Vizualizare sursă pentru „Notația orbifold”

În [[geometrie]] '''notația orbifold''' (sau '''semnătura orbifold''') este un sistem inventat de matematicianul [[William Thurston]] și promovat de [[John Horton Conway|John Conway]] pentru reprezentarea tipurilor de [[grup de simetrie |grupuri de simetrie]] în [[spațiu bidimensional |spații bidimensionale]] de [[curbură constantă]]. Avantajul notației este că descrie aceste grupuri într-un mod care indică multe dintre proprietățile grupurilor: în special, urmează metoda lui William Thurston pentru descrierea unui {{ill-wd| Q40460}} obținut prin aplicarea topologică a [[spațiu euclidian |spațiului euclidian]] pe grupul luat în considerare.

Grupurile reprezentabile în această notație cuprind {{ill-wd| Q7208207|Grup punctual în spațiul tridimensional|grupurile punctuale}} de pe [[sferă]] (<math>S^2</math>), [[grup de friză |grupurile de friză]] și {{ill-wd| Q906867||grupurile de tapet}} ale planului euclidian (<math>E^2</math>) și analogii lor din [[spațiu hiperbolic |planul hiperbolic]] (<math>H^2</math>).

== Definiția notației ==
Într-un grup descris prin notația orbifold pot apărea următoarele tipuri de transformări euclidiene:
* [[reflexie (matematică) |reflexia]] față de o [[dreaptă]] (sau un [[plan (geometrie) |plan]]);
* [[translație (geometrie) |translația]] cu un vector;
* [[rotație (matematică) |rotația]] de ordin finit față de un [[punct (geometrie) |punct]];
* rotația infinită față de o dreaptă în [[spațiu tridimensional |spațiul tridimensional]];
* [[reflexie translată |reflexia translată]], adică reflexia urmată de o translație.

Se presupune că toate translațiile care au loc formează un subgrup discret al simetriilor de grup care sunt descrise.

Fiecare grup este notat în notația orbifold printr-un șir finit format din următoarele simboluri:
* ''[[număr întreg |numere întregi]]'' pozitive <math>1,2,3,\dots</math> ;
* simbolul ''[[infinit]]ului'', <math>\infty</math> ;
* ''[[asterisc]]ul'', * ;
* simbolul ''o'' (un cerc plin în documentele mai vechi), numit și ''toartă'' deoarece topologic reprezintă o suprafață închisă în formă de [[tor]] (topologic echivalent cu o ''toartă'')&nbsp;— unde modelele se repetă în urma a două translații;
* simbolul <math>\times</math> (un cerc gol în documentele mai vechi), unde un model se repetă ca imagine în oglindă fără a traversa o dreaptă de oglindire.

Un șir scris cu aldine (litere „negre”) reprezintă un grup de simetrii ale spațiului tridimensional euclidian. Un șir care nu este scris cu caractere aldine reprezintă un grup de simetrii ale planului euclidian, care se presupune că conține două translații independente.

Fiecare simbol corespunde unei transformări distincte:
* un număr întreg ''n'' la stânga unui asterisc indică o rotație de ordinul ''n'' în jurul unui punct;
* un număr întreg ''n'' la dreapta unui asterisc indică o transformare de ordinul 2''n'' care se rotește în jurul unui punct caleidoscopic și se reflectă față de o dreaptă (sau plan);
* simbolul <math>\times</math> indică o reflexie translată;
* simbolul <math>\infty</math> indică o [[simetrie de rotație]] infinită în jurul unei drepte; poate apărea numai la grupurile notate cu aldine (prin abuz de limbaj, s-ar putea spune că un astfel de grup este un subgrup de simetrii ale planului euclidian cu o singură translație independentă&nbsp;— grupurile de frize apar în acest fel);
* simbolul excepțional ''o'' indică faptul că există exact două translații liniar independente.

=== Simboluri orbifold bune ===
Despre un simbol orbifold se spune că e ''bun'' dacă nu este unul dintre următoarele: ''p'', ''pq'', *''p'', *''pq'', pentru ''p'', ''q'' ≥ 2 și ''p'' ≠ ''q''.

