Vizualizare sursă pentru „Număr Devlali”

{{Infocaseta Șiruri de numere întregi
| image                 = 
| image_size            = 
| alt                   = 
| caption               = 
| named_after           = orașul [[Deolali|Devlali]]
| publication_year      =
| author                = D. R. Kaprekar
| terms_number          =
| con_number            =
| number                =infinit
| parentsequence        =
| formula               =
| first_terms           = {{num|1}}, {{num|3}}, {{num|5}}, {{num|7}}, {{num|9}}, {{num|20}}, {{num|31}}, {{num|42}}, {{num|53}}, {{num|64}}, {{num|75}}, {{num|86}}, {{num|97}}, {{num|108}}, {{num|110}}, {{num|121}}, {{num|132}}, {{num|143}}, {{num|154}}, {{num|165}}, {{num|176}}, {{num|187}}, {{num|198}}
| largest_known_term    =
| OEIS                  = A003052
| OEIS_name             = Self numbers or Colombian numbers
}}
Un '''număr Devlali''' sau '''număr columbian''' (în {{en|Self number}} sau ''Colombian number'') este un număr ce '''nu''' poate fi scris ca ''n'' + ''S''(''n''), unde ''n'' este un număr întreg, iar ''S''(''n'') este [[suma cifrelor]] lui ''n''.<ref name=C34>[[Marius Coman (matematician)|Marius Coman]], ''Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi'', Columbus, Ohio: Education Publishing, 2013, {{ISBN|978-1-59973-237-4}}, p.&nbsp;28</ref> Au fost descoperite de matematicianul indian [[D. R. Kaprekar]] care s-a născut în orașul [[Deolali|Devlali]].

==Exemple==
Primele numere Devlali în baza 10 sunt:
: {{num|1}}, {{num|3}}, {{num|5}}, {{num|7}}, {{num|9}}, {{num|20}}, {{num|31}}, {{num|42}}, {{num|53}}, {{num|64}}, {{num|75}}, {{num|86}}, {{num|97}}, {{num|108}}, {{num|110}}, {{num|121}}, {{num|132}}, {{num|143}}, {{num|154}}, {{num|165}}, {{num|176}}, {{num|187}}, {{num|198}}... <ref>{{OEIS|A003052}}</ref>

Numerele Devlali care sunt și [[numere prime]] se numesc '''prime Devlali''' sau '''prime columbiene'''.

Primele numere prime Devlali în baza 10 sunt:
:3, 5, 7, 31, 53, 97, {{num|211}}, {{num|233}}, {{num|277}}, {{num|367}}, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... <ref>{{OEIS|A006378}}</ref>  

== Relație de recurență ==
Următoarea [[relație de recurență]] generează numere Devlali în [[baza 10]]: 

:<math>C_k = 8 \cdot 10^{k - 1} + C_{k - 1} + 8</math>

(cu ''C''<sub>1</sub> = 9)

În [[sistem binar]] relația de recurență este:

:<math>C_k = 2^j + C_{k - 1} + 1\,</math>

(unde ''j'' reprezintă numărul de cifre), astfel putem generaliza o relație de recurență pentru a genera numere în orice bază ''b'':

:<math>C_k = (b - 2)b^{k - 1} + C_{k - 1} + (b - 2)\,</math>

unde ''C''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;&minus;&nbsp;1 pentru baze de numerație pare ''C''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;&minus;&nbsp;2 pentru baze impare.

Existența acestor relații de recurență arată că pentru orice bază există infinit de multe numere Devlali.

==Note==
<references />
* Kaprekar, D. R. ''The Mathematics of New Self-Numbers'' Devaiali  (1963): 19 - 20. 
* {{cite journal |author=R. B. Patel |title=Some Tests for ''k''-Self Numbers |journal=Math. Student |volume=56 |year=1991 |pages=206–210}}
* {{cite journal |author=B. Recaman |title=Problem E2408 |journal=Amer. Math. Monthly |volume=81 |issue=4 |year=1974 |pages=407 |doi=10.2307/2319017}}
* {{cite book | last1=Sándor | first1=Jozsef | last2=Crstici | first2=Borislav | title=Handbook of number theory II | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2004 | isbn=1-4020-2546-7 | pages=32–36 | zbl=1079.11001 }}
==Legături externe==
* {{MathWorld|urlname=SelfNumber|title=Self Number}}
==Vezi și==
* [[Listă de numere]]
{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Șiruri de numere întregi|Devlali]]