Vizualizare sursă pentru „Integrare prin schimbare de variabilă”

În [[analiza matematică]], '''integrarea prin schimbarea de variabilă''' (sau '''prin substituție''') este un procedeu de [[integrală|integrare]] care constă în înlocuirea unei [[variabilă|variabile]] (sau a unei [[funcție (matematică)|funcții]]) printr-o altă funcție sau alt parametru. {{nc|Se bazează pe folosirea diferențialei unei expresii algebrice.}}

Există două astfel de metode.

== Prima metodă de schimbare de variabilă ==
Această metodă se aplică pentru aflarea [[primitivă|primitivei]] unei funcții <math> h: I \rightarrow \mathbb R, </math> care poate fi scrisă sub forma:
::<math> h(t) = f (\phi (t) ) \cdot \phi' (t), \; \forall t \in \mathbb R, </math>
unde <math> \phi : I \rightarrow J \;  </math> &nbsp; este o [[funcție derivabilă |funcție derivabilă]], iar <math> f: I \rightarrow \mathbb R. </math>

Dacă funcția ''f'' admite o [[primitivă]] ''F'', adică &nbsp; <math> F' = f, </math> &nbsp; atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:
::<math> h(t) = F' ( \phi (t) ) \cdot \phi' (t)  = (F \circ \phi)' (t), </math>
deci <math> F \circ \phi </math> &nbsp; este o primitivă a lui ''h''.

=== Teoremă (''prima metodă de schimbare de variabilă'') ===
Fie ''I'', ''J'' [[interval (matematică)|intervale]] din <math> \mathbb R </math> &nbsp; și
::<math> \phi : I \rightarrow J  </math> &nbsp; &nbsp; <math> f : J \rightarrow \mathbb R  </math>
funcții cu proprietățile:
::<math> (\alpha) </math> &nbsp; φ este derivabilă pe ''I'',
::<math> (\beta) </math> &nbsp; ''f'' admite primitive (fie ''F'' o primitivă a sa).

Atunci funcția <math> (f \circ \phi) \cdot \phi' </math> &nbsp; admite primitive, iar funcția <math> F \circ \phi </math> &nbsp; este o primitivă a lui <math> (f \circ \phi) \cdot \phi', </math> &nbsp; adică:
::<math> \int f (\phi (t) ) \cdot \phi' (t) dt = F \circ \phi + \mathcal C. </math>

''Demonstrație''.
Funcția ''F'' fiind o primitivă a lui ''f'', este derivabilă pe ''J'' și &nbsp; <math> F' = f. </math>
Însă φ este derivabilă pe ''I'' (ipoteza (α)), deci și &nbsp; <math> F \circ \phi </math> &nbsp; este derivabilă pe ''I'' și:
::<math> (F \circ \phi)' (t) = F' (\phi (t)) \cdot \phi' (t) = f (\phi (t)) \cdot \phi' (t) \; \; \forall t \in I.   </math>

Așadar, funcția &nbsp; <math> F \circ \phi </math> &nbsp; este o primitivă a lui &nbsp; <math> (f \circ \phi ) \cdot \phi'.</math>

== A doua metodă de schimbare de variabilă ==
Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă ''H'' a funcției &nbsp; <math> h= (f \circ \phi) \cdot \phi' </math> &nbsp; și se cere să se găsească o primitivă ''F'' a funcției ''f''; ''F'' se obține din ''H'' astfel:
::<math> F= H \circ \phi^{-1}. </math>

== Vezi și ==
* [[Integrare prin părți]]

{{Ciot-matematică}}

[[Categorie:Calcul integral]]