== Chirale și achirale ==
Un obiect este ''[[chiralitate (matematică) |chiral]]'' dacă grupul său de simetrie nu conține reflexii; altfel se numește ''achiral''. Orbifoldul corespunzător este [[orientare (geometrie) |orientabil]] în cazul chiral și neorientabil în caz contrar.

== Caracteristica Euler și ordinul ==
[[Caracteristică Euler |Caracteristica Euler]] a unui orbifold poate fi citită din simbolul său Conway, după cum urmează. Fiecare semn are o valoare:
* ''n'' fără sau înainte de un asterisc contează drept <math>\frac{n-1}{n}</math>;
* ''n'' după un asterisc contează drept <math>\frac{n-1}{2n}</math>;
* asteriscul și <math>\times</math> contează drept 1;
* ''o'' contează drept 2.
Se face suma valorilor acestor caracteristici.

Caracteristica Euler se obține scăzând din 2 suma valorilor caracteristicilor de mai sus. Dacă această sumă este 2, ordinul este infinit, adică notația reprezintă un grup de tapet sau un grup de friză. „Teorema magică” a lui Conway indică faptul că cele 17 grupuri de tapet sunt exact acelea cu suma valorilor caracteristicilor egală cu 2. În caz contrar, ordinul este 2 împărțit la caracteristica Euler.

== Grupuri egale ==
Următoarele grupuri sunt izomorfe:
*1* și *11
*22 și 221
*<nowiki/>*22 și *221
*2* și 2*1.
Acest lucru se datorează faptului că rotația „de 1 ori” este rotația „vidă” (poziția inițială).

== Grupuri bidimensionale ==
{{imagine multiplă
 | align = right
 | total_width = 360
 | image1 = Bentley Snowflake13.jpg
 | caption1 = Un [[fulg de zăpadă]] perfect are simetria *6&bull;,
 | image2 = Pentagon symmetry as mirrors 2005-07-08.png
 | caption2 = Un [[pentagon]] are simetria *5&bull;, imaginea cu săgeți are 5&bull;.
 | image3 = Flag of Hong Kong.svg
 | caption3 = {{ill-wd|Q186456||Drapelul Hong Kongului}} are o simetrie de rotație cu 5 poziții, 5&bull;.
}}
[[Simetrie |Simetria]] unui obiect [[bidimensional]] fără [[simetrie de translație]] poate fi descrisă prin tipul de simetrie tridimensională prin adăugarea unei a treia dimensiuni la obiect care nu adaugă sau nu strica simetria. De exemplu, pentru o imagine bidimensională se poate considera o cutie de carton cu acea imagine afișată pe o parte; forma cutiei trebuie să fie astfel încât să nu strice simetria sau poate fi imaginată a fi infinită. Astfel se obține ''n''&bull; și *''n''&bull;. &bull; se adaugă la grupurile unidimensionale și bidimensionale pentru a indica existența unui punct fix. (În tridimensional aceste grupuri există într-un orbifold [[digon]]al cu ''n'' poziții și sunt reprezentate drept ''nn'' și *''nn''.)

Similar, o imagine [[unidimensional]]ă poate fi desenată orizontal pe o bucată de carton, cu grija de a evita simetria suplimentară în raport cu dreapta care conține imaginea, de exemplu prin desenarea unei bare orizontale sub imagine. Astfel, grupurile de simetrie discretă în spațiul unidimensional sunt *&bull;, *1&bull;, &infin;&bull; și *&infin;&bull;.

O altă metodă de a construi un obiect tridimensional dintr-un obiect unidimensional sau bidimensional pentru a descrie simetria este prin [[produs cartezian |produsul cartezian]] dintre obiect și un obiect unidimensional sau bidimensional asimetric.

