Vizualizare sursă pentru „Matrice”

{{altesensuri|Matrice (dezambiguizare)}}
În [[matematică]], o '''matrice''' (plural '''matrice'''<ref>Forma '''matrice''' este impusă de [[DOOM2|Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române]] (2005).</ref> sau '''matrici'''<ref>Forma '''matrici''' apare în tratate de specialitate și cursuri universitare, de exemplu:<br>{{citat carte|last=Iacob|first=Caius|author-link=Caius Iacob|title=Curs de matematici superioare|year=1957|publisher=Editura Tehnică|location=București|capitol=VIII.B - Matrici. Grupuri. Spații lineare|pagini=808-851}}<br>[[Șerban Țițeica|Țițeica, Șerban]]: ''Mecanică cuantică'', Editura Academiei RSR, București, 1984, V: Spații vectoriale finit-dimensionale, pp. 83–108.</ref>) este un tabel dreptunghiular de [[număr|numere]], sau mai general, de elemente ale unei [[Structură algebrică|structuri algebrice]] de tip [[inel (algebră)|inel]]. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici ''n''-dimensionale. Dacă {{mvar|1=m = n}}, matricea este ''[[matrice pătrată|pătrată]]''.

== Definiție ==
Se numește ''matrice cu m linii și n coloane'' (de tip <math>m \times n \!</math>) un tablou cu {{mvar|m}} linii și {{mvar|n}} coloane:
::<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}  \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}  \end{pmatrix} \!</math>
ale cărui elemente <math>a_{ij} \!</math> sunt [[număr complex|numere complexe]].

Uneori această matrice se [[notație indexată|notează cu indici]], <math>A= \left ( a_{ij} \right ),</math> unde <math>i = \overline {1, m}</math> și <math>j = \overline {1, n}.</math>

Pentru elementul <math>a_{ij}</math> indicele {{mvar|i}} arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, {{mvar|j}}, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricilor de tip <math>m \times n \!</math> cu elemente [[număr real|numere reale]] se notează prin <math>M_{m, n} (\mathbb R).</math>
Aceleași semnificații au și mulțimile <math>M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C).</math>

=== Cazuri particulare ===
1. O matrice de tipul <math>1 \times n \!</math> (deci cu o linie și {{mvar|n}} coloane) se numește ''matrice linie'' și are forma:
::<math>A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}</math>

2. O matrice de tipul <math>m \times 1 \!</math> (deci cu {{mvar|m}} linii și o coloană) se numește ''matrice coloană'' și are forma:
::<math>B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix}</math>

3. O matrice de tip <math>m \times n \!</math> se numește ''[[matrice nulă |nulă]]'' (sau ''matrice zero'') dacă toate elementele ei sunt zero.
Se notează cu ''O'':
::<math>O=  \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>

4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește ''pătrată'':
::<math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}</math>

Sistemul de elemente <math>(a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \!</math> reprezintă ''[[diagonală principală|diagonala principală]]'' a matricei {{math|A}}, iar suma acestor elemente se numește ''urma matricei A'' notată:
::<math>Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}.</math>

Mulțimea matricelor pătrate se notează <math>M_n(\mathbb C). \!</math>
Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:
::<math>I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>

și se numește ''[[matrice unitate]]'' (pe diagonala principală are toate elementele egale cu {{math|1}}, iar în rest sunt egale cu {{math|0}}).

== Egalitatea a două matrice ==
Fie <math>A=(a_{i,j})</math>, <math>B=(b_{i,j}) \in M_{m,n}(C)</math>. Se spune că matricele <math>A, B</math> sunt ''egale'' și se scrie <math>A=B</math> dacă <math>a_{i,j} = b_{i,j}, \forall i,j = \overline{1,n}</math>

== Transpusa unei matrice ==
Fie <math>A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C)</math>. ''[[Transpusă|Transpusa matricei]]'' A este:
:<math>A^T = B = (b_{i,j}) \in M_{n,m}(C)</math> dată de: <math>b_{i,j} = a_{j,i} \forall i=\overline{1,n};  =\overline{1,m}</math>

== Matrice simetrică ==
Fie matricea pătrată <math>A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C)</math>. Se spune că matricea <math>A</math> este ''[[matrice simetrică|simetrică]]'' dacă este egală cu transpusa ei: :<math>a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j=\overline{1,n}</math>

== Operații cu matrice ==

=== Adunarea matricelor ===
Fie <math>A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!</math>

Matricea {{mvar|C}} se numește [[adunarea matricilor |''suma'' matricelor]] {{mvar|A}}, {{mvar|B}} dacă:
:<math>c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}.</math>

;Observații.
1. Două matrice se pot aduna ''dacă sunt de același tip'', adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci <math>A, B \in M_{m, n} (\mathbb C).</math>

2. Explicit, adunarea matricelor {{mvar|A, B}} înseamnă:
::<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}   \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}   \end{pmatrix}= </math>
::<math>= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn}   \end{pmatrix}.  </math>

==== Proprietăți ale adunării matricelor ====
''[[Asociativitate]]a adunării''.
Adunarea matricelor este ''[[asociativitate|asociativă]]'', adică:
:<math>(A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C).</math>

