Vizualizare sursă pentru „Hipercub”

{| align=right class=wikitable
|+ [[Perspectivă |Reprezentări în perspectivă]]
|-
| [[Fișier:Hexahedron.svg|180px]]
| [[Fișier:Hypercube.svg|180px]]
|-
! 3-cub (cub) !! 4-cub (tesseract)
|}
În [[geometrie]], un '''hipercub''' este corespondentul într-un spațiu ''n''-[[dimensiune |dimensional]] al [[pătrat]]ului din [[spațiu bidimensional|spațiul bidimensional]] (''n''&nbsp;=&nbsp;2), respectiv al [[cub]]ului din [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] (''n''&nbsp;=&nbsp;3). Sunt [[Politop|politopuri]] regulate, [[mulțime închisă |închise]], [[spațiu compact |compacte]], [[Politop convex|convexe]], al căror [[N-schelet|schelet]] este format din [[segment (geometrie) |segmente]] de aceeași lungime, [[paralelism (geometrie) |paralele]], opuse, aliniate cu direcțiile dimensiunilor, și [[perpendicularitate |perpendiculare]] unele pe altele. Lungimea celor mai lungi [[diagonală |diagonale]] ale unui hipercub în ''n'' dimensiuni este <math>\sqrt{n}</math>.

Un hipercub ''n''-dimensional este numit adesea '''''n''-cub''' sau, uneori, '''cub ''n''-dimensional'''. Termenul '''politop de măsură''' ({{en|measure polytope}}) (folosit inițial de Elte în 1912)<ref>{{en icon}} {{cite book|title=The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces|last=Elte|first=E. L.|publisher=[[University of Groningen]]|year=1912|location=Netherlands|chapter=IV, Five dimensional semiregular polytope|isbn = 141817968X}}</ref> este de asemenea întâlnit, în special în lucrările lui [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]], care notează hipercuburile cu γ<sub>n</sub>.<ref>Coxeter, ''Regular…'', pp.&nbsp;122–123 (Fig 7.2)</ref>

Hipercubul este un caz particular al {{ill-wd|Q3801534||hiperdreptunghiului}} (care este numit și „''n''-ortotop”).

''Hipercubul unitar'' este un hipercub ale cărui laturi au lungimea de o unitate. Hipercubul care are cele 2<sup>''n''</sup> vârfuri din '''R'''<sup>''n''</sup> cu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 este numit „hipercubul unitate”.

== Construcția ==
[[Fișier:Dimension levels.svg|thumb|300px|Schema generării unui 4-cub dintr-un punct]]
[[Fișier:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|thumb|256px|Animație cu generarea unui 4-cub dintr-un punct]]
[[Fișier:8-cell.gif|right|thumb|256px|Proiecția unui 4-cub (tesseract) în rotație]]
Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni:

:'''0''' – Un punct este un hipercub în zero dimensiuni.
:'''1''' – Deplasând punctul cu o unitate de lungime de-a lungul unei dimensiuni se va obține un segment, care este un hipercub cu o dimensiune.
:'''2''' – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului, cu o unitate de lungime, se va obține un pătrat, care este un hipercub în două dimensiuni.
:'''3''' – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, cu o unitate de lungime, se va obține un cub, care este un hipercub în trei dimensiuni.
:'''4''' – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe celelalte trei dimensiuni, cu o unitate de lungime, se va obține un [[4-cub]], care este un hipercub în patru dimensiuni (numit și [[tesseract]]).

Procedeul se poate generaliza pentru orice număr de dimensiuni. Acest proces de parcurgere a volumelor poate fi formalizat matematic ca o {{ill-wd|Q1322294}}: hipercubul ''d''-dimensional este suma Minkowski a ''d'' segmente mutual perpendiculare, prin urmare este un exemplu de ''zonotop''.

[[N-schelet|1-scheletul]] hipercubului este ''{{ill-wd|Q958394}}''.

== Coordonate ==
Hipercubul unitar în ''n'' dimensiuni este [[anvelopă convexă|anvelopa convexă]] a punctelor date de toate permutările semnelor [[coordonate carteziene |coordonatelor carteziene]] <math>\left(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \cdots, \pm \frac{1}{2}\right)</math>. El are laturile de lungime 1 și un volum ''n''-dimensional de 1.

