Vizualizare sursă pentru „Determinant (matematică)”

'''Determinantul''' este, în [[algebră]], o [[funcție]] care atribuie oricărei [[matrice|matrici]] pătrate un număr.

== Primele aplicații: arii și volume ==
=== Determinantul unei matrici 2×2 ===
Fie matricea de tip 2×2:
<math> A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} </math>

determinantul acesteia este:
: <math>\det(A)= ad-bc  \ </math>

=== Interpretare vectorială ===
Determinantul [[vector]]ilor ''X'' și ''X''' este dat de expresia analitică:
:<math> \det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy'-yx' </math>
ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:
:<math> \det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta </math>
unde <math> \theta </math> este [[unghi]]ul orientat format de vectorii ''X'' și ''X&nbsp;'''.

=== Determinantul unei matrici 3×3 ===
Fie matricea de tip 3×3:
:<math> A=\begin{bmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix} </math>

Dezvoltând după prima linie, obținem:
<math>\begin{align} 
\det(A) &= a\begin{vmatrix} e&f\\h&i \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} d&f\\g&i \end{vmatrix} +c \begin{vmatrix} d&e\\g&h \end{vmatrix} \\ &= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\ &= (aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb) ,
 \end{align}</math>

== Interpretare geometrică ==
Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul [[paralelipiped]]ului determinat de aceștia este:

<math> \det(X, Y, Z) = \begin{vmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{vmatrix} </math>.

== Proprietăți ==
{{referințe}}
#Determinantul unei matrice <big><math> \mathrm{A} </math></big> este egal cu determinantul matricei transpuse <math> {}^t\!A  : det(A)=det({}^t\!A) </math>.
#Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
#Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei <big><math> \mathrm{A} </math></big> se înmulțesc cu un număr <big><math> \mbox{k} </math></big>, se obține o matrice <big><math> \mathrm{C} </math></big>  al cărei determinant este egal cu <big><math> k*det(A) </math></big>.
#Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
#Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.<br />''' ''Consecință:''' ''<br /> Fie <big><math> d=|a_{i,j}|_n </math></big> un determinant de ordinul <big><math> \mbox{n} </math></big>. Pentru orice  <big><math> i\ne \;j </math></big> au loc egalitățile:
##<math> a_{i1}\delta_{j1}+a_{i2}\delta_{j2}+...+a_{in}\delta_{jn}=0 </math>
##<math> a_{1j}\delta_{1i}+a_{2j}\delta_{2i}+...+a_{nj}\delta_{ni}=0 </math>

== Vezi și ==
* [[Spațiu vectorial]]
* [[Bază algebrică]]
* [[Procedeul Gram-Schmidt]]
* [[Teorema lui Laplace (algebră)|Teorema lui Laplace]]
* [[Transformări elementare ale matricilor]]

== Bibliografie ==
* Ion, I. D. - ''Algebră pentru perfecționarea profesorilor'', Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
* Iacob, C. - ''Curs de matematici superioare'', București, 1957
* [[Henri Cartan]], ''Cours de calcul différentiel'', Paris, Hermann, 1977

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://cs.nyu.edu/~yap/book/alge/ftpSite/l10.ps.gz Sisteme liniare]
* {{en icon}} [http://matri-tri-ca.narod.ru/en.index.html Online Matrix Calculator]
* {{ro icon}} {{YouTube|JKSkxW2lf8E|title=Tutorial video dezvoltarea determinanților după linie}}
* {{ro icon}} {{YouTube|E8Yt09z8q7g|title=Tutorial video dezvoltarea determinanților după coloană}}

[[Categorie:Algebră liniară]]