Vizualizare sursă pentru „Moment de inerție planar”

{{Despre|momentele de inerție ale secțiunilor|momentele de inerție ale corpurilor în rotație|moment de inerție}}
{{Pentru|ecuațiile momentelor de inerție ale secțiunilor de formă standard|listă de momente de inerție planare}}
În [[fizică]] '''momentul de inerție planar'''<ref>{{LTR|Moment de inerție planar}}</ref> (sau '''momentul de al doilea ordin'''<ref>{{LTR|Moment de al doilea ordin}}</ref>) este o proprietate geometrică a unei [[arie |arii]] care reflectă modul în care punctele sale sunt distribuite în raport cu o axă arbitrară. Momentul e inerție planar este de obicei notat fie cu <math>I</math> (pentru o axă care se află în planul ariei), fie cu <math>J</math> (pentru o axă perpendiculară pe planul ariei). În ambele cazuri, se calculează cu o [[integrală multiplă |integrală dublă]] peste obiectul în cauză. Un moment de inerție planar are dimensiunea L ([[lungime]]) la puterea a patra, unitatea de măsură în [[sistemul internațional de unități |SI]] este [[metru |metri]] la puterea a patra (m<sup>4</sup>).

În [[inginerie structurală |ingineria structurală]], momentul de inerție al [[secțiune |secțiunii]] unei [[grindă | grinzi]] este o proprietate importantă utilizată în calculul [[săgeată (tehnică) |săgeții]] grinzii și a [[tensiune (mecanică) |tensiunii]] cauzate de un [[momentul forței |moment]] aplicat grinzii. Pentru a maximiza momentul de inerție planar, o mare parte din aria secțiunii transversale a unei grinzi cu profil „I” este situată la distanța maximă posibilă de [[centru de masă |centrul de masă]] al secțiunii grinzii. Momentul de inerție planar oferă o măsură a rezistenței la [[încovoiere]] a unei grinzi. Similar, [[moment de inerție polar |momentul de inerție polar]] oferă o măsură a rezistenței la [[torsiune (mecanică) |torsiune]] a grinzii.

Diferite discipline inginerești folosesc termenul de '''moment de inerție''' pentru a se referi la [[Listă de momente de inerție planare |diferite momente]], expresie folosită și în continuarea acestui articol. Se poate referi la oricare dintre cele două  momente ''axiale'' ale ariei (adesea <math>I_x = \iint_{R} y^2\, dA</math> respectiv <math>I_y = \iint_{R} x^2\ , dA,</math> în raport cu un plan de referință), la momentul de inerție ''centrifugal'' <math>I_{xy} = \iint_{R} xy\ , dA,</math> sau la momentul de inerție ''polar'' al ariei (<math>I_p = \iint_{R} r^2\, dA</math>, unde {{mvar|r}} este [[distanță euclidiană |distanța]] până la originea sistemului de axe de referință). În fiecare caz, integrala este peste toate elementele infinitezimale ale ''ariei'', {{mvar|dA}}, într-o secțiune transversală [[bidimensional]]ă. În [[fizică]] ''momentul de inerție'' (fără altă precizare) se referă strict al doilea moment al ''masei'' în raport cu distanța față de o axă: <math> I = \int_{Q} r ^2 dm </math>, unde {{mvar|r}} este distanța până la o axă potențială de rotație, iar integrala este peste toate elementele infinitezimale ale ''masei'', {{mvar|dm}}, într-o [[formă]] [[tridimensional]]ă a obiectului&nbsp;{{mvar|Q}}.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Beer|first1=Ferdinand P.|title=Vector Mechanics for Engineers|date=2013|place=New York|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-339813-6|edition=10th|page=471|quote=The term second moment is more proper than the term moment of inertia, since, logically, the latter should be used only to denote integrals of mass (see Sec. 9.11). In engineering practice, however, moment of inertia is used in connection with areas as well as masses.}}</ref>

== Definiții ==
=== Moment de inerție axial ===
[[Fișier:Moment of area of an arbitrary shape.svg|thumb|O formă oarecare. {{mvar|ρ}} este distanța radială  a elementului {{mvar|dA}}, cu proiecțiile pe axe {{mvar|x}} și {{mvar|y}}.]]
''Momentul de inerție axial'' a unei arii oarecare&nbsp;{{mvar|R}} față de axa {{mvar|x}} este definită drept<ref>{{cite book|last1=Pilkey|first1=Walter D. |title=Analysis and Design of Elastic Beams|url=https://archive.org/details/analysisdesignel00pilk|url-access=limited|page=[https://archive.org/details/analysisdesignel00pilk/page/n32 15]|date=2002|publisher=John Wiley & Sons, Inc| isbn=978-0-471-38152-5}}</ref><ref name=B72>Buzdugan, 1970, p.&nbsp;72</ref><ref>Andreescu, Mocanu, 2005, p.&nbsp;49</ref><ref>Hlușcu, Tripa, 2014, p.&nbsp;92</ref>
:<math>I_x = \iint_{R} y^2\, dx\,dy</math>
unde
:<math>dx\,dy = dA</math> este elementul de arie infinitezimal,
:<math>y</math> este distanța dintre elementul de arie și axa {{mvar|x}}.