Un hipercub ''n''-dimensional este adesea privit ca anvelopa convexă a tuturor permutărilor semnelor coordonatelor <math>(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)</math>. Această [[formă]] este des folosită datorită ușurinței scrierii coordonatelor. În acest caz lungimea laturilor este 2, iar volumul său ''n''-dimensional este 2<sup>n</sup>.

== Elemente ==
Orice ''n''-cub pentru ''n'' > 0 este format din elemente, sau ''n''-cuburi de dimensiune inferioară, plasate pe suprafețele (''n''−1)-dimensionale ale hipercubului de proveniență. Fețele sale sunt hipercuburi (''n''−1)-dimensionale. Un hipercub ''n''-dimensional are 2''n'' elemente care-l mărginesc: o dreaptă unidimensională are 2 puncte de capăt; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are 6 fețe bidimensionale, un 4-cub (tesseract) are 8 celule tridimensionale. Numărul de vârfuri ale unui hipercub este <math>2^{n}</math> (de exemplu cubul are <math>2^{3}</math> vârfuri (colțuri)).

Numărul de hipercuburi ''m''-dimensionale (în continuare se va folosi această expresie pentru hipercuburi de dimensiuni inferioare) pe frontierele unui ''n''-cub este

:<math> E_{m,n} = 2^{n-m}{n \choose m} </math>,{{sfn|Coxeter|1973|p=122|loc=§7·25}} &nbsp; &nbsp; unde <math>{n \choose m}=\frac{n!}{m!\,(n-m)!}</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; unde ''n''! este [[factorial]] de ''n''.

De exemplu, pe frontierele unui 4-cub (''n''&nbsp;=&nbsp;4) există 8 cuburi (tip 3-cub), 24 de pătrate (2-cub), 32 de segmente (1-cub) și 16 vârfuri (0-cub).

Această relație poate fi demonstrată pe cale combinatorică: fiecare dintre <math>2^n</math> vârfuri definește un capăt pe frontierele ''m''-dimensionale. Există <math>{n \choose m}</math> moduri în care se pot alege liniile ("laturile") care definesc subspațiul definit de aceste laturi. Dar, deoarece fiecare latură apare de <math>2^m</math> ori în vârfuri, numărul vârfurilor se obține prin împărțirea totalului cu acest număr.

Această relație se poate folosi pentru a obține formula pentru suprafața hipercubului ''n''-dimensional. Această suprafață este: <math>2ns^{n-1}</math>.

Aceste valori pot fi obținute cu relația liniară recursivă

:<math>E_{m,n} = 2E_{m,n-1} + E_{m-1,n-1} \!</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp; cu <math>E_{0,0} = 1 \!</math> &nbsp; și elementele încă [[expresie nedefinită|nedefinite]] (unde <math>n < m</math>, <math>n < 0</math>, sau <math>m < 0</math> ) <math>=0</math>.

De exemplu, prin extensia pătratului, în fiecare din cele 4 colțuri ale sale apare câte un segment, din care se vor forma pătratele care vor mărgini cubul, obținând-se în total <math>E_{1,3} \!</math> = 12 segmente (muchiile cubului).

