Vizualizare sursă pentru „Ecuație cu derivate parțiale parabolică”

În [[analiza matematică |analiza matematică]] o '''ecuație cu derivate parțiale parabolică''' este un tip de [[ecuație cu derivate parțiale]] (EDP). Aceste ecuații parabolice sunt folosite pentru a descrie o mare varietate de fenomene dependente de timp, de exemplu în [[inginerie fizică |ingineria fizică]], [[mecanică cuantică |mecanica cuantică]] și [[Finanțe matematice|matematica financiară]]. Exemplele cuprind [[ecuația propagării căldurii]], [[ecuația lui Schrödinger]] dependentă de timp și {{ill-wd| Q17005676||ecuația Black–Scholes}}.

== Definiție ==
Pentru a defini cel mai simplu tip de EDP parabolică, fie o funcție reală <math>u(x, y)</math> de două variabile reale independente, <math>x</math> și <math>y</math>. O EDP de ordinul al doilea, liniară, cu coeficienți constanți pentru <math>u</math> are forma
: <math>Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0</math>
unde indicii arată [[derivată parțială |derivatele parțiale]] de ordinul întâi și al doilea în raport cu <math>x</math> și <math>y</math>. O EDP este clasificată drept ''parabolică'' dacă coeficienții părții principale (adică termenii care conțin derivatele de ordinul al doilea ale lui <math>u</math>) îndeplinesc condiția<ref>Zauderer, 2006, p. 124</ref>
: <math>B^2 - AC = 0</math>

De obicei <math>x</math> reprezintă poziția unidimensională, <math>y</math> reprezintă timpul, iar EDP este rezolvată pentru o anumită [[condiție inițială]] și a [[problema condiției la limită |condiției la limită]] prescrise. Ecuațiile cu <math>B^2 - AC < 0</math> sunt denumite [[ecuație cu derivate parțiale eliptică |eliptice]], în timp ce cele cu <math>B^2 - AC > 0</math> sunt [[ecuație cu derivate parțiale hiperbolică |hiperbolice]]. Denumirea „parabolică” este folosită deoarece relația dintre coeficienți este aceeași cu condiția pentru ecuația [[geometrie analitică |geometriei analitice]] <math>A x^2 + 2B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math> care definește o [[parabolă]].

Exemplul de bază a unei EDP parabolice este ecuația propagării căldurii unidimensională.
: <math>u_t = \alpha\,u_{xx},</math>
unde <math>u(x,t)</math> este temperatura în poziția <math>x</math> de-a lungul unei bare subțiri la momentul <math>t,</math> iar <math>\alpha</math> este o constantă pozitivă, [[difuzivitate termică |difuzivitatea termică]].

Ecuația căldurii spune, aproximativ, că temperatura într-un punct și la un moment dat crește sau scade cu o viteză proporțională cu diferența dintre temperatura din acel punct și temperatura medie din apropierea acelui punct. Mărimea <math>u_{xx}</math> măsoară cât de departe este temperatura de a satisface proprietatea valorii medii a [[funcție armonică |funcțiilor armonice]].

Conceptul de EDP parabolică poate fi generalizat în mai multe moduri. De exemplu, fluxul de căldură printr-un corp material este guvernat de ecuația tridimensională a căldurii
: <math>u_t = \alpha\,\Delta u,</math>
unde
: <math>\Delta u := \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2},</math>
este [[laplacian]]ul acționând asupra lui <math>u</math>. Această ecuație este prototipul unei EDP ''parabolică multidimensională''.<ref>Zauderer, 2006, p. 139</ref>

De reținut că <math>-\Delta</math> este un {{ill-wd| Q427625||operator eliptic}} care sugerează o definiție mai largă a unei EDP parabolice:
: <math>u_t = -Lu,</math>
unde <math>L</math> este operatorul eliptic de ordinul al doilea (care implică faptul că <math>L</math> trebuie să fie pozitiv; un caz în care <math>u_t = +Lu</math> este prezentat mai jos).