Analog, momentul de inerție axial față de axa {{mvar|y}} este:
:<math>I_y = \iint_{R} x^2\, dx\, dy</math>

Momentele de inerție axiale sunt esențiale în {{ill-wd| Q805099||teoria Euler–Bernoulli a barelor}}

=== Moment de inerție centrifugal ===
Momentul de inerție centrifugal este definit drept<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Beer|first1=Ferdinand P.|title=Vector Mechanics for Engineers|date=2013|place=New York|publisher=McGraw-Hill| isbn=978-0-07-339813-6| edition=10th| page=495| chapter=Chapter 9.8: Product of inertia}}</ref><ref>Buzdugan, 1970, p.&nbsp;73</ref><ref>Andreescu, Mocanu, 2005, p.&nbsp;49–50</ref><ref>Hlușcu, Tripa, 2014, p.&nbsp;92–93</ref>
:<math>I_{xy} = \iint_{R} yx\, dx\, dy.</math>

== Teorema axei paralele ==
[[Fișier:Parallel axis theorem.svg|thumb|Fie o formă la care axa {{mvar|x}}trece prin centrul său de masă. Momentul de inerție axial față de axa {{mvar|x'}} se poate obține din teorema axei paralele]]
Uneori este necesar să se calculeze momentul de inerție axial al ariei unei forme față de o axă <math>x^{\prime}</math> diferită de axa {{mvar|x}} care trece prin centrul de masă al formei. De obicei acest moment se obține cunoscând momentul de simetrie față de axa care trece prin centrul de masă, <math>x</math>, utilizând teorema axei paralele (o variantă a [[teorema lui Steiner |teoremei lui Steiner]]), care spune
:<math>I_{x'} = I_x + A d^2</math>
unde
:<math>A</math> este aria formei, iar
:<math>d</math> este distanța (perpendiculară) dintre  axele <math>x</math> și <math>x^{\prime}</math>.<ref>{{en icon}} Hibbeler, R. C. (2004). Statics and Mechanics of Materials (Second ed.). Pearson Prentice Hall. {{ISBN|0-13-028127-1}}.</ref><ref>{{en icon}} {{cite book| last1=Beer|first1=Ferdinand P.|title=Vector Mechanics for Engineers|date=2013|place=New York|publisher=McGraw-Hill| isbn=978-0-07-339813-6|edition=10th|page=481|chapter=Chapter 9.6: Parallel-axis theorem}}</ref><ref name=B72/>

Similar se poate obține momentul de inerție axial față de axa <math>y^{\prime}</math> pe baza momentului față de axa <math>y</math> care trece prin centrul de masă, sau față de o axă oarecare.

== Teorema axei perpendiculare ==
Pentru simplitatea calculului, adesea se dorește să se definească momentul polar al ariei (față de o axă perpendiculară, <math>z</math>) pe baza a două momente de inerție axiale ale ariei (ambele în raport cu axele din plan). Cel mai simplu caz leagă <math>J_z</math> de <math>I_x</math> și <math>I_y</math>:<ref>Buzdugan, 1970, p.&nbsp;71</ref><ref>Andreescu, Mocanu, 2005, p.&nbsp;50</ref><ref>Hlușcu, Tripa, 2014, p.&nbsp;93–94</ref> 
:<math display="block">J_z = \iint_{R} \rho^2\, dA
= \iint_{R} \left(x^2 + y^2\right) dA
= \iint_{R} x^2 \, dA + \iint_{R} y^2 \, dA
= I_x + I_y</math>

Această relație se bazează pe [[teorema lui Pitagora]] care leagă <math>x</math> și <math>y</math> cu <math>\rho</math> și pe liniaritatea integrării.

== Forme compuse ==
Pentru forme mai complicate, adesea este mai ușor să se împartă aria într-o serie de forme mai simple. Momentul de inerție axial al ariei pentru întreaga formă este suma momentelor de simetrie axiale ala ariilor tuturor părților sale față de o axă comună. Aceasta poate cuprinde și forme care „lipsesc” (adică găuri, forme goale etc.), caz în care momentul lor de inerție axial se scade în loc să se adauge. Cu alte cuvinte, pentru metoda formelor compuse momentul de inerție axial al părților „lipsă” este considerat negativ.
:Pentru forme simple {{Articol principal|Listă de momente de inerție planare}}

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Fizică}}
*{{Commons category-inline}}

[[Categorie:Matematică aplicată]]
[[Categorie:Mecanica solidului]]
[[Categorie:Analiză structurală]]
[[Categorie:Moment (fizică)|Inerție]]
[[Categorie:Terminologie tehnică]]