Vizualizare sursă pentru „Matrice cu toate elementele 1”

În [[algebră liniară |algebra liniară]], o '''matrice cu toate elementele 1'''<ref><!-- Conf.dr. -->Tiberiu Vasile Trif, [http://math.ubbcluj.ro/~ttrif/Analiza2.pdf ''Analiză matematică''], Cluj-Napoca, Ed. Casa Cărții de Știință, 2017, {{ISBN|978-606-17-1102-4}}, p.&nbsp;18</ref> este o [[matrice]] în care fiecare element are [[valoare (matematică) |valoarea]] [[1 (cifră) |1]].<ref>Horn, Johnson, 2012, p. 8</ref> Exemple de astfel de matrici:

:<math>J_2 = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 
\end{pmatrix};\quad
J_3 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix};\quad
J_{2,5} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 
\end{pmatrix};\quad
J_{1,2} = \begin{pmatrix}
1 & 1 
\end{pmatrix}.\quad</math>

Unele surse numesc aceste matrici „[[matrice unitate]]”,<ref>{{en icon}} {{MathWorld|title=Unit Matrix|urlname=UnitMatrix}}</ref>, dar acest termen este folosit de obicei pentru matrici de alt tip.

Un '''vector cu toate elementele 1''' este o matrice cu toate elementele 1, [[vector linie și vector coloană |având o singură linie sau o singură coloană]]. Ei nu trebuie confundați cu ''[[versor]]ii''.

== Proprietăți ==
O matrice {{mvar|J}} de dimensiuni {{mvar|n&thinsp;×&thinsp;n}} cu toate elementele 1 are următoarele proprietăți:

* [[Urmă (algebră) |Urma]] lui {{mvar|J}} este egală cu {{mvar|n}},<ref name=S>{{en icon}} {{citation|title=Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More |publisher=Springer |year=2013 |isbn=9781461469988 |first=Richard P. |last=Stanley |url=https://books.google.com/books?id=_Tc_AAAAQBAJ&pg=PA4 |at=Lemma 1.4, p.&nbsp;4}}.</ref> și [[determinant (matematică) |determinantul]] este 0 pentru ''n''&nbsp;≥&nbsp;2, dar 1 pentru {{mvar|n}}&nbsp;=&nbsp;1. (Se poate lua în considerare și cazul {{mvar|n}}&nbsp;=&nbsp;0, caz în care este vorba de o matrice vidă, al cărei determinant este 1.)
* {{ill-wd| Q849705||Polinomul caracteristic}} al {{mvar|J}} este <math>(x - n)x^{n-1}</math>.
* {{ill-wd| Q1163608|Polinom minimal (matrice)|Polinomul minimal}} al {{mvar|J}} este <math>x^2-nx</math>.
* [[Rang_(algebră_liniară)#Rangul_unei_matrice |Rangul matricei]] {{mvar|J}} este 1, iar [[vectori și valori proprii |vectorii proprii]] sunt {{mvar|n}} (cu [[multiplicitate]]a 1) și 0 (cu multiplicitatea {{mvar|n}}&nbsp;−&nbsp;1).<ref name=S/><ref>Horn, Johnson, 2012, p. 65</ref>
* <math> J^k = n^{k-1} J</math> pentru <math>k = 1,2,\ldots \,.</math><ref name="timm">{{en icon}} {{citation|title=Applied Multivariate Analysis|series=Springer texts in statistics|first=Neil H.|last=Timm|publisher=Springer|year=2002|isbn=9780387227719|page=30|url=https://books.google.com/books?id=vtiyg6fnnskC&pg=PA30}}</ref>
* {{mvar|J}} este ''[[element neutru |elementul neutru]]'' pentru [[produs Hadamard |produsul Hadamard]].<ref>{{en icon}} {{citation|title=Introduction to Abstract Algebra|first=Jonathan D. H.|last=Smith|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781420063721|page=77|url=https://books.google.com/books?id=PQUAQh04lrUC&pg=PA77}}.</ref>

Dacă {{mvar|J}} este o matrice ale cărei elemente sunt [[număr real |numere reale]], acestea au și următoarele proprietăți:
* {{mvar|J}} este o {{ill-wd| Q77601250|matrice definită|matrice pozitivă semidefinită}}.
* Matricea <math>\tfrac1n J</math> este [[matrice idempotentă |idempotentă]].<ref name="timm"/>
* {{ill-wd| Q1191722||Exponențiala}} lui {{mvar|J}} este <math> \exp(J) = I + \frac{ e^n-1}{n} J.</math>

== Aplicații ==
Matricea cu toate elementele 1 apare des în domeniul matematic al [[combinatorică |combinatoricii]], în special prin aplicarea metodelor algebrice la [[teoria grafurilor]]. De exemplu, dacă ''A'' este [[matrice de adiacență |matricea de adiacență]] a unui [[graf]] neorientat {{mvar|G}} cu {{mvar|n}} noduri, iar {{mvar|J}} este matricea cu toate elementele 1 de aceeași dimensiune, atunci {{mvar|G}} este un [[graf regulat]] [[dacă și numai dacă]] {{mvar|AJ}}&nbsp;=&nbsp;{{mvar|JA}}.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Algebraic Combinatorics|first=Chris|last=Godsil|publisher=CRC Press|year=1993|isbn=9780412041310|url=https://books.google.com/books?id=eADtlNCkkIMC&pg=PA25|at=Lemma 4.1, p.&nbsp;25}}</ref> Un alt exemplu este că matricea apare în unele demonstrații algebrice ale [[formula lui Cayley |formulei lui Cayley]], care oferă numărul {{ill-wd| Q831672||arborilor de acoperire}} ai unui [[graf complet]], folosind {{ill-wd| Q2226691||teorema lui Kirchhoff}}. 

== Note ==
<references responsive/>

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|title=Matrix Analysis|first1=Roger A.|last1=Horn|first2=Charles R.|last2=Johnson|publisher=Cambridge University Press|year= 2012|isbn=9780521839402|page=8|url=https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA8|contribution=0.2.8 The all-ones matrix and vector}}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Matrice]]
[[Categorie:1 (număr)]]