Vizualizare sursă pentru „Domeniu c.m.m.d.c.”

În [[matematică]] un '''domeniu c.m.m.d.c.''' sau '''domeniu GCD''' (din {{en|greatest common divisor}} – GCD = c.m.m.d.c.) este un [[domeniu de integritate]] {{mvar|R}} cu proprietatea că oricare două elemente au un [[cel mai mare divizor comun]] (c.m.m.d.c.). Adică există un [[ideal principal]] minim unic care conține idealul generat de cele două elemente date. Echivalent, oricare două elemente din {{mvar|R}} au un [[cel mai mic multiplu comun]] (c.m.m.m.c.).<ref>{{en icon}} {{cite book
 | last = Anderson | first = D. D.
 | editor1-last = Chapman | editor1-first = Scott T.
 | editor2-last = Glaz | editor2-first = Sarah | editor2-link = Sarah Glaz
 | contribution = GCD domains, Gauss' lemma, and contents of polynomials
 | doi = 10.1007/978-1-4757-3180-4_1
 | location = Dordrecht
 | mr = 1858155
 | pages = 1–31
 | publisher = Kluwer Academic Publishers
 | series = Mathematics and its Application
 | title = Non-Noetherian Commutative Ring Theory
 | volume = 520
 | year = 2000}}</ref>

Un domeniu c.m.m.d.c. generalizează un [[inel factorial]] la o versiune nenoetheriană în următorul sens: un [[domeniu de integritate]] este un inel factorial [[dacă și numai dacă]] este un domeniu c.m.m.d.c. care satisface [[condiția lanțului ascendent]] pe idealele principale (și în special dacă este noetherian).

== Proprietăți ==
Orice [[element ireductibil]] al unui inel factorial este [[element prim |prim]]. Un inel factorial este un domeniu de integritate închis [[element intreg |întreg]], iar fiecare element nenul este principal. Cu alte cuvinte, fiecare domeniu GCD este un [[domeniu Schreier]].

Pentru fiecare pereche de elemente {{mvar|x, y}} ale unui inel factorial {{mvar|R}}, un c.m.m.d.c. {{mvar|d}} al {{mvar|x}} și {{mvar|y}} și un c.m.m.m.c. {{mvar|m}} al {{mvar|x}} și {{mvar|y}} pot fi alese astfel încât {{mvar|1=dm = xy}}, sau, altfel spus, dacă {{mvar|x}} și {{mvar|y}} sunt elemente nenule și {{mvar|d}} este c.m.m.d.c. {{mvar|d}} al lui {{mvar|x}} și {{mvar|y}}, atunci {{mvar|xy/d}} este c.m.m.m.c. al lui {{mvar|x}} și {{mvar|y}} și reciproc. Urmează că existența c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. transformă {{math|''R''/~}} într-o {{ill-wd| Q2363730||latice distributivă}}, unde „~” indică relația de echivalență a [[Domeniu de integritate#Divizibilitate,_elemente_prime_și_elemente_ireductibile |elementelor asociate]]. Echivalența dintre existența c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. nu este un corolar al rezultatului similar pe {{ill-wd| Q2362924||latice complete}}, deoarece {{math|''R''/~}} nu trebuie să fie o latice completă pentru un inel factorial {{mvar|R}}.

Dacă {{mvar|R}} este un inel factorial, inelul polinoamelor {{math|''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''n''</sub>]}} este, de asemenea, un inel factorial.<ref>{{en icon}} Robert W. Gilmer, ''Commutative semigroup rings'', University of Chicago Press, 1984, p.&nbsp;172</ref>

{{mvar|R}} este un inel factorial dacă și numai dacă [[intersecție (matematică) |intersecțiile]] finite ale [[ideal principal |idealelor sale principale]] sunt principale. În special, <math>(a) \cap (b) = (c)</math>, unde <math>c</math> este c.m.m.m.c pentru <math>a</math> și <math>b</math>.

Pentru un polinom în {{mvar|X}} peste un inel factorial se poate defini conținutul său ca c.m.m.d.c. al tuturor [[coeficient |coeficienților]] săi. Atunci [[valoare (matematică) |valoarea]] unui produs de polinoame este produsul valorilor lor, așa cum este exprimat prin {{ill-wd| Q587938|lema lui Gauss (polinom) |lema lui Gauss}}, care este valabilă peste inelele factoriale.

== Exemple ==
* Un {{ill-wd| Q2386260||domeniu Bézout}} (adică un domeniu de integritate în care orice ideal finit generat este principal) este un inel factorial. Spre deosebire de un {{ill-wd| Q1143969||domeniu cu ideale principale}} (unde ''orice'' ideal este principal), un domeniu Bézout nu trebuie să fie un inel factorial. Un domeniu de integritate este un {{ill-wd| Q2894873 ||domeniu Prüfer}} c.m.m.d.c. dacă și numai dacă este un domeniu Bézout.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Ali | first1 = Majid M.
 | last2 = Smith | first2 = David J.
 | issue = 1
 | journal = Beiträge zur Algebra und Geometrie
 | mr = 1990985
 | pages = 75–98
 | title = Generalized GCD rings. II
 | url = http://www.emis.de/journals/BAG/vol.44/no.1/6.html
 | volume = 44
 | year = 2003}}. P.&nbsp;84: "It is easy to see that an integral domain is a Prüfer GCD-domain if and only if it is a Bezout domain, and that a Prüfer domain need not be a GCD-domain.".</ref>
*Un [[inel monoid]] [[inel comutativ |comutativ]] <math>R[X; S]</math> este un inel factorial dacă <math>R</math> este un inel factorial și <math>S</math> este un semiinel factorial fără {{ill-wd| Q382874|torsiune (algebră)|torsiune}} [[anulator]]. Un semiinel factorial este un semigrup cu proprietatea suplimentară că pentru orice <math>a</math> și <math>b</math> din semigrupul <math>S</math>, există un <math>c </math> astfel încât <math>(a + S) \cap (b + S) = c + S</math>. În special, dacă <math>G</math> este un [[grup abelian]], atunci <math>R[X;G]</math> este un inel factorial dacă <math>R</math> este un inel factorial și <math>G</math> este fără torsiune.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Gilmer | first1 = Robert
 | last2 = Parker | first2 = Tom
 | volume = 22
 | issue = 1
 | journal = Michigan Mathematical Journal
 | mr = 342635
 | pages = 65–86
 | title = Divisibility Properties in Semigroup Rings
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029001210
 | year = 1973}}</ref>
* [[Inel (matematică) |Inelul]] <math>\mathbb Z[\sqrt{-d}]</math> nu este un inel factorial pentru orice [[număr liber de pătrate]] <math>d\ge 3.</math><ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Mihet | first = Dorel
 | volume = 15
 | issue = 8
 | journal = Resonance
 | pages = 737-739
 | title = A Note on Non-Unique Factorization Domains (UFD)
 | url = https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/015/08/0737-0739
 | year = 2010}}</ref>

== Note ==
<references />
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Algebră comutativă]]
[[Categorie:Teoria inelelor]]