Vizualizare sursă pentru „Ecuația forței vii”

În [[mecanică cerească|mecanica spațială]], '''ecuația forței vii''' (în {{fr|L'équation de la force vive}}, iar în {{en|Vis-viva equation}}) este o [[ecuație]] importantă a mișcării corpurilor pe [[orbită (astronomie)|orbită]]. Este rezultatul [[Legea conservării energiei|legii conservării energiei]] potrivit căreia [[Adunare|suma]] [[energie|energiilor]] [[energie cinetică|cinetice]] și [[energie potențială|potențiale]] este constantă în orice punct al orbitei.

==Ecuația forței vii==
Ecuația forței vii<ref>{{en icon}} T. Logsdon, [http://books.google.de/books?id=C70gQI5ayEAC ''Orbital Mechanics: theory and applications''], John Wiley & Sons, 1998</ref> este definită de:

:<math>v =\sqrt { GM \left({{ 2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)}</math>

unde:
*<math>v\,\!</math> este [[viteză relativă|viteza relativă]] a celor două corpuri;
*<math>r\,\!</math> este distanța dintre cele două corpuri;
*<math>a\,\!</math> este [[semiaxa majoră]];
*<math>G\,\!</math> este [[constanta gravitațională]];
*<math>M</math> este masa corpului central.

Notă: produsul <math>GM</math> poate fi notat și  cu litera grecească '''μ'''. Totuși, nu trebuie să se confunde această notație a <math>GM</math> cu masa redusă '''μ''', explicitată mai jos.

==Demonstrație==
Energia orbitală totală este suma energiilor potențiale comune și a energiei cinetice a celor două corpuri considerate

:<math> E = \frac{-Gm_1 m_2}{r} + \frac{m_1 v_1^2 }{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}</math>
unde:
*<math>v_1\,\!</math> este viteza corpului 1 relativă la centrul de gravitație al celor două corpuri.  
*<math>v_2\,\!</math> este viteza corpului 2 relativă la centrul de gravitate al celor două corpuri.

Energia orbitală poate fi calculată folosind doar cantități relative

:<math> E = \frac{- G_1 m_2}{r} + \mu \frac{v^2}{2} </math>
unde:
*<math>v\,\!</math> este viteza relativă a celor două corpuri.
*<math>\mu = \frac{ m_1 m_2 }{m_1\!+\!m_2}</math> este [[masă redusă|masa redusă]].

Pentru orbitele circulare și eliptice, energia totală este dată mai precis

:<math> E = \frac{-G m_1 m_2}{2 a}</math>.

Împărțirea totalului energiei prin masa redusă dă energia vis-viva, cunoscută mai ales ca [[energie orbitală specifică]]

:<math> \epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{G(m_1\!+\!m_2)}{r} </math>.

Pentru orbitele circulare și eliptice

:<math> \epsilon = \frac{ -G(m_1\!+\!m_2)}{2 a} </math>.

Din precedentele ecuații, se obține ecuația forței vii:

:<math> v^2 = G(m_1\!+\!m_2) \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)</math>.

==Aplicații==
Pornind de la ''r'' și ''v'' într-un punct al orbitei, este posibil să se calculeze''r'' și ''v'' în orice punct al orbitei. <ref>Pentru [[Problema a N corpuri|problema a trei corpuri]], <!--there is hardly a comparable vis-viva equation :-->conservarea energiei nu reduce decât cu 1 numărul, mai mare, al [[grad de libertate (mecanică) |gradelor de libertate]].</ref>.

De asemenea, pornind de la ''r'' și ''v'' într-un punct al orbitei, energia orbitală specifică <math>\epsilon\,\!</math> poate fi calculată, ceea ce permite să se determine dacă un obiect care orbitează în jurul unuia mai mare are suficientă energie pentru a rămâne pe orbită.

== Note ==
<references />

==Bibliografie==
*{{cite book|author=E. Messerschmidt, S. Fasoulas|title=Raumfahrtsysteme|url=http://books.google.de/books?id=tdkOK1aFVRoC&pg=PR10#v=onepage&q&f=false|date=2000|publisher=Springer|isbn=3-540-21037-7|pages=71-86}}

== Vezi și ==
* [[Forța vie]]
{{Portal|Astronomie|Fizică}}

[[Categorie:Mecanică cerească]]
[[Categorie:Ecuații de conservare]]
[[Categorie:Orbite]]