{| class="wikitable"
|+
Elementele hipercuburilor <math>E_{m,n} \!</math> (secvența OEIS A038207)<ref>{{OEIS|A038207}}</ref>)
|-
! || || || m|| 0|| 1|| 2|| 3|| 4|| 5|| 6|| 7|| 8|| 9|| 10
|-
! ''[[politop|n]]''
! ''n''-cub
! Denumiri alternative
! Simbol<br/>[[Simbol Schläfli |Schläfli]]<br/>Coxeter
![[Vârf (geometrie)|Vârf]]<br/>0-fețe<br/>|| [[Latură (geometrie)|Latură]]<br/>1-fețe<br/>|| [[Față (geometrie)|Fețe]]<br/>2-fețe<br/>|| [[Celulă (geometrie)|Celulă]]<br/>3-fețe<br/>|| <br/>4-fețe<br/>||<br/> 5-fețe<br/>|| <br/>6-fețe<br/>|| <br/>7-fețe<br/>||<br/> 8-fețe<br/>|| <br/>9-fețe<br/>||<br/>10-fețe<br/>
|-
! [[0-politop|0]]
! 0-cub
| Punct<br/>'''Monon'''<br/>
| ( )<br/>{{CDD|node}}<br/>
| 1||  ||rowspan=2| ||rowspan=3| ||rowspan=4| ||rowspan=5| ||rowspan=6| ||rowspan=7| ||rowspan=8| ||rowspan=9| ||rowspan=10|
|-
! [[1-politop|1]]
! 1-cub
| [[Segment]]<br/>'''Dion'''<ref>{{en icon}} [[Norman Johnson|Johnson, Norman W.]], ''Geometries and Transformations'', Cambridge University Press, 2018, p. 224</ref><br/>
|{}<br/>{{CDD|node_1}}<br/>
| 2|| 1
|-
! [[2-politop|2]]
! 2-cub
| [[Pătrat]]<br/>'''Tetragon'''<br/>
|{4}<br/>{{CDD|node_1|4|node}}<br/>
| 4|| 4|| 1
|-
! [[3-politop|3]]
! 3-cub
| [[Cub]]<br/>'''Hexaedru'''<br/>
|{4,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node}}<br/>
| 8|| 12|| 6|| 1
|-
! [[4-politop|4]]
! 4-cub
| [[Tesseract]]<br/>'''8-celule'''<br/>
|{4,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>
| 16|| 32|| 24|| 8|| 1
|-
! [[5-politop|5]]
! [[5-cub]]
| Pentaract<br/>'''Deca-5-top'''<br/>
|{4,3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
| 32|| 80|| 80|| 40|| 10|| 1
|-
! [[6-politop|6]]
! [[6-cub]]
| Hexaract<br/>'''Dodeca-6-top'''<br/>
|{4,3,3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
| 64|| 192|| 240|| 160|| 60|| 12|| 1
|-
! [[7-politop|7]]
! [[7-cub]]
| Heptaract<br/>'''Tetradeca-7-top'''<br/>
|{4,3,3,3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
| 128|| 448|| 672|| 560|| 280|| 84|| 14|| 1
|-
! [[8-politop|8]]
! [[8-cub]]
| Octaract<br/>'''Hexadeca-8-top'''<br/>
|{4,3,3,3,3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
| 256|| 1024|| 1792|| 1792|| 1120|| 448|| 112|| 16|| 1
|-
! [[9-politop|9]]
! [[9-cub]]
| Enearact<br/>'''Octodeca-9-top'''<br/>
|{4,3,3,3,3,3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
| 512|| 2304|| 4608|| 5376|| 4032|| 2016|| 672|| 144|| 18|| 1
|-
! [[10-politop|10]]
! [[10-cub]]
| Decaract<br/>'''Icosa-10-top'''<br/>
|{4,3,3,3,3,3,3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
|1024||5120||11520||15360||13440||8064||3360||960||180||20||1
|}

=== Grafuri ===
Un '''''n''-cub''' poate fi proiectat într-un [[poligon regulat]] cu 2''n'' laturi ([[Poligon Petrie]]). Tabelul următor prezintă exemple de la segment până la 15-cub.

{| class=wikitable
|+ [[Proiecție ortogonală|Proiecția ortogonală]] a [[Poligon Petrie |poligoanelor Petrie]]
|- align=center
|[[Fișier:1-simplex t0.svg|160px]]<br />Segment
|[[Fișier:2-cube.svg|160px]]<br />Pătrat
|[[Fișier:3-cube graph.svg|160px]]<br />Cub
|[[Fișier:4-cube graph.svg|160px]]<br />4-cub
|[[Fișier:5-cube graph.svg|160px]]<br />5-cub
|- align=center
|[[Fișier:6-cube graph.svg|160px]]<br />6-cub
|[[Fișier:7-cube graph.svg|160px]]<br />7-cub
|[[Fișier:8-cube.svg|160px]]<br />8-cub
|[[Fișier:9-cube.svg|160px]]<br />9-cub
|[[Fișier:10-cube.svg|160px]]<br />10-cub
|- align=center
|[[Fișier:11-cube.svg|160px]]<br />11-cub
|[[Fișier:12-cube.svg|160px]]<br />12-cub
|[[Fișier:13-cube.svg|160px]]<br />13-cub
|[[Fișier:14-cube.svg|160px]]<br />14-cub
|[[Fișier:15-cube.svg|160px]]<br />15-cub
|}

== Familii conexe de politopuri ==
Hipercuburile aparțin uneia dintre puținele familii de [[Politop regulat|politopuri regulate]] care sunt reprezentate în orice număr de dimensiuni.

