Vizualizare sursă pentru „Număr poligonal central”

{{Distinge|număr centrat poligonal}}
{{Infocaseta Șiruri de numere întregi
| number = infinit
| formula = <math>\frac{n^2+n+2}{2}</math><ref name=OEIS/>
| parentsequence = [[număr poligonal]]
| first_terms = [[1 (număr)|1]], [[2 (număr)|2]], [[4 (număr)|4]], [[7 (număr)|7]], [[11 (număr)|11]], [[16 (număr)|16]], [[22 (număr)|22]] <ref name=OEIS/>
| OEIS = A000124
| OEIS_name = central polygonal numbers
}}
[[Fișier:PancakeCutThrice.agr.jpg|thumb|Prăjitură rotundă tăiată în 7 bucăți prin trei tăieturi]]

În [[matematică]] un '''număr poligonal central''' este un [[număr figurativ]] care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un [[disc (geometrie) |disc]] printr-un număr dat, {{mvar|n}}, de [[dreaptă |drepte]]. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de [[clătită]], pentru {{mvar|n}} succesiv numerele sunt cunoscute drept '''șirul tăietorului leneș''' (în {{en|lazy caterer's sequence}}). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un {{ill-wd| Q4795848|aranjament de drepte}}. Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea {{ill-wd| Q4795851||aranjament de hiperplane}}.

Analogul [[tridimensional]] al acestui șir este șirul [[număr de tort |numerelor de tort]].

== Formula șirului ==
[[Fișier:Central polygonal numbers.svg|thumb|Numărul maxim de regiuni {{mvar|p}} care se pot obține prin {{mvar|n}} tăieturi drepte este al {{mvar|n}}-lea [[număr triunghiular]] plus 1, formând șirul tăietorului leneș]]
[[Fișier:Bernoulli_triangle_columns.svg|thumb|upright=1.5|În [[triunghiul lui Bernoulli]] șirul tăietorului leneș este cel colorat verde]]
Numărul maxim de regiuni {{mvar|p}} care se pot obține prin {{mvar|n}} tăieturi drepte, unde {{math|''n'' ≥ 0}}, este dat de formula:<ref name=OEIS>{{OEIS|A000124}}</ref>
:<math> p = \frac{n^2+n+2}{2}.</math>

Folosind [[coeficient binomial |coeficienții binomiali]], formula poate fi exprimată sub forma:
:<math>p = 1 + \dbinom{n + 1}{2} = \dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}. </math>

De fapt, doar se adună 1 la [[număr triunghiular |numerele triunghiulare]]. Deoarece a treia coloană a [[triunghiul lui Bernoulli |triunghiului lui Bernoulli]] ({{mvar|k}} = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din {{mvar|n}} tăieturi, unde {{mvar|n}}&nbsp;&ge;&nbsp;2.

Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din [[triunghiul lui Pascal]]:<ref>{{OEIS|A000124}}</ref>
:{| class="wikitable" width=200px style="text-align:right;"
! {{separator diagonal|''n''|''k''}} !! style="width:25px;"|0 !! style="width:25px;"|1 !! style="width:25px;"|2
! rowspan="11" style="padding:0;"| !! Suma
|-
! 0
| 1 || - ||  - ||  1
|-
! 1
| 1 || 1 ||  - ||  2
|-
! 2
| 1 || 2 ||  1 ||  4
|-
! 3
| 1 || 3 ||  3 ||  7
|-
! 4
| 1 || 4 ||  6 || 11
|-
! 5
| 1 || 5 || 10 || 16
|-
! 6
| 1 || 6 || 15 || 22
|-
! 7
| 1 || 7 || 21 || 29
|-
! 8
| 1 || 8 || 28 || 37
|-
! 9
| 1 || 9 || 36 || 46
|}

Șirul, începând cu {{math|''n'' {{=}} 0}}, este:<ref name=OEIS/>
:[[1 (număr)|1]], [[2 (număr)|2]], [[4 (număr)|4]], [[7 (număr)|7]], [[11 (număr)|11]], [[16 (număr)|16]], [[22 (număr)|22]], [[29 (număr)|29]], [[37 (număr)|37]], [[46 (număr)|46]], [[56 (număr)|56]], [[67 (număr)|67]], [[79 (număr)|79]], [[92 (număr)|92]], [[106 (număr)|106]], [[121 (număr)|121]], [[137 (număr)|137]], [[154 (număr)|154]], [[172 (număr)|172]], [[191 (număr)|191]], [[211 (număr)|211]], ...

Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Yaglom |first1=Akiva |last2=Yaglom |first2=Isaak |title=Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions |volume=1 |location=New York |publisher=Dover Publications |year=1987}}</ref>

== Demonstrație ==
[[Fișier:Lazy Caterer's Sequence (Cuts).gif|thumb|Numărul maxim de bucăți obținute prin tăieturi consecutive sunt numerele din șirul tăietorului leneș]]
Când un disc este tăiat de {{mvar|n}} ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca {{math|''p'' {{=}} ''f''(''n'')}}, trebuie luată în considerare a {{mvar|n}}-a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este {{math|''f''(''n'' − 1)}}, în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este {{mvar|n}}.

Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a {{mvar|n}}-a dreaptă tăietoare ar trebui să [[intersecție (matematică) |intersecteze]] toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a {{mvar|n}}-a dreaptă în sine este tăiată în {{math|''n'' − 1}} locuri și în {{mvar|n}} [[segment (geometrie) |segmente]]. Fiecare segment divide {{math|(''n'' − 1)}} bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact {{math|''n''}} la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.

Astfel, numărul total de piese după {{mvar|''n''}} tăieturi este:
:<math>f(n)=n+f(n-1).</math>

Această [[relație de recurență]] poate fi rezolvată. Dacă {{math|''f''(''n'' − 1)}} este extins cu un termen, relația devine:
:<math>f(n)=n+(n-1)+f(n-2).</math>

Dezvoltarea termenului {{math|''f''(''n'' − 2)}} poate continua până când ultimul termen este redus la {{math|''f''(0)}}, astfel,
:<math>f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1+f(0).</math>

Fiindcă {{math|''f''(0) {{=}} 1}}, deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:
:<math>f(n)=1+(1+2+3+\cdots + n).</math>

Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei [[progresie aritmetică |progresii aritmetice]]:
:<math>f(n)=1+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2}{2}.</math>

== Note ==
<references responsive/>

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation
 | last = Moore | first = T. L.
 | issue = 2
 | journal = The College Mathematics Journal
 | pages = 125–130
 | title = Using Euler's formula to solve plane separation problems
 | jstor = 2686448
 | volume = 22
 | year = 1991
 | doi = 10.2307/2686448
 | publisher = Mathematical Association of America}}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Steiner | first = J. | author-link = Jakob Steiner
 | journal = J. Reine Angew. Math.
 | pages = 349–364
 | title = Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space")
 | volume = 1
 | year = 1826}}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Wetzel
 | first = J. E.
 | issue = 8
 | journal = American Mathematical Monthly
 | pages = 647–656
 | title = On the division of the plane by lines
 | url = http://webcourse.cs.technion.ac.il/236603/Spring2008/ho/WCFiles/Wetzel.pdf
 | volume = 85
 | year = 1978
 | doi = 10.2307/2320333
 | publisher = Mathematical Association of America
 | jstor = 2320333
 | access-date = 2008-12-15
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20110721134954/http://webcourse.cs.technion.ac.il/236603/Spring2008/ho/WCFiles/Wetzel.pdf
 | archive-date = 2011-07-21
 | url-status = dead
 }}

== Vezi și ==
* [[Triunghiul lui Floyd]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld|title=Circle Division by Lines|urlname=CircleDivisionbyLines}}

[[Categorie:Numere figurative]]
[[Categorie:Optimizare]]
[[Categorie:Articole care conțin demonstrații]]