Vizualizare sursă pentru „Dodecaedru excavat”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Dodecaedru excavat
| image_up = Excavated dodecahedron.png
| caption = ([[:Fișier:Excavated dodecahedron.stl|model 3D]])
| type = [[poliedru stelat]]
| euler = &minus;20
| faces = 20
| edges = 60
| vertices = 20
| vertex_config =
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter =
| symmetry = [[Simetrie icosaedrică |I<sub>h</sub>]], [5,3], (*532)
| rotsymmetry = I, [5,3]<sup>+</sup>, (532)
| surface_area =
| volume = &approx; 4,045 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 
| dual = autodual
| properties = [[Poliedru nobil |nobil]], [[Politop convex |neconvex]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] și pe [[figură izoedrică |fețe]]
| vertex_figure = Medial triambic icosahedron face.svg
| net =
}}
În [[geometrie]] '''dodecaedrul excavat''' este un [[poliedru stelat]] care arată ca un [[dodecaedru]] regulat cu [[piramidă pentagonală |piramide pentagonale]] concave în locul fețelor sale. Suprafața sa exterioară reprezintă stelarea '''Ef<sub>1</sub>g<sub>1</sub>''' a icosaedrului din cartea ''[[The Fifty-Nine Icosahedra]]''. Apare în cartea lui [[Magnus Wenninger]] ''Polyhedron Models'' ca modelul 28, ''a treia stelare a icosaedrului''.

== Descriere ==
Toate cele 20 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]] și 30 din cele 60 de [[latură (geometrie) |laturi]] ale sale aparțin [[anvelopă convexă |anvelopei]] sale, un dodecaedru regulat. Celelalte 30 de laturi interne sunt mai lungi și aparțin unui [[marele dodecaedru stelat |mare dodecaedru stelat]]. (Fiecare conține una dintre cele 30 de laturi ale nucleului, [[icosaedru |icosaedric]] regulat.) Fiecare față este o [[hexagramă]] cu muchii lungi și scurte alternând și unghiuri de 60°. [[Triunghi echilateral |Triunghiurile echilaterale]] care ating o latură scurtă fac parte din față.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! Nucleu
! Laturi lungi
! Fețe
! Anvelopă
! Secțiune
|- style="vertical-align: top; text-align:center;"
| [[Fișier:Stell12g cells solid 5.png|100px]]<br>[[Icosaedru]]
| [[Fișier:Stell12g cells solid 4 stacked.png|100px]]<br>[[Marele dodecaedru stelat |Marele<br/>dodecaedru<br/>stelat]]
| [[Fișier:Stell12g cells solid 3 stacked.png|100px]]<br/>[[Fișier:Star hexagon face.png|80px]]
| [[Fișier:Stell12g cells solid 2 stacked.png|100px]]<br>[[Dodecaedru]]
| [[Fișier:Stell12g cells cut 3b solid.png|100px]]<br>O față<br/>hexagonală<br/>(albastru)
|}

=== Fațetarea dodecaedrului ===
{{imagine multiplă
| align = left
| direction = vertical
| width = 100
| image1 = AD2.png
| caption1 = Este evidențiată o față hexagramică
| image2 = Excavated dodecahedron face.png
| caption2 = Fața ca fațetă a dodecaedrului
}}
Având 20 de hexagoane autointersectate ca fețe, are aceeași formă externă ca o anumită [[fațetare]] a dodecaedrului. Fața hexagonală neconvexă poate fi împărțită în patru triunghiuri echilaterale, dintre care trei au aceeași dimensiune. Un dodecaedru excavat adevărat are cele trei triunghiuri echilaterale congruente ca fețe adevărate ale poliedrului, în timp ce triunghiul echilateral interior nu este considerat față. Fațetarea este un [[poliedru nobil]].

Cele 20 de vârfuri ale anvelopei convexe se potrivesc cu [[aranjamentul vârfurilor]] dodecaedrului.

