Vizualizare sursă pentru „Ordin (teoria grupurilor)”

{{referințe|date=august 2020}}În [[teoria grupurilor]], conceptul de '''ordin''' este utilizat cu următoarele semnificații:
* ''ordinul unui [[grup (matematică)|grup]]'' <math> G </math>, notat <math> ord (G)</math>  sau <math> |G| </math>, este numărul elementelor grupului. Dacă ''G'' are o [[infinit]]ate de elemente <math> ord (G) = \infty. </math>
* ''ordinul unui element <math>a</math> dintr-un grup <math>G</math> '': definit în cazul în care există un ''m'' [[număr natural|natural]] nenul cu proprietatea <math> a^m =e ,</math> unde ''e'' este [[element neutru|elementul neutru]] al grupului.

== Ordinul unui element ==
''Definiție''.
Fie grupul <math> (G, *) </math> și ''e'' elementul neutru.
Elementul <math> a \in G. </math> este de ordin finit dacă:
::<math> \exists m \in \mathbb N^*, \; \; a^m = e. </math>

În acest caz, 
::<math> \min \{ m \in \mathbb N^* | a^m = e \} = ord (a) </math> 
se numește ''ordinul elementului'' <math> a </math>.

Elementul <math> a \in G </math> este de ordin infinit dacă ''a'' nu este de ordin finit.

''Teoremă''.
Fie grupul <math> (G, *) </math> și <math> a \in G. </math> 
* Dacă <math> ord(a) = n \in \mathbb N^*, </math> atunci elementele <math> e, a, a^2, \cdots , a^{n-1} </math> sunt distincte două câte două și <math> \forall k \in \mathbb Z, \; a^k = a^{k (mod \; n)}. </math>
* <math> ord (a) = \infty \; \; \Leftrightarrow \; \; \forall k_1, k_2 \in \mathbb Z, \; \; a^{k_1} \neq a^{k_2}. </math>

=== Proprietăți ===
'''1.'''
Fie grupul <math> (G, *). \;</math>
Dacă &nbsp;<math>\; a \in G </math>&nbsp; și &nbsp;<math> ord (a) = n \in \mathbb N^*, </math> atunci <math> ord \; \langle a \rangle = n </math>&nbsp; și
::<math> \langle a \rangle = \{ e, a, a^2, \cdots , a^{n-1} \}, </math>

unde <math> \langle a \rangle = \{ a^k \; | \; k \in \mathbb Z \} </math> este subgrupul generat de elementul ''a''.

'''2.'''
Grupul finit &nbsp;<math> \; G </math> de ordinul <math> n \in \mathbb N^* </math> este ciclic<ref>Un grup <math> (G, *) \;</math> se numește ''ciclic'' de ordinul ''n'' dacă există un element <math> x \in G </math>&nbsp; astfel încât <math> \langle x \rangle = G.</math>&nbsp; În acest caz, elementul ''x'' se numește generator al grupului &nbsp;<math> \; G. </math></ref> &nbsp;<math> \Leftrightarrow \; G \; </math> are un element de ordinul ''n''.

'''3.'''
Fie grupul <math> (G, *). \;</math>&nbsp;
Dacă <math> x \in G, \; \; ord \; (x) = n \in \mathbb N^* </math>&nbsp; și &nbsp; <math> k \in \mathbb Z, \; x^k = e, </math>&nbsp; atunci <math> n | k. </math>

''Demonstrație.''
Conform [[teorema împărțirii cu rest|teoremei împărțirii cu rest]], există și sunt unice [[număr întreg|numerele întregi]] ''q'', ''r'' cu proprietățile: <math> 0 \le r < ord (x) </math> &nbsp; și &nbsp; <math> k = ord (x) * q + r. </math>

Atunci <math> x^k = x^{nq+r} = (x^n)^q * x^r </math>&nbsp; și cum &nbsp; <math> x^n = e, </math>&nbsp; rezultă <math> r=0, </math>&nbsp; deci &nbsp;<math> k = n \cdot q, </math>&nbsp; adică &nbsp; <math> n | k. </math>

'''4.'''
Orice element al unui grup finit are ordinul finit.

