Shuangzhe|last2=Leiva|first2=Víctor|last3=Zhuang|first3=Dan|last4=Ma|first4=Tiefeng |last5=Figueroa-Zúñiga|first5=Jorge I.|year=2022|title=Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics |journal=Journal of Multivariate Analysis |volume=188 |pages=104849 |doi=10.1016/j.jmva.2021.104849 |s2cid=239598156 }}</ref>
* Produsul Hadamard satisface inegalitatea rangurilor
::<math>\operatorname{rang}(A \circ B) \leq \operatorname{rang}(A) \operatorname{rang}(B) </math>
* Dacă {{mvar|A}} și {{mvar|B}} sunt {{ill-wd| Q77601250||matrici definite pozitiv}}, atunci este valabilă următoarea inegalitate care implică produsul Hadamard:<ref>{{en icon}} {{cite journal |last1=Hiai |first1=Fumio |last2=Lin |first2=Minghua |title=On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product |journal=Linear Algebra and Its Applications |date=February 2017 |volume=515 | pages = 313–320 | doi=10.1016/j.laa.2016.11.017 |doi-access=free}}</ref> ::<math>\prod_{i=k}^n \lambda_i(A \circ B) \ge \prod_{i=k}^n \lambda_i(A B),\quad k=1,\ldots,n,</math>
:unde {{math|''λ<sub>i</sub>''(''A'')}} este a {{mvar|i}}-lea cea mai mare [[vectori și valori proprii |valoare proprie]] a lui {{mvar|A}}.
* Dacă {{mvar|D}} și {{mvar|E}} sunt [[matrice diagonală |matrici diagonale]], atunci<ref>{{en icon}} {{cite web|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf |title=Project |publisher=buzzard.ups.edu |date=2007 |access-date=2019-12-18}}</ref>
::<math>\begin{align}
  D (A \circ B) E &= (D A E) \circ B    = (D A) \circ (B E) \\
  &=  (AE) \circ (D B) =    A \circ (D B E).
\end{align}</math>
* Produsul Hadamard a doi vectori <math>\mathbf a</math> și <math>\mathbf b</math> este același cu înmulțirea matricială a unui vector cu matricea diagonală corespunzătoare a celuilalt vector:
::<math>\mathbf a \circ \mathbf b = D _{\mathbf a} \mathbf b = D _{\mathbf b} \mathbf a</math>
* Vectorul matricei diagonale, operatorul <math>\operatorname{diag}</math>, poate fi exprimat prin produsul Hadamard ca:
::<math>\operatorname{diag}(\mathbf{a}) = (\mathbf{a} \mathbf{1}^T) \circ I</math>
:unde <math>\mathbf{1}</math> este un vector constant cu toate elementele {{math|1}}, iar {{math|I}} este [[matrice unitate |matricea unitate]].

== Aplicații ==
Produsul Hadamard apare în algoritmi de {{ill-wd| Q55564||compresie cu pierderi}}, cum ar fi [[JPEG]]. Etapa de decodare implică un produs de element cu element, cu alte cuvinte produsul Hadamard.

În {{ill-wd| Q1070689||prelucrarea digitală a imaginilor}}, operatorul Hadamard poate fi folosit pentru îmbunătățirea, suprimarea sau mascarea regiunilor imaginii. O matrice conține imaginea inițială, cealaltă acționează ca matrice de ponderare sau de mascare.

Este folosit în literatura de [[învățare automată]], de exemplu, pentru a descrie arhitectura rețelelor neuronale recurente ca {{ill-wd| Q25325415||GRU-uri}} sau {{ill-wd| Q6673524||LSTM-uri}}.<ref>{{en icon}} {{cite arXiv |last1=Sak |first1=Hașim |last2=Senior |first2=Andrew |last3=Beaufays |first3=Françoise |date=2014-02-05 |title=Long Short-Term Memory Based Recurrent Neural Network Architectures for Large Vocabulary Speech Recognition |class=cs.NE |eprint=1402.1128 }}</ref>

De asemenea, este folosit pentru a studia proprietățile statistice ale vectorilor și matricelor aleatorii.<ref>{{en icon}} {{cite journal |last1=Neudecker |first1=Heinz |last2=Liu |first2=Shuangzhe |last3=Polasek |first3=Wolfgang |year=1995 |title= The Hadamard product and some of its applications in statistics |journal= Statistics |volume=26 |issue=4 |pages=365–373 |doi=10.1080/02331889508802503 }}</ref><ref>{{en icon}} {{cite journal |last1=Neudecker |first1=Heinz |last2=Liu |first2=Shuangzhe |year=2001 |title= Some statistical properties of Hadamard products of random matrices |journal= Statistical Papers |volume=42 |issue=4 |pages=475–487 |doi=10.1007/s003620100074 |s2cid=121385730 }}</ref>

== Note ==
<references />

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Matrice]]
[[Categorie:Înmulțire]]