== Tabele de corespondențe ==
=== Sferică ===
{| class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|+ {{nowrap|Domenii fundamentale ale grupurilor punctuale de reflexie 3D}}
|-
! (*11),<br/>C<sub>1v</sub> = C<sub>s</sub>
! (*22),<br/>C<sub>2v</sub>
! (*33),<br/>C<sub>3v</sub>
! (*44),<br/>C<sub>4v</sub>
! (*55),<br/>C<sub>5v</sub>
! (*66),<br/>C<sub>6v</sub>
|-
| [[Fișier:Spherical digonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Ordin 2
| [[Fișier:Spherical square hosohedron2.png|60px]]<br/>Ordin 4
| [[Fișier:Spherical hexagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Ordin 6
| [[Fișier:Spherical octagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Ordin 8
| [[Fișier:Spherical decagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Ordin 10
| [[Fișier:Spherical dodecagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Ordin 12
|-
! (*221),<br/>D<sub>1h</sub> = C<sub>2v</sub>
! (*222),<br/>D<sub>2h</sub>
! (*223),<br/>D<sub>3h</sub>
! (*224),<br/>D<sub>4h</sub>
! (*225),<br/>D<sub>5h</sub>
! (*226),<br/>D<sub>6h</sub>
|-
| [[Fișier:Spherical digonal bipyramid2.svg|60px]]<br/>Ordin 4
| [[Fișier:Spherical square bipyramid2.svg|60px]]<br/>Ordin 8
| [[Fișier:Spherical hexagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Ordin 12
| [[Fișier:Spherical octagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Ordin 16
| [[Fișier:Spherical decagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Ordin 20
| [[Fișier:Spherical dodecagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Ordin 24
|- 
! colspan=2 | (*332), T<sub>d</sub>
! colspan=2 | (*432), O<sub>h</sub>
! colspan=2 | (*532), I<sub>h</sub>
|-
| colspan=2 | [[Fișier:Tetrahedral reflection domains.png|120px]]<br/>Ordin 24
| colspan=2 | [[Fișier:Octahedral reflection domains.png|120px]]<br/>Ordin 48
| colspan=2 | [[Fișier:Icosahedral reflection domains.png|120px]]<br/>Ordin 120
|}
{| class="wikitable"
|+ Grupuri de simetrie sferică<ref>{{en icon}} Symmetries of Things, Appendix A, page 416</ref>
|-
! Orbifold
! [[Notația Coxeter |Coxeter]]
! [[Arthur Moritz Schönflies|Schönflies]]
! [[Notația Hermann–Mauguin |Herm.–Maug.]]
! Ordin
|-
!colspan=5|[[Grup poliedric |Grupuri poliedrice]]
|-
|*532||[3,5]||I<sub>h</sub>||53m||120
|-
|532||[3,5]<sup>+</sup>||I||532||60
|-
|*432||[3,4]||O<sub>h</sub>||m3m||48
|-
|432||[3,4]<sup>+</sup>||O||432||24
|-
|*332||[3,3]||T<sub>d</sub>||{{overline|4}}3m||24
|-
|3*2||[3<sup>+</sup>,4]||T<sub>h</sub>||m3||24
|-
|332||[3,3]<sup>+</sup>||T||23||12
|-
!colspan=5|[[Grup diedral |Grupuri diedrale]] și ciclice: ''n'' = 3, 4, 5 ...
|-
|*22n||[2,n]||D<sub>nh</sub>||n/mmm sau 2{{overline|n}}m2||4n
|-
|2*n||[2<sup>+</sup>,2n]||D<sub>nd</sub>||2{{overline|n}}2m sau {{overline|n}}m||4n
|-
|22n||[2,n]<sup>+</sup>||D<sub>n</sub>||n2||2n
|-
|*nn||[n]||C<sub>nv</sub>||nm||2n
|-
|n*||[n<sup>+</sup>,2]||C<sub>nh</sub>||n/m sau 2{{overline|n}}||2n
|-
|n×||[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||S<sub>2n</sub>||2{{overline|n}} sau {{overline|n}}||2n
|-
|nn||[n]<sup>+</sup>||C<sub>n</sub>||n||n
|-
!colspan=5|Cazuri particulare
|-
|*222||[2,2]||D<sub>2h</sub>||2/mmm sau 2{{overline|2}}m2||8
|-
|2*2||[2<sup>+</sup>,4]||D<sub>2d</sub>||2{{overline|2}}2m sau {{overline|2}}m||8
|-
|222||[2,2]<sup>+</sup>||D<sub>2</sub>||22||4
|-
|*22||[2]||C<sub>2v</sub>||2m||4
|-
|2*||[2<sup>+</sup>,2]||C<sub>2h</sub>||2/m sau 2{{overline|2}}||4
|-
|2×||[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||S<sub>4</sub>||2{{overline|2}} sau {{overline|2}}||4
|-
|22||[2]<sup>+</sup>||C<sub>2</sub>||2||2
|-
|*22||[1,2]||D<sub>1h</sub> = C<sub>2v</sub>||1/mmm sau 2{{overline|1}}m2||4
|-
|2*||[2<sup>+</sup>,2]||D<sub>1d</sub> = C<sub>2h</sub>||2{{overline|1}}2m sau {{overline|1}}m||4
|-
|22||[1,2]<sup>+</sup>||D<sub>1</sub> = C<sub>2</sub>||12||2
|-
|*1||[ ]||C<sub>1v</sub> = C<sub>s</sub>||1m||2
|-
|1*||[2,1<sup>+</sup>]||C<sub>1h</sub> = C<sub>s</sub>||1/m sau 2{{overline|1}}||2
|-
|1×||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||S<sub>2</sub> = C<sub>i</sub>||2{{overline|1}} sau {{overline|1}}||2
|-
|1||[ ]<sup>+</sup>||C<sub>1</sub>||1||1
|}

