Vizualizare sursă pentru „Limită a unei funcții”

În [[calcul diferențial|calculul diferențial]] și [[calcul integral|calculul integral]] un concept important este cel de '''limită a unei funcții'''.

== Limita unei funcții într-un punct ==
Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, [[derivată|derivatei]], [[integrală|integralei]] și alte studii.

Considerând o [[funcție]] <math>f: A \subset \mathbb R^1 \rightarrow \mathbb R^1. \!</math> se analizează comportamentul lui <math>f(x) \!</math> atunci când '''x''' se apropie de o valoare reală fixată '''x<sub>o</sub>'''.
Pentru aceasta se presupune că '''f(x)''' este definită pentru orice '''x''' care se apropie de '''x<sub>o</sub>'''.
Cu alte cuvinte, se presupune că [[domeniu de definiție|domeniul de definiție]] '''A''' conține o  mulțime de forma <math>(x_0-r, x_0) \cup (x_0, x_0+r) \!</math> unde <math>r>0. \!</math>

''Definiție'' („definiția cu ε (epsilon) și δ (delta)”):
Funcția '''f''' are limita '''l''' în punctul '''x<sub>o</sub>''' dacă pentru orice <math>\epsilon >0 \!</math> există un număr <math>\delta = \delta (\epsilon) >0 \!</math> astfel ca <math>|f(x)-l|< \epsilon, \; \forall x \in A, \; x \neq x_0  \!</math> și <math>|x-x_0|< \delta. \!</math>

Faptul că funcția '''f''' are limita '''l''' în punctul '''x<sub>o</sub>''' se notează:

::<math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l \!</math> sau <math>f(x) \underset {x \to x_0} \rightarrow l .\!</math>

''Definiție'' („definiția cu [[șir (matematică)|șiruri]]”):
Se spune că funcția ''f'' are limita ''l'' (finită sau infinită) în punctul <math> x_0 </math> dacă pentru orice șir <math> \{ x_n \}_{n \in \mathbb N} </math> convergent către <math> x_0 \; (x_n \in E , \; x_n \neq x_0) </math> șirul valorilor funcției <math> \{ f(x_n) \}_{n \in \mathbb N} </math> este convergent către ''l''.

=== Cazuri limită ===
Pentru cazul când unul sau amândouă numerele '''x<sub>o</sub>''' și ''l'' nu sunt finite, există următoarele definiții:
<math>1^{\circ}. \quad \lim_{x \to \infty} = l \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon >0, </math> există un <math> \delta (\epsilon), </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E </math> cu proprietatea <math> x> \delta (\epsilon) </math> să avem <math> |f(x) - l|< \epsilon. </math>

<math>2^{\circ}. \quad \lim_{x \to - \infty} f(x)= l \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon >0, </math> există un <math> \delta (\epsilon), </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E </math> cu proprietatea <math> x< \delta (\epsilon) </math> să avem <math> |f(x) - l|< \epsilon. </math>

<math>3^{\circ}. \quad \lim_{x \to x_0} f(x)= + \infty \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon </math> există un <math> \delta (\epsilon)>0, </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E , \; x \neq x_0</math> cu proprietatea <math> |x-x_0|< \delta (\epsilon) </math> să avem <math> f(x) > \epsilon. </math>

<math>4^{\circ}. \quad \lim_{x \to x_0}f(x) = - \infty \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon </math> există un <math> \delta (\epsilon)>0, </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E , \; x \neq x_0</math> cu proprietatea <math> |x-x_0|< \delta (\epsilon) </math> să avem <math> f(x) < \epsilon. </math>

<math>5^{\circ}. \quad \lim_{x \to + \infty} f(x)= + \infty \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon </math> există un <math> \delta (\epsilon), </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E , \; </math> cu proprietatea <math> x> \delta (\epsilon) </math> să avem <math> f(x) > \epsilon. </math>