''[[Comutativitate]]a adunării''.
Adunarea matricelor este ''[[comutativitate|comutativă]]'', adică:
:<math>A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C).</math>

''[[Element neutru]]''.
Adunarea matricelor admite [[matrice nulă |matricea nulă]] ca ''element neutru'', adică:
:<math>\exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \!</math> astfel încât <math>A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C).</math>

''[[Element opus]]''.
Orice matrice <math>A \in M_{m, n}(\mathbb C) \!</math> are un opus, notat <math>-A,</math> astfel încât:
:<math>A+(-A) = O_{m, n}.</math>

=== Înmulțirea cu scalari a matricelor ===
Fie <math>\lambda \in \mathbb C</math> și <math>A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C).</math>
Se numește ''produsul dintre [[scalar]]ul <math>\lambda \in \mathbb C \!</math> și matricea A'', matricea notată <math>\lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C)</math> definită prin <math>\lambda A = (\lambda a_{ij}).</math>

;Observație
A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar.
Deci:
:<math>\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots &  \cdots &  \cdots &  \cdots  \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}.</math>

==== Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari ====
:<math>\lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C);</math>

:<math>\lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C);</math>

:<math>(\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C);</math>

:<math>1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C).</math>

=== Înmulțirea matricelor ===
{{Articol principal|Înmulțirea matricilor}}
Există mai multe tipuri de [[Înmulțirea matricilor#Alte_tipuri_de_produse_ale_matricilor |produse ale matricilor]]. Operația prezentată în continuare este cunoscută sub denumirea de ''înmulțirea matricială''.<ref name=AI><!-- Conf.dr. -->Anca Ignat, [https://profs.info.uaic.ro/~ancai/CN/curs/curs_CN_2022.pdf ''Calcul numeric''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230613045258/https://profs.info.uaic.ro/~ancai/CN/curs/curs_CN_2022.pdf |date=2023-06-13 }} (curs 2, 2022, p. 2), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], accesat 2023-06-13</ref>

Fie <math>A=(a_{ik}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{kj}) \in M_{n, p}(\mathbb C).</math>

''Produsul dintre matricele A și B'' (în această ordine), notat <math>AB</math> este matricea <math>C = (c_{ij}) \in M_{m, p}(\mathbb C),</math> definită prin:
:<math>c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}, \; \forall i = \overline{1, m}    , j = \overline{1, p}.</math>

;Observații
Produsul <math>AB</math> a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă <math>A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C),</math> adică ''numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B'', când se obține o matrice <math>C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).</math>

Dacă matricele sunt pătrate <math>A, B \in M_n (\mathbb C)</math> atunci are sens întotdeauna atât <math>AB</math> cât și <math>BA,</math> iar în general, <math>AB \neq BA</math> adică înmulțirea matricelor nu este [[comutativitate|comutativă]].

==== Proprietățile înmulțirii matricelor ====
''[[Asociativitate]]a înmulțirii''.
[[Înmulțirea matricelor]] este asociativă, adică:
:<math>(AB)C = A(BC), \; \forall A \in M_{m, n} (\mathbb C), \; \forall B \in M_{n , p} (\mathbb C), \; \forall C \in M_{p, r} (\mathbb C),</math>

''[[Distributivitate]]a înmulțirii față de adunare''.
Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:
:<math>(A+B)C= AC+BC, \; C(A+B)= CA+CB, \; \forall A, B, C</math>
matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

Dacă <math>I_n \in M_{n}(\mathbb C)</math> este [[matrice unitate |matricea unitate]], atunci:
:<math>I_n A = AI_n =A, \; \forall A \in M_n (\mathbb C).</math>
se spune că <math>I_n \!</math> este ''element neutru''.

== Determinanți ==
{{Articol principal|Determinant (matematică)}}
Dacă <math>A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(K),</math> este o matrice pătrată cu elemente din {{math|K}}, atunci numărul:
:<math>det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon (\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{n \sigma(n)}</math>
se numește ''[[determinant (matematică) |determinantul]]'' lui {{mvar|A}}.

== Note ==
<references />

==Bibliografie==
* [[Academia Română]], Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan - Al. Rosetti”, [[DOOM2|Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române]], Ediția a II-a revăzută și adăugită, [[Editura Univers]] Enciclopedic, București, 2005 ISBN 973-637-087-x
*  Mădălina Roxana Buneci, [http://www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mo2007/CO_recapitulativ.pdf ''Elemente de analiză matricială''], (curs) utgjiu.ro, 2007

==Lectură suplimentară==
* Tiberiu Ionescu, ''Grafuri, aplicații'', vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973;
* Alexandru Al. Roșu, ''Teoria grafelor, algoritmi, aplicații'' (cap. 4. ''Matrice asociate grafelor'', pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.

== Vezi și ==
* [[Rang (algebră liniară) |Rangul unei matrice]]
* [[Teorema Cayley-Hamilton]]
* [[Matrice pătrată]]
* [[Urmă (algebră) |Urma matricii]]
* [[Diagonală principală]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://www.emathzone.com/tutorials/algebra/introduction-to-matrices.html eMathZone.com]

[[Categorie:Matrice| ]]
[[Categorie:Algebră]]
[[Categorie:Algebră liniară]]