=== Planul euclidian ===
==== Grupuri de friză ====
{{Notații grupuri de friză}}

==== Grupuri de tapet ====
{| class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|+ Domeniile fundamentale ale [[grup de reflexie |grupurilor de reflexie]] euclidiene
|-
!(*442), p4m
!(4*2), p4g
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t1.png|150px]]
|[[Fișier:Tile V488 bicolor.svg|150px]]
|-
!(*333), p3m
!(632), p6
|-
|[[Fișier:Tile 3,6.svg|150px]]
|[[Fișier:Tile V46b.svg|150px]]
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ 17 [[grup de tapet |grupuri de tapet]]<ref>{{en icon}} Symmetries of Things, Appendix A, page 416</ref>
|-
! Orbifold
! [[Notația Coxeter |Coxeter]]
! [[Notația Hermann–Mauguin |Hermann<br/>Mauguin]]
! [[Andreas Speiser|Speiser]]<br/>[[Paul Niggli|Niggli]]
! Polya<br/>Guggenhein
! Fejes Toth<br/>Cadwell
|-
|*632||[6,3]||p6m||C<sup>(I)</sup><sub>6v</sub>||D<sub>6</sub>||W<sup>1</sup><sub>6</sub>
|-
|632||[6,3]<sup>+</sup>||p6||C<sup>(I)</sup><sub>6</sub>||C<sub>6</sub>||W<sub>6</sub>
|-
|*442||[4,4]||p4m||C<sup>(I)</sup><sub>4</sub>||D<sup>*</sup><sub>4</sub>||W<sup>1</sup><sub>4</sub>
|-
|4*2||[4<sup>+</sup>,4]||p4g||C<sup>II</sup><sub>4v</sub>||D<sup>o</sup><sub>4</sub>||W<sup>2</sup><sub>4</sub>
|-
|442||[4,4]<sup>+</sup>||p4||C<sup>(I)</sup><sub>4</sub>||C<sub>4</sub>||W<sub>4</sub>
|-
|*333||[3<sup>[3]</sup>]
||p3m1||C<sup>II</sup><sub>3v</sub>||D<sup>*</sup><sub>3</sub>||W<sup>1</sup><sub>3</sub>
|-
|3*3||[3<sup>+</sup>,6]||p31m||C<sup>I</sup><sub>3v</sub>||D<sup>o</sup><sub>3</sub>||W<sup>2</sup><sub>3</sub>
|-
|333||[3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>
||p3||C<sup>I</sup><sub>3</sub>||C<sub>3</sub>||W<sub>3</sub>
|-
|*2222||[∞,2,∞]||pmm||C<sup>I</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>kkkk||W<sup>2</sup><sub>2</sub>
|-
|2*22||[∞,2<sup>+</sup>,∞]||cmm||C<sup>IV</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>kgkg||W<sup>1</sup><sub>2</sub>
|-
|22*||[(∞,2)<sup>+</sup>,∞]||pmg||C<sup>III</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>kkgg||W<sup>3</sup><sub>2</sub>
|-
|22×||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||pgg||C<sup>II</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>gggg||W<sup>4</sup><sub>2</sub>
|-
|2222||[∞,2,∞]<sup>+</sup>||p2||C<sup>(I)</sup><sub>2</sub>||C<sub>2</sub>||W<sub>2</sub>
|-
|**||[∞<sup>+</sup>,2,∞]||pm||C<sup>I</sup><sub>s</sub>||D<sub>1</sub>kk||W<sup>2</sup><sub>1</sub>
|-
|*×||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||cm||C<sup>III</sup><sub>s</sub>||D<sub>1</sub>kg||W<sup>1</sup><sub>1</sub>
|-
|××||[∞<sup>+</sup>,(2,∞)<sup>+</sup>]||pg||C<sup>II</sup><sub>2</sub>||D<sub>1</sub>gg||W<sup>3</sup><sub>1</sub>
|-
|o||[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||p1||C<sup>(I)</sup><sub>1</sub>||C<sub>1</sub>||W<sub>1</sub>
|}
{{-}}

