Vizualizare sursă pentru „Mediană”

[[Fișier:Triangle.Centroid.svg|right|thumb|Medianele și centrul de greutate al triunghiului.]]

'''Mediana''' într-un [[triunghi]] este [[Segment (geometrie)|segmentul]] ([[ceviană]]) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

== Proprietăți ==
===Concurența medianelor într-un triunghi===
Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt [[drepte concurente|concurente]] într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.<ref>{{cite book|last=Weisstein|first=Eric W.|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition|year=2010|publisher=CRC Press|isbn=9781420035223|pages=375-377}}</ref><ref>[https://www.algebra.com/algebra/homework/Triangles/Medians-of-a-triangle-are-concurrent.lesson Algebra.com]</ref>

===Împărțirea egală a ariilor===
Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente).<ref name=Bottomley2002>{{cite web|last=Bottomley|first=Henry|title=Medians and Area Bisectors of a Triangle|url=http://www.se16.info/js/halfarea.htm|accessdate=27 September 2013}}</ref> Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale. 

====Demonstrație directă==== 
[[File:Mediana demonstratie.JPG|thumb|right|200 px]]
În figura alăturată se observă că <math>DF</math> este [[linia mijlocie]] a triunghiului :<math>ABC</math>, opusă laturii <math>BC</math>. Prin urmare, este paralelă cu <math>BC</math> și are lungimea egală cu <math>\frac{BC}{2}</math>. 

Deoarece ''BC || DF'' rezultă egalitatea unghiurilor: 

:<math>OCB=ODF</math>
și
:<math>OBC=OFD</math>

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile <math>\Delta OBC</math> și <math>\Delta OFD</math> sunt asemenea. Rezultă că
:<math>\frac{OF}{OB}</math>=<math>\frac{OD}{OC}</math>=<math>\frac{FD}{BC}</math>=<math>\frac{1}{2}</math>

====Demonstrație prin teorema lui Ceva==== 
Deoarece:
:<math>\frac{AF}{FC}</math> = <math>\frac{CE}{EB}</math> = <math>\frac{BD}{DA}</math> = 1, rezultă că și :<math>\frac{AF}{FC}</math> . <math>\frac{CE}{EB}</math> . <math>\frac{BD}{DA}</math>=1. Deci, conform [[teoremă reciprocă|teoremei reciproce]] pentru [[teorema lui Ceva]] medianele sunt concurente.

===Lungimea medianei===
Folosind [[teorema lui Stewart]], lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:
:<math>m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} } </math>.

===Alte proprietăți===
*Într-un [[triunghi dreptunghic]], mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
*Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza ''c'' satisfac proprietatea <math>m_a^2+m_b^2=5m_c^2.</math>
*Medianele corespunzătoare laturilor ''a'' și ''b'' sunt perpendiculare [[dacă și numai dacă]] <math>a^2 + b^2 = 5c^2.</math><ref>Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), ''Mathematical Gazette'', Note 93.15.</ref>

*Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:<ref name=P&S>Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 1996: pp. 86-87.</ref>

:<math>\tfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2.</math>

*Se poate exprima aria unui triunghi, ''T'', în funcție de lungimile medianelor ''m''<sub>''a''</sub>, ''m''<sub>''b''</sub> și ''m''<sub>''c''</sub> și semisuma lungimilor medianelor {{nowrap|(''m<sub>a</sub>'' + ''m<sub>b</sub>'' + ''m<sub>c</sub>'')/2}} notată σ, când se obține:<ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," ''Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.</ref>
:<math>T = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.</math>

==Note==
<references />

== Vezi și ==
{{Commons cat|Median (geometry)}}
* [[triunghi]];
* [[bisectoarele]];
* [[înălțime (geometrie)]];
* [[mediatoare]];
* [[linia mijlocie]]


[[Categorie:Geometria triunghiului]]