Vizualizare sursă pentru „Inegalitatea lui Bernoulli”

[[Fișier:Bernoulli inequality.svg|thumb|right|200px|Graficele funcțiilor <br /> <math> y = (1+x)^r  \,</math> &nbsp;, în roșu<br /><math> y = 1 + rx \,</math> &nbsp;, în albastru.<br /> S-a luat &nbsp; <math> r=3 \,</math>]]
'''Inegalitatea lui Bernoulli''', atribuită lui [[Jakob Bernoulli]] ([[1654]] - [[1705]]), reprezintă una din [[inegalitate|inegalitățile]] care stau la baza teoretică a [[analiză matematică|analizei matematice]].

== Enunț ==

Dacă <math> x, r \in \mathbb{R} </math>, &nbsp; cu &nbsp;<math> x \ge -1 </math> și &nbsp; <math> r \ge 1 </math>, &nbsp; atunci:

::<math> (1+x)^r \ge 1+ rx </math> .

== Demonstrație ==

=== Cazul <math> r \in \mathbb{Z} </math> ===

Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită [[inducție matematică]].

Pentru <math> r = 0 \,</math>, inegalitatea este echivalentă <math> 1 \ge 1 </math> &nbsp;, ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.

Presupunând că inegalitatea se verifică pentru <math> r = n \, </math> se demonstrează valabilitatea implicației și pentru <math> r = n+1 \, </math>. Acesta este pasul inductiv al metodei.

Din <math> (1+x)^n \ge 1 + nx </math> rezultă

:: <math> (1 + x)(1 + x)^n \ge (1+x)(1 + nx) </math> 
și aceasta deoarece <math> (1 + x) \ge 0 </math>.

<math> \iff </math>

:: <math> (1 + x)^{n+1} \ge 1 + nx + x + nx^2 </math>

<math> \iff </math>
<math> (1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n +1)x + nx^2 </math> .

Cum însă <math> 1 + (n + 1)x + n x^2 \ge 1 + (n + 1)x </math>

(&nbsp; deoarece <math> nx^2 \ge 0 </math> &nbsp;)

rezultă

<math> (1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)x </math>

așadar, propoziția este valabilă și pentru 
<math> r = n + 1 \, </math>

=== Cazul <math> r \in \mathbb{R} </math> ===

În acest caz, se va face apel la noțiunea de [[serie binomială]] care se poate aplica pentru exponenți fracționari.

== Generalizare ==

== Aplicații ==

== Bibliografie ==
* Iacob, C. - ''Curs de matematici superioare'', București, 1957
* Bobancu, V. - ''Dicționar de matematici generale'', Editura Enciclopedică Română, București, 1974

== Vezi și ==

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassProductInequality Inegalitatea la MathWorld]{{Legătură nefuncțională|date=noiembrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{en icon}} [http://planethmath.org/encyclopedia/WierstrassProductInequality.html Inegalitatea la PlanetMath.org]{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

[[Categorie:Inegalități|Bernoulli]]
[[Categorie:Analiză matematică]]