=== Planul hiperbolic ===
{| class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|+ [[Modelul discului Poincaré]] al domeniului fundamental al {{ill-wd| Q652123||triunghiurilor}}
|-
! colspan=5 | Exemple cu triunghiuri dreptunghice (*2pq)
|-
|[[Fișier:H2checkers 237.png|60px]]<br/>*237
|[[Fișier:H2checkers 238.png|60px]]<br/>*238
|[[Fișier:Hyperbolic domains 932 black.png|60px]]<br/>*239
|[[Fișier:H2checkers 23i.png|60px]]<br/>*23&infin;
|-
|[[Fișier:H2checkers 245.png|60px]]<br/>*245
|[[Fișier:H2checkers 246.png|60px]]<br/>*246
|[[Fișier:H2checkers 247.png|60px]]<br/>*247
|[[Fișier:H2checkers 248.png|60px]]<br/>*248
|[[Fișier:H2checkers 24i.png|60px]]<br/>*&infin;42
|-
|[[Fișier:H2checkers 255.png|60px]]<br/>*255
|[[Fișier:H2checkers 256.png|60px]]<br/>*256
|[[Fișier:H2checkers 257.png|60px]]<br/>*257
|[[Fișier:H2checkers 266.png|60px]]<br/>*266
|[[Fișier:H2checkers 2ii.png|60px]]<br/>*2&infin;&infin;
|-
! colspan=5 | Exemple cu triunghiuri oarecare (*pqr)
|-
|[[Fișier:H2checkers 334.png|60px]]<br/>*334
|[[Fișier:H2checkers 335.png|60px]]<br/>*335
|[[Fișier:H2checkers 336.png|60px]]<br/>*336
|[[Fișier:H2checkers 337.png|60px]]<br/>*337
|[[Fișier:H2checkers 33i.png|60px]]<br/>*33&infin;
|-
|[[Fișier:H2checkers 344.png|60px]]<br/>*344
|[[Fișier:H2checkers 366.png|60px]]<br/>*366
|[[Fișier:H2checkers 3ii.png|60px]]<br/>*3&infin;&infin;
|[[Fișier:H2checkers 666.png|60px]]<br/>*6<sup>3</sup>
|[[Fișier:Infinite-order triangular tiling.svg|60px]]<br/>*&infin;<sup>3</sup>
|-
! colspan=5 | Example cu poligoane superioare (*pqrs...)
|-
|[[Fișier:Hyperbolic domains 3222.png|60px]]<br/>*2223
|[[Fișier:H2chess 246a.png|60px]]<br/>*(23)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2chess 248a.png|60px]]<br/>*(24)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2chess 246b.png|60px]]<br/>*3<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2chess 248b.png|60px]]<br/>*4<sup>4</sup>
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t1.png|60px]]<br/>*2<sup>5</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 66-t1.png|60px]]<br/>*2<sup>6</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 77-t1.png|60px]]<br/>*2<sup>7</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 88-t1.png|60px]]<br/>*2<sup>8</sup>
|-
|[[Fișier:Hyperbolic domains i222.png|60px]]<br/>*222&infin;
|[[Fișier:H2chess 24ia.png|60px]]<br/>*(2&infin;)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2chess 24ib.png|60px]]<br/>*&infin;<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2chess 24ic.png|60px]]<br/>*2<sup>&infin;</sup>
|[[Fișier:H2chess iiic.png|60px]]<br/>*&infin;<sup>&infin;</sup>
|}