<math>6^{\circ}. \quad \lim_{x \to x_0} f(x)= - \infty \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon </math> există un <math> \delta (\epsilon)>0, </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E , \;</math> cu proprietatea <math> |x-x_0|< \delta (\epsilon) </math> să avem <math> f(x) < \epsilon. </math>

<math>7^{\circ}. \quad \lim_{x \to - \infty}f(x) = + \infty \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon </math> există un <math> \delta (\epsilon), </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E , \; </math> cu proprietatea <math> x< \delta (\epsilon) </math> să avem <math> f(x) > \epsilon. </math>

<math>8^{\circ}. \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty \;   </math> &nbsp; înseamnă: pentru orice <math> \epsilon </math> există un <math> \delta (\epsilon), </math> astfel încât oricare ar fi <math> x \in E , \;</math> cu proprietatea <math> x< \delta (\epsilon) </math> să avem <math> f(x) < \epsilon. </math>

== Limite laterale ale unei funcții ==
''Definiție'':
Se spune că funcția <math> f: E \subseteq \mathbb R \to \mathbb R </math> are în punctul <math> x_o </math> ([[punct de acumulare (matematică)|punct de acumulare]] al mulțimii '''E''') ''limita la stânga'' <math> l_s </math>, dacă pentru orice [[vecinătate (matematică)|vecinătate]] '''U''' a lui <math> l_s </math> există o vecinătate '''V''' a lui <math> x_o </math>, astfel încât, oricare ar fi <math> x< x_0, \; x \in V \cap E, </math> să avem <math> f(x) \in U. </math>

Se notează:
:::<math>\lim_{ \begin{matrix} x \to x_0\\ x < x_0\end{matrix} } f(x)  = f(x_0 -0) = l_s.</math>

În mod similar se definește ''limita la dreapta'' și se notează:
:::<math>\lim_{ \begin{matrix} x \to x_0\\ x > x_0\end{matrix} } f(x)  = f(x_0 +
0) = l_d.</math>

== Proprietăți ==
''Teorema 1''.
Fie <math> f: E \subset \mathbb R \to \mathbb R </math> o funcție și <math> x_0 </math> un punct de acumulare al lui ''E''.
Dacă <math> \lim_{x \to x_0} f(x) = l, </math> atunci <math> \lim_{x \to x_0} |f(x)| = |l|. </math>

''Teorema 2''.
(Criteriul majorării)
Dacă ''f'' și ''g'' sunt definite pe ''E'', dacă <math> \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 </math> și dacă există un număr finit ''l'' și o vecinătate ''V'' a lui <math> x_0 </math>, astfel încât să fie valabilă inegalitatea <math> |f(x) - l | \leq g(x) , </math> pentru orice <math> x \in V \cap E, \; \; x \ne x_0 </math> atunci <math> \lim_{x \to x_0} f(x) = l. </math>

== Limita unei funcții compuse ==
Fie funcțiile <math> u: E \subseteq \mathbb R \to F \subseteq \mathbb R; \; \; f: F \subseteq \mathbb R \to \mathbb R </math> și funcția compusă:  

::<math> f \circ u : E \subseteq \mathbb R \to \mathbb R, \; (f \circ u) (x) = f(u(x) ) </math> 
pentru <math> x \in E. </math>
Fie <math> x_0 </math> un punct de acumulare al lui ''E'' și <math> u_0 </math> un punct de acumulare al lui ''F''.

''Teoremă''.
Dacă <math> \lim_{x \to x_0} u(x) = u_0 </math> și dacă <math> \lim_{u \to u_0} f(u) = l ,</math> atunci funcția compusă <math> f \circ u </math> are limită în <math> x_0 </math> și 
::<math> \lim_{x \to x_0} f(u(x)) = \lim_{u \to u_0} f(u) = l. </math>

== Bibliografie ==
* Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, ''Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate'', [[Editura Albatros]], [[București]], 1975

== Vezi și ==
* [[Funcție continuă]]
* [[Derivată]]
* [[Limită a unui șir]]

[[Categorie:Funcții matematice]]
[[Categorie:Analiză matematică]]