'''5.'''
Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt [[izomorfism|izomorfe]].
Dacă ''G'' este un grup ciclic de ordinul ''n'', atunci <math> (G, *) \approx (\mathbb Z, +). </math>

'''6.'''
Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

'''7.'''
Dacă <math> x, y \in G </math>&nbsp; atunci:

'''a)''' <math> ord \; (x) = ord \; (x^{-1}) </math>

'''b)''' <math> ord \; (x * y) = ord \; (y *x). </math>

''Demonstrație''.

'''a) I.'''
Dacă <math> ord \; (x) = n \in \mathbb N^* \; </math>&nbsp; atunci &nbsp;<math> x^n = e </math>&nbsp; și &nbsp;<math> \left ( x^{-1} \right )^n = \left ( x^n \right )^{-1} = e^{-1} = e. </math>

Fie &nbsp;<math> k = ord \; (x^{-1}). </math>&nbsp; Din proprietatea '''3''' rezultă &nbsp; <math> k|n. </math>

Cum &nbsp; <math> e= \left ( x^{-1} \right )^k = \left ( x^k \right )^{-1} ,</math>&nbsp; rezultă că &nbsp; <math> x^k = e </math>&nbsp; și cum &nbsp; <math> ord \; (x) = e, </math>&nbsp; din proprietatea '''3''' rezultă că &nbsp; <math> n|k. </math>&nbsp; Așadar &nbsp; <math> n=k. </math>

'''II.''' Dacă &nbsp;<math> ord \; (x) = \infty </math>&nbsp; se va presupune că &nbsp; <math> ord \; (x^{-1}) = k \in \mathbb N^*. </math> &nbsp; Atunci din cazul anterior rezultă că &nbsp; <math> ord \; (x) = ord \; (x^{-1})^{-1} = k, </math>&nbsp; fals.
Așadar &nbsp; <math> ord \; (x^{-1}) = \infty. </math>

'''b) I.'''
Dacă &nbsp;<math> ord \; (x * y) = n \in \mathbb N^* </math>&nbsp; atunci &nbsp;<math> (x * y)^k= e \; \Leftrightarrow \; x * (y * x)^{k-1} * y =e \; \Leftrightarrow \; (y * x)^k * y = y \; \Leftrightarrow \; (y * x)^k = e \; \Leftrightarrow \; =e, </math>&nbsp; așadar &nbsp;<math> ord \; (y * x) = k' \in \mathbb N^* </math>&nbsp; și &nbsp;<math> k | k. </math>&nbsp;  

Dar &nbsp;<math> (y * x)^{k'} = e \; \Leftrightarrow \; y * (x * y)^{k'-1} * x = e \; \Leftrightarrow \; (x * y)^{k'} =e </math>&nbsp; și cum &nbsp;<math> ord \; (x * y) = k </math>&nbsp; rezultă și &nbsp;<math> k | k' </math>&nbsp; și deci &nbsp;<math> k=k'. </math>&nbsp; 

'''II.''' Dacă &nbsp;<math> ord \; (x * y) = \infty, </math>&nbsp; presupunând că &nbsp;<math> ord \; (y * x) = k \in \mathbb N^* </math>&nbsp; rezultă ca mai înainte că &nbsp;<math> ord \; (x * y) = k, </math>&nbsp; fals. Așadar &nbsp;<math> ord \; (y * x) = \infty. </math>&nbsp;   

Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.

'''9.'''
Fie grupul &nbsp;<math> (G, *) </math>&nbsp; și &nbsp;<math> a, b \in G </math>&nbsp; cu &nbsp;<math> ord \; (a) = m \in \mathbb N^*, </math>&nbsp; astfel încât &nbsp;<math> a * b = b * a. </math>&nbsp; Notăm cu &nbsp;<math> d = (m,n), \; \; p = [m,n] . </math>&nbsp; Atunci:

'''a)''' &nbsp;<math> ord \; (a * b) \; | \; p </math>

'''b)''' &nbsp;<math> \frac pd \; | \; ord \; (a * b). </math>

''Demonstrație.''
Se știe că dacă &nbsp;<math> a *b = b *a ,</math>&nbsp; atunci &nbsp;<math> \forall \; k \in \mathbb Z, \; (a * b)^k = a^k * b^k </math>&nbsp; 