[[Fișier:Excavated dodecahedron stellation facets.svg|thumb|Diagrama de stelare]]
=== Stelare ===
După Wenninger, este al 28-lea model al său, „a treia stelare”.
{{Clearleft}}
== Mărimi asociate ==
=== Coordonate carteziene ===
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor dodecaedrului excavat cu lungimea laturii scurte 2, centrat în origine, sunt aceleași cu ale [[dodecaedru]]lui regulat, adică toate [[permutare |permutările pare]] ale:<ref>{{en icon}} [[Coxeter |Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes'' (third edition), Dover Publications Inc, 1973 {{ISBN|0-486-61480-8}}, 3.6 6.2 ''Stellating the Platonic solids'', pp. 96–104</ref><ref name=DMC>{{en icon}} David McCooey, [http://dmccooey.com/polyhedra/ExcavatedDodecahedron.html ''Excavated dodecahedron'']{{Legătură nefuncțională|date=iulie 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes |url=http://dmccooey.com/polyhedra/ExcavatedDodecahedron.html }}, dmccooey.com, accesat 2024-04-13</ref>
:<math>\left(\,\pm\varphi,\, \pm\varphi,\, \pm\varphi\,\right)</math>
împreună cu toate [[paritatea unei permutări |permutările pare]] ale
:<math>\left(\,\pm(1+\varphi),\, \pm1,\, 0\,\right)</math>
unde <math>\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}</math> este [[secțiunea de aur]].

=== Raza sferei circumscrise ===
Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii scurte {{mvar|a}} este:<ref name=DMC/>
:<math>r = \frac{\sqrt3}2\varphi\,a \approx 1,401259\,a.</math>

=== Volum ===
Următoarea formulă pentru [[volum]] {{mvar|V}} este stabilită pentru lungimea laturilor scurte {{mvar|a}}:
:<math>V = \frac52\varphi\,a^3 \approx 4,045085~a^3.</math>

== Forme înrudite ==
{| style="width: 100%;"
|- style="vertical-align: top;"
|
{{multiple image
 | align = left
 | totalwidth = 200
 | image1 = Polyhedron truncated 20 dual big.png
 | image2 = Concave pentakis dodecahedron.png
 | footer = Un [[dodecaedru pentakis]] (stânga) cu piramide inversate (dreapta) are aceeași suprafață ca și dodecaedrul excavat.
}}
|
{{multiple image
 | align = left
 | totalwidth = 200
 | image1 = Stell12s cells solid 3 stacked.png
 | image2 = Stell12g cells solid 3 stacked.png
 | footer = [[Marele dodecaedru]] (stânga) este un [[icosaedru]] regulat. Are și el 60 de triunghiuri vizibile. Dar spre deosebire de dodecaedrul excavat (dreapta) are fețe convexe, prin urmare fără laturi interioare.
}}
|-
|colspan="2"|
{{multiple image
 | align = left
 | perrow = 3 | totalwidth = 200
 | image1 = Pyritohedral excavated dodecahedron.png
 | image2 = Pyritohedral great icosahedron core.png
 | image3 = Polyhedron great 20 pyritohedral.png
 | image4 = Pyritohedral excavated dodecahedron, face gray.png
 | image5 = Pyritohedral great icosahedron core, face gray.png
 | image6 = Polyhedron great 20 pyritohedral, face gray.png
 | footer = Fețele dodecaedrului excavat (stânga) fac parte din fețele [[marele icosaedru |marelui icosaedru]] (dreapta). Extinderea laturilor scurte ale unui hexagon până când se întâlnesc dă triunghiul care îl conține.<br/><small>Înlocuirea fiecărui hexagon care se intersectează cu unul convex dă o figură care conține laturile [[compus de cinci cuburi |compusului de cinci cuburi]] (mijloc). Dar acesta nu este cu adevărat un poliedru, deoarece fiecare dintre aceste laturi aparține unei singure fețe.</small>
}}
|}

[[Fișier:Uniform tiling 66-t2.png|thumb|Pavare hexagonală hiperbolică de ordinul 6]]
=== Pavare ===
Cu șase fețe cu șase laturi în jurul fiecărui vârf, este echivalent topologic cu un {{ill-wd| Q1393796|spațiu factor (algebră)|spațiul cât}} [[geometrie hiperbolică |hiperbolic]] al pavării hexagonale de ordinul 6, {6,6} și este un tip abstract {6 ,6}<sub>6</sub>. Este unul dintre cele zece poliedre regulate abstracte de indice doi cu vârfuri pe o [[orbită (matematică) |orbită]].<ref>{{en icon}} Anthony M. Cutler, Egon Schulte, [https://arxiv.org/abs/1005.4911 Regular Polyhedra of Index Two, I] 2010</ref><ref>{{en icon}} [https://www.researchgate.net/publication/225386108_Regular_Polyhedra_of_Index_Two_II Regular Polyhedra of Index Two, II]  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357-387, November 2010, Table 3, p. 27</ref>

== Note ==
<references />
{{Portal|Matematică }}
{{Stelări ale icosaedrului}}

[[Categorie:Poliedre stelate]]