Vizualizare sursă pentru „Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)”

În [[dinamica fluidelor]], '''ecuațiile lui [[Euler]]''' constituie un [[sistem de ecuații]] ce descriu mișcarea [[fluid]]elor fără [[viscozitate]] și reprezintă o consecință a conservării [[masă|masei]], momentului și [[energie]]i în cadrul [[ecuațiile Navier-Stokes|ecuațiilor Navier-Stokes]].
[[Fișier:Part de fluid sub act fort supraf.png|thumb|right|350px|[[Element de fluid |Element de fluid]] sub acțiunea [[forță de suprafață |forțelor de suprafață]]]]
Pentru obținerea acestor ecuații, se va considera un o [[element de fluid]] [[paralelipiped]]ic de masă ''dm''.
Aceasta se află în [[echilibru dinamic]] sub acțiunea forței de inerție și a forțelor exterioare:
::<math> dm \cdot \vec a = d \vec F_m + d \vec F_s, </math>
unde
::<math> d \vec F_m = \vec f_m \cdot dm</math>
este forța masică, <math> \vec f_m (X, Y, Z) </math> fiind forța masică unitară.

Componentele masice sunt:
::<math>\begin{cases} dF_{m_x} = X \cdot \rho \cdot dx \cdot dy \cdot dz   \\  dF_{m_y} = Y \cdot \rho \cdot dx \cdot dy \cdot dz  \\ dF_{m_z} = Z \cdot \rho \cdot dx \cdot dy \cdot dz  \end{cases}</math> 

[[Forță de suprafață |Forțele de suprafață]] se pot calcula pe fiecare suprafață a elementului de fluid prin produsul dintre valoarea [[presiune|presiunii]] (considerată constantă pe fiecare față a particulei) și mărimea [[arie|suprafeței]] pe care acționează.
Componentele după direcțiile ''Ox'', ''Oy'', ''Oz'' ale rezultantei forțelor de presiune <math> dF_p </math> sunt:
::<math> \begin{cases}  d F_{p_x} = p \cdot dy \cdot dz - \left (   p+ \frac {\partial p}{\partial x} \cdot dx \cdot dy \cdot dz \right ) = - \frac  {\partial p}{\partial x} \cdot dx \cdot dy \cdot dz  \\   d F_{p_y} =   - \frac  {\partial p}{\partial y} \cdot dy \cdot dy \cdot dz  \\   d F_{p_z} =   - \frac  {\partial p}{\partial z} \cdot dy \cdot dy \cdot dz  \end{cases}  </math>

Ecuația de mișcare după direcția ''Ox'' este:

::<math> \frac {du}{dt} = \rho \cdot dx \cdot dy \cdot dz = X \cdot  \rho \cdot dx \cdot dy \cdot dz - \frac {\partial p}{\partial x} \cdot dx \cdot dy \cdot dz .</math>

Analog se obțin ecuațiile după direcțiile ''Oy'' și ''Oz''.
Se împart aceste ecuații la masa elementului de fluid <math> dm = \rho \cdot dx \cdot dy \cdot dz \ne 0 </math> și ținând cont de derivatele substanțiale ale vitezelor, obținem ecuațiile lui Euler pentru dinamica fluidelor reale:

[[Fișier:Ecuaţiile Euler (dinamica fluidelor).png|thumb|center|500px]]
{{Portal|Matematică|Fizică}}

[[Categorie:Dinamica fluidelor]]
[[Categorie:Ecuații ale fizicii]]