Familia de hipercuburi este una dintre cele trei familii de politopuri regulate, notate de Coxeter cu ''γ<sub>n</sub>''. Celelalte două sunt familia pereche a hipercubului, [[ortoplex |ortoplecșii]], notați cu ''β<sub>n,</sub>'' și [[Simplex|simplexurile]], notate cu ''α<sub>n</sub>''. A patra familie, [[Fagure hipercubic |fagurii hipercubici]] a fost notată de el cu ''δ<sub>n</sub>''.

O altă familie înrudită de [[politop uniform |politopuri uniforme]] semiregulate sunt {{ill-wd|Q5255350||semihipercuburile}}, care sunt construite din hipercuburi prin ștergerea alternantă de vârfuri și adăugarea în goluri a simplexurilor, forme notate cu ''hγ<sub>n</sub>''.

''n''-cuburile pot fi combinate cu perechile lor (ortoplecșii) pentru a forma politopuri compuse:

* în două dimensiuni se obține [[ocatagramă|octagrama]] stelată, simbol Schläfli {8/2},
* în trei dimensiuni se obține [[compus de cub și octaedru |compusul de cub și octaedru]],
* în patru dimensiuni se obține [[compus de tesseract și 16-celule |compusul de tesseract și 16-celule]].

== Relația cu (''n''&minus;1)-simplexurile ==
Graful laturilor unui ''n''-hipercub este [[izomorfism |izomorf]] cu {{ill-wd|Q901446||diagrama Hasse}} a laticei fețelor (''n''&minus;1)-simplexului. Acest fapt poate fi observat [[orientare (geometrie)|orientând]] diagrama ''n''-hipercubului astfel încât două noduri să fie aliniate vertical, nodul de sus corespunzând (''n''&minus;1)-simplexului însuși, iar cel de jos politopului nul. Fiecare nod conectat la nodul de sus marchează într-un mod unic o față (față ''n''&minus;2) a (''n''&minus;1)-simplexului, fiecare nod conectat la aceste noduri marchează o față ''n''&minus;3 a simplexului, și tot așa, iar nodurile conectate nodului de jos marchează vârfurile simplexului.

Metoda poate fi folosită pentru a obține în mod eficient laticea fețelor unui (''n''&minus;1)-simplex, deoarece algoritmii de enumerare a laticei fețelor aplicabili la politopuri în general necesită capacități de calcul mai mari.

== Hipercuburi generalizate ==
{{ill-wd|Q1500531||Politopurile complexe}} regulate pot fi definite în spațiul [[număr complex |complex]] [[spațiu Hilbert |Hilbert]] drept ''hipercuburi generalizate'', &gamma;{{subsuper|p=''p''| b=''n''}} = <sub>''p''</sub>{4}<sub>2</sub>{3}...<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>, sau {{CDD|pnode_1|4|node|3}}..{{CDD|3|node|3|node}}. Există soluții reale pentru ''p''&nbsp;=&nbsp;2, de exemplu &gamma;{{subsuper|p=2| b=''n''}}&nbsp;= &gamma;<sub>''n''</sub>&nbsp;= <sub>2</sub>{4}<sub>2</sub>{3}&nbsp;...&nbsp;&nbsp;<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>&nbsp;= {4,&nbsp;3,&nbsp;…&nbsp;,&nbsp;3}. Pentru ''p''&nbsp;>&nbsp;2, ele există în <math>\mathbb{C}^n</math>. Fețele sunt (''n''&minus;1)-cuburi generalizate, iar vârfurile sunt simplexuri regulate.

Perimetrele poligoanelor regulate din [[proiecție ortogonală|proiecțiile ortogonale]] ale acestora sunt poligoane Petrie. Pătratele generalizate (''n''&nbsp;=&nbsp;2) sunt trasate cu ''p''-laturi în culori alternante, roșu și albastru, iar ''n''-cuburile sunt trasate cu linii negre.