Primele câteva grupuri hiperbolice, ordonate după caracteristica lor Euler sunt:
{| class=wikitable
|+ Grupuri cu simetrie hiperbolică<ref>{{en icon}} Symmetries of Things, Chapter 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, p239</ref>
|-
! −1/&chi;
! Orbifold
! [[Notația Coxeter |Coxeter]]
|-
|84||*237||[7,3]
|-
|48||*238||[8,3]
|-
|42||237||[7,3]<sup>+</sup>
|-
|40||*245||[5,4]
|-
|36–26.4||*239, *2 3 10||[9,3], [10,3]
|-
|26.4||*2 3 11||[11,3]
|-
|24||*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238||[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3<sup>+</sup>,8], [8,3]<sup>+</sup>
|-
|22.3–21||*2 3 13, *2 3 14||[13,3], [14,3]
|-
|20||*2 3 15, *255, 5*2, 245||[15,3], [5,5], [5<sup>+</sup>,4], [5,4]<sup>+</sup>
|-
|19.2||*2 3 16||[16,3]
|-
|{{frac|18|2|3}}||*247||[7,4]
|-
|18||*2 3 18, 239||[18,3], [9,3]<sup>+</sup>
|-
|17.5–16.2||*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23 ||[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
|-
|16||*2 3 24, *248||[24,3], [8,4]
|-
|15||*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10||[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3<sup>+</sup>,10], [10,3]<sup>+</sup>
|-
|{{frac|14|2|5}}–{{frac|13|1|3}}||*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10||[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
|-
|{{frac|13|1|5}}||*2 3 66, 2 3 11||[66,3], [11,3]<sup>+</sup>
|-
|{{frac|12|8|11}}||*2 3 105, *257||[105,3], [7,5]
|-
|{{frac|12|4|7}}||*2 3 132, *2 4 11 ... ||[132,3], [11,4], ...
|-
|12||*23&infin;, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334||[&infin;,3] [12,4], [6,6], [6<sup>+</sup>,4], [(6,3,3)], [3<sup>+</sup>,12], [(4,4,3)], [4<sup>+</sup>,6], [&infin;,3,&infin;], [12,3]<sup>+</sup>, [6,4]<sup>+</sup> [(4,3,3)]<sup>+</sup>
|-
|colspan=2|...
|}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
* {{en icon}} J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
* {{en icon}} J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), ''Groups, Combinatorics and Geometry'', Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series '''165'''. Cambridge University Press, Cambridge. pp.&nbsp;438–447
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], ''The Symmetries of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}}
*{{citation | last = Hughes | first = Sam | title = Cohomology of Fuchsian Groups and Non-Euclidean Crystallographic Groups | year = 2019 | arxiv = 1910.00519| bibcode = 2019arXiv191000519H }}

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node39.html#SECTION000390000000000000000 A field guide to the orbifolds] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210419111953/http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node39.html#SECTION000390000000000000000 |date=2021-04-19 }} (Notes from class on [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html "Geometry and the Imagination"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140404230528/http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html |date=2014-04-04 }} in Minneapolis, with John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston, on June 17–28, 1991. See also [http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/gi/gi.pdf PDF, 2006])
* {{en icon}} [https://uni-tuebingen.de/fakultaeten/mathematisch-naturwissenschaftliche-fakultaet/fachbereiche/informatik/lehrstuehle/algorithms-in-bioinformatics/software/tegula/ Tegula] Software for visualizing two-dimensional tilings of the plane, sphere and hyperbolic plane, and editing their symmetry groups in orbifold notation

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Notații matematice]]
[[Categorie:Teoria grupurilor]]
[[Categorie:Simetrie]]
[[Categorie:Poliedre]]