'''a)''' Se ține cont că &nbsp;<math> m= d *m_1 </math>&nbsp; și &nbsp;<math> n= d * n_1, </math>&nbsp; cu &nbsp;<math> m_1, n_1 \in \mathbb N, \; (m_1, n_1)=1, </math>&nbsp; iar &nbsp;<math> p=d*m_1*n_1. </math>&nbsp;Mai departe:
::<math> (a *b)^p=(a*b)^{d \cdot m_1 \cdot n_1}=a^{m \cdot n_1} *b^{n \cdot m_1} = \left (  a^m \right )^{n_1} \cdot \left ( b^n  \right)^{m_1} = e  </math>
de unde, conform consecinței 3, &nbsp;<math> k|p, </math>&nbsp; unde &nbsp;<math> ord \; (a *b) = k. </math>&nbsp; Acum se demonstrează că &nbsp;<math> m_1 * n_1 | k. </math>&nbsp;

::<math> (a * b)^k= e \; \Rightarrow \; a^k=b^{-k} \; \Rightarrow \; a^{k \cdot n} = b^{-k \cdot n} =e </math>&nbsp; și, conform consecinței 3, &nbsp;<math> m| k \cdot n \; \Leftrightarrow \; d \cdot m_1 | k \cdot d \cdot n_1 \; \Rightarrow \;  </math>
::<math> \Rightarrow \; \begin{cases} m_1 | k \cdot n_1 \\ (m_1, n_1) = 1 \end{cases} \; \Rightarrow \; m_1|k. </math>

Analog rezultă că &nbsp;<math> n_1|k </math>&nbsp; și cum &nbsp;<math> (m_1, n_1)=1 </math>&nbsp; se obține &nbsp;<math> m_1 \cdot n_1 \; |k. </math>&nbsp;

=== Observații ===
'''a)''' &nbsp;<math> ord \; (a *b) | m \cdot n </math>&nbsp;

'''b)''' Dacă &nbsp;<math> a, b \in G, \; a *b=b*a, \; ord \; (a)=m, \; ord \;(b)=n </math>&nbsp; și &nbsp;<math> (m,n)=1, </math>&nbsp; atunci &nbsp;<math> ord \; (a *b) = [m,n]= m \cdot n. </math>&nbsp;

'''c)''' Există situații când &nbsp;<math> ord \; (a, b) = \frac {[m,n]}{(m,n)}= m_1 \cdot n_1. </math>&nbsp;

De exemplu, în grupul &nbsp;<math> (\mathbb Z_{12}, +), \; ord \; (\hat 6)=2, \; ord \; (\hat 2)= 6</math>&nbsp; și &nbsp;<math> ord \; (\hat 2 + \hat 6) = 3. </math>&nbsp;


'''10.'''
Fie grupul &nbsp;<math> (G, *) </math>&nbsp; și &nbsp;<math> x \in G, \; ord \; (x) = n \in \mathbb N^*. </math>&nbsp; Atunci:

'''a)''' &nbsp;<math> \forall \; k \in \mathbb Z, \; ord \; (x^k) | n </math>&nbsp;

'''b)''' &nbsp;<math> \forall \; k \in \mathbb Z, \; ord \; (x^k) = \frac {n}{(k,n)}. </math>&nbsp;

'''11.'''
Fie &nbsp;<math> (G, *) </math>&nbsp; un grup ciclic de ordinul &nbsp;<math> n, \; G = \langle a \rangle </math>&nbsp; și &nbsp;<math> k \in \mathbb Z. </math>&nbsp;

Atunci: &nbsp;<math> a^k </math>&nbsp; este generator al grupului &nbsp;<math> \Leftrightarrow \; (k,n)=1. </math>&nbsp;

<!--  &nbsp;<math>  </math>&nbsp;  -->
== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[Caracteristică (algebră)|Caracteristică]] a unui [[inel (matematică)|inel]] sau [[grup (matematică)|grup]]
* [[Teorema lui Lagrange (teoria grupurilor)|Teorema lui Lagrange]] din [[teoria grupurilor]]
 
{{Ciot-matematică}}

[[Categorie:Algebră abstractă]]