Numărul elementelor de tip ''m''-față ale ''n''-cubului ''p''-generalizat este: <math> p^{n-m}{n \choose m}</math>. Există ''p''<sup>''n''</sup> vârfuri și ''pn'' fețe.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Coxeter | first = H. S. M.
 | mr = 0370328
 | page = 180
 | publisher = [[Cambridge University Press]] | location = London & New York
 | title = Regular complex polytopes
 | year = 1974}}.</ref>

{| class=wikitable
|+ Hipercuburi generalizate
! || ''p''&nbsp;=&nbsp;2 || ||''p''&nbsp;=&nbsp;3 ||''p''&nbsp;=&nbsp;4||''p''&nbsp;=&nbsp;5||''p''&nbsp;=&nbsp;6||''p''&nbsp;=&nbsp;7||''p''&nbsp;=&nbsp;8
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^2</math>
|[[Fișier:2-generalized-2-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=2}} = [[pătrat|{4}]] = {{CDD|node_1|4|node}}<br/>4 vârfuri
!<math>\Complex^2</math>
|[[Fișier:3-generalized-2-cube skew.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=2}} = {{CDD|3node_1|4|node}}<br/>9 vârfuri
|[[Fișier:4-generalized-2-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=4| b=2}} = {{CDD|4node_1|4|node}}<br/>16 vârfuri
|[[Fișier:5-generalized-2-cube skew.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=5| b=2}} = {{CDD|5node_1|4|node}}<br/>25 vârfuri
|[[Fișier:6-generalized-2-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=6| b=2}} = {{CDD|6node_1|4|node}}<br/>36 vârfuri
|[[Fișier:7-generalized-2-cube skew.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=7| b=2}} = {{CDD|7node_1|4|node}}<br/>49 vârfuri
|[[Fișier:8-generalized-2-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=8| b=2}} = {{CDD|8node_1|4|node}}<br/>64 vârfuri
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^3</math>
|[[Fișier:2-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=3}} = [[cub|{4,3}]] = {{CDD|node_1|4|node|3|node}}<br/>8 vârfuri
!<math>\Complex^3</math>
|[[Fișier:3-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=3}} = {{CDD|3node_1|4|node|3|node}}<br/>27 vârfuri
|[[Fișier:4-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=4| b=3}} = {{CDD|4node_1|4|node|3|node}}<br/>64 vârfuri
|[[Fișier:5-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=5| b=3}} = {{CDD|5node_1|4|node|3|node}}<br/>125 vârfuri
|[[Fișier:6-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=6| b=3}} = {{CDD|6node_1|4|node|3|node}}<br/>216 vârfuri
|[[Fișier:7-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=7| b=3}} = {{CDD|7node_1|4|node|3|node}}<br/>343 vârfuri
|[[Fișier:8-generalized-3-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=8| b=3}} = {{CDD|8node_1|4|node|3|node}}<br/>512 vârfuri
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^4</math>
|[[Fișier:2-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=4}} = [[4-cub|{4,3,3}]]<br/>= {{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>16 vârfuri
!<math>\Complex^4</math>
|[[Fișier:3-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=4}} = {{CDD|3node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>81 vârfuri
|[[Fișier:4-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=4| b=4}} = {{CDD|4node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>256 vârfuri
|[[Fișier:5-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=5| b=4}} = {{CDD|5node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>625 vârfuri
|[[Fișier:6-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=6| b=4}} = {{CDD|6node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>1296 vârfuri
|[[Fișier:7-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=7| b=4}} = {{CDD|7node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>2401 vârfuri
|[[Fișier:8-generalized-4-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=8| b=4}} = {{CDD|8node_1|4|node|3|node|3|node}}<br/>4096 vârfuri
|- align=center valign=bottom
!valign=center|<math>\mathbb{R}^5</math>
|[[Fișier:2-generalized-5-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=5}} = [[5-cub|{4,3,3,3}]]<br/>= {{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>32 vârfuri
!valign=center|<math>\Complex^5</math>
|[[Fișier:3-generalized-5-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=5}} = {{CDD|3node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>243 vârfuri
|[[Fișier:4-generalized-5-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=4| b=5}} = {{CDD|4node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>1024 vârfuri
|[[Fișier:5-generalized-5-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=5| b=5}} = {{CDD|5node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>3125 vârfuri
|[[Fișier:6-generalized-5-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=6| b=5}} = {{CDD|6node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>7776 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=7| b=5}} = {{CDD|7node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>16,807 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=8| b=5}} = {{CDD|8node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>32,768 vârfuri
|- align=center valign=bottom
!valign=center|<math>\mathbb{R}^6</math>
|[[Fișier:2-generalized-6-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=6}} = [[6-cub|{4,3,3,3,3}]]<br/>= {{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>64 vârfuri
!valign=center|<math>\Complex^6</math>
|[[Fișier:3-generalized-6-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=6}} = {{CDD|3node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>729 vârfuri
|[[Fișier:4-generalized-6-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=4| b=6}} = {{CDD|4node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>4096 vârfuri
|[[Fișier:5-generalized-6-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=5| b=6}} = {{CDD|5node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>15,625 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=6| b=6}} = {{CDD|6node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>46,656 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=7| b=6}} = {{CDD|7node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>117,649 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=8| b=6}} = {{CDD|8node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>262,144 vârfuri
|- align=center valign=bottom
!valign=center|<math>\mathbb{R}^7</math>
|[[Fișier:2-generalized-7-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=7}} = [[7-cub|{4,3,3,3,3,3}]]<br/>= {{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>128 vârfuri
!valign=center|<math>\Complex^7</math>
|[[Fișier:3-generalized-7-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=7}} = {{CDD|3node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>2187 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=4| b=7}} = {{CDD|4node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>16,384 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=5| b=7}} = {{CDD|5node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>78,125 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=6| b=7}} = {{CDD|6node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>279,936 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=7| b=7}} = {{CDD|7node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>823,543 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=8| b=7}} = {{CDD|8node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>2,097,152 vârfuri
|- align=center valign=bottom
!valign=center|<math>\mathbb{R}^8</math>
|[[Fișier:2-generalized-8-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=2| b=8}} = [[8-cub|{4,3,3,3,3,3,3}]]<br/>= {{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>256 vârfuri
!valign=center|<math>\Complex^8</math>
|[[Fișier:3-generalized-8-cube.svg|100px]]<br/>&gamma;{{subsuper|p=3| b=8}} = {{CDD|3node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>6561 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=4| b=8}} = {{CDD|4node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>65,536 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=5| b=8}} = {{CDD|5node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>390,625 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=6| b=8}} = {{CDD|6node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>1,679,616 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=7| b=8}} = {{CDD|7node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>5,764,801 vârfuri
|&gamma;{{subsuper|p=8| b=8}} = {{CDD|8node_1|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>16,777,216 vârfuri
|}