Un sistem de ecuații cu derivate parțiale pentru un vector <math>u</math> poate fi, de asemenea, parabolic. De exemplu, un astfel de sistem este ascuns într-o ecuație de forma
: <math>\nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) + b(x)^\text{T} \nabla u(x) + cu(x) = f(x)</math>
dacă funcția matricială <math>a(x)</math> are un {{ill-wd| Q574844|nucleu (algebră)|nucleu}} de dimensiunea 1.

== Rezolvare ==
În sens larg, o problemă inițială/condiție la limită pentru o EDP parabolică liniară are întotdeauna o soluție. Soluția <math>u(x,t)</math>, în funcție de <math>x</math> pentru un anume <math>t > 0</math>, este în general mai netedă decât datele inițiale <math>u(x,0) = u_0(x)</math>.

Pentru o EDP parabolică neliniară, o soluție a unei probleme inițiale/condiții la limită ar putea ajunge la o [[singularitate (matematică) |singularitate]] într-o perioadă finită de timp. Poate fi dificil de determinat dacă există întotdeauna o soluție sau de înțeles singularitățile care apar. Astfel de întrebări interesante apar în soluția [[conjectura Poincaré |conjecturii Poincaré]] via {{ill-wd| Q1361396||transformarea Ricci}}.

== Ecuație parabolică inversă ==
Ocazional se întâlnește așa-numita ''EDP parabolică inversă'', care are forma <math>u_t = Lu</math> (de observat absența semnului minus).

O problemă cu valoarea inițială pentru ecuația căldurii inversă,
:<math>\begin{cases} u_{t} = -\Delta u & \textrm{pe} \ \ \Omega \times (0,T), \\ u=0 & \textrm{pe} \ \ \partial\Omega \times (0,T), \\ u = f & \textrm{pe} \ \ \Omega \times \left \{ 0 \right \}. \end{cases}</math>
este echivalentă cu o problemă cu valoarea finală pentru ecuația obișnuită a căldurii,
:<math>\begin{cases} u_{t} = \Delta u & \textrm{pe} \ \ \Omega \times (0,T), \\ u=0
& \textrm{pe} \ \ \partial\Omega \times (0,T), \\ u = f & \textrm{pe} \ \ \Omega \times \left \{ T \right \}. \end{cases} </math>

Similar cu o problemă cu valoarea finală pentru o EDP parabolică, o problemă cu valoarea inițială pentru o EDP parabolică inversă de obicei nu este {{ill-wd| Q1455898||bine pusă}} (soluțiile cresc adesea nelimitat în timp finit, sau chiar nu există). Totuși, aceste probleme sunt importante pentru studiul reflectării singularităților soluțiilor la diferite alte EDP.<ref>Taylor, 1975</ref>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite journal | last=Taylor | first=Michael E. | title=Reflection of singularities of solutions to systems of differential equations | journal=Communications on Pure and Applied Mathematics | volume=28 | issue=4 | date=1975 | issn=0010-3640 | doi=10.1002/cpa.3160280403 |citeseerx=10.1.1.697.9255 | pages=457–478}}
* {{en icon}} {{cite book | last=Zauderer | first=Erich | title=Partial Differential Equations of Applied Mathematics | publisher=Wiley-Interscience | publication-place=Hoboken, N.J | date=2006 | isbn=978-0-471-69073-3 | oclc=ocm70158521}}

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019}}
* {{en icon}} {{springer|title=Parabolic partial differential equation|id=p/p071210}}
* {{en icon}} {{springer|title=Parabolic partial differential equation, numerical methods|id=p/p071220}}

== Vezi și ==
* [[Ecuație cu derivate parțiale eliptică]]
* [[Ecuație cu derivate parțiale hiperbolică]]
{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Ecuații cu derivate parțiale|parabolic]]