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book
|author-link = Harold Scott MacDonald Coxeter
|last = Coxeter
|first = H. S. M.
|title = Regular Polytopes
|edition = 3rd
|publisher = [[Dover Publications|Dover]]
|year = 1973
|pages = [https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/122 122-123]
|location = §7.2. see illustration Fig. 7-2<small>C</small>
|isbn = 0-486-61480-8
}} p.&nbsp;296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in ''n'' dimensions (''n''&nbsp;≥&nbsp;5)

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{cite journal|author-link=Jonathan Bowen |last=Bowen |first=J. P. | title=Hypercube | journal=Practical Computing | volume=5 | issue=4 | pages=97–99 | date=April 1982 |url=http://www.jpbowen.com/publications/ndcubes.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20080630081518/http://www.jpbowen.com/publications/ndcubes.html |url-status=dead |archive-date=2008-06-30 | accessdate=June 30, 2008 }}
* {{en icon}} {{cite book
|first = Frederick J.
|last = Hill
|author2 = Gerald R. Peterson
|title = Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition
|year = 1974
|publisher = John Wiley & Sons
|place = New York
|isbn = 0-471-39882-9
}}

== Legături externe ==
* {{commonscat-inline|Hypercubes}}
* {{en icon}} {{MathWorld|title=Hypercube|urlname=Hypercube}} ({{ro|Hipercub}})
* {{en icon}} {{MathWorld|title=Hypercube graphs|urlname=HypercubeGraph}} ({{ro|Grafuri ale hipercuburilor}})
* {{en icon}} [http://www.4d-screen.de/related-space/ www.4d-screen.de] (Rotation of 4D – 7D-Cube) ({{ro|4-cub – 7-cub în rotație}})
* {{en icon}} ''[http://demonstrations.wolfram.com/RotatingAHypercube/ Rotating a Hypercube]'' ({{ro|Rotind hipercubul}}) de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
* {{en icon}} [http://dogfeathers.com/java/hyprcube.html Stereoscopic Animated Hypercube] ({{ro|Hipercub animat, steroscopic}})
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20130326090312/http://www.cs.sjsu.edu/~rucker/hypercube.htm Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads]

{{Portal|Matematică}}
{{Politopuri}}
{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}

[[Categorie:Geometrie multidimensională]]
[[Categorie:Cuburi]]