Vizualizare sursă pentru „Derivarea unui raport”

În [[calcul diferențial |calculul diferențial]] '''derivarea unui raport de funcții'''<ref name=EP><!-- Lect.dr. -->Eugenia <!-- Tulcan- -->Paulescu, [http://quasar.physics.uvt.ro/~eugeniat/analiza/notite/cursul6-2011.pdf ''Calcul diferențial''] (curs, 2011), [[Universitatea de Vest din Timișoara]], accesat 2023-06-04, p.&nbsp;19</ref> este formula folosită pentru a găsi [[derivată |derivata]] [[raport]]ului a două [[funcție derivabilă |funcții derivabile]]. Fie <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math>, unde ambele &nbsp;{{mvar|f}} și {{mvar|g}} sunt derivabile, iar <math>g(x)\neq 0.</math> Regula derivării unui raport afirmă că derivata lui {{math|''h''(''x'')}} este
:<math>h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math>

Regula poate fi demonstrată în mai multe feluri folosind alte {{ill-wd| Q1079958||reguli de derivare}}.

== Exemple ==
=== Exemplul 1: Exemplu tipic ===
Fie <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math> și <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2.</math> Folosind regula derivării raportului se obține:
:<math>\begin{align}
 \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\
 &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\
 &= \frac{x^2 e^x - 2x e^x}{x^4} \\
 &= \frac{x e^x - 2 e^x}{x^3} \\
 &= \frac{e^x(x - 2)}{x^3}.
 \end{align}</math>

=== Exemplul 2: Derivarea funcției tangentă trigonometrică ===

Regula derivării raportului poate fi folosită pentru calculul derivatei lui <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> astfel:
:<math>\begin{align}
 \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
 &= \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)(\cos x) - (\sin x)\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \\
 &= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \\
 &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
 &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.
 \end{align}</math>

== Derivarea inversei unei funcții ==
{{Articol principal|Derivarea inversei unei funcții}}
Regula Derivării inversei unei funcții este un caz particular al regulii derivării unui raport, în care numărătorul <math>f(x)=1.</math> Aplicarea regulii derivării raportului dă:
:<math>h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac 1{g(x)}\right] = \frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=-\frac{g'(x)}{g(x)^2}</math>

Folosind [[derivarea funcțiilor compuse |regula derivării funcțiilor compuse]] se obține același rezultat.

== Demonstrații ==
=== Prin limită ca definiție a derivatei ===
Fie <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.</math> Aplicarea definiției derivatei și proprietăților limitelor oferă următoarea demonstrație, cu termenul <math>f(x) g(x)</math> adăugat și scăzut pentru a permite împărțirea și factorizarea în pașii următori fără a afecta valoarea:
:<math>\begin{align}
 h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\
 &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\
 &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k \cdot g(x)g(x+k)} \\
 &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \cdot \lim_{k\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+k)} \\
 &= \lim_{k\to 0} \left[\frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \right] \cdot \frac{1}{[g(x)]^2} \\
 &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x)}{k} - \lim_{k\to 0}\frac{f(x)g(x+k) - f(x)g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{[g(x)]^2} \\
 &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{[g(x)]^2} \\
 &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}.
 \end{align}</math>
Evaluarea limitei <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{[g(x)]^2}</math> este justificată de derivabilitatea lui <math>g(x),</math> implicând continuitatea, care poate fi exprimată ca: <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math> 

=== Prin derivarea implicită ===
Fie <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> astfel încât <math>f(x) = g(x)h(x).</math>

[[Derivarea unui produs |Regula derivării produsului]] este <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x).</math>

Calculând <math>h'(x)</math> și substituind înapoi în <math>h(x)</math> se obține:
:<math>\begin{align}
 h'(x) &= \frac{f'(x) -g'(x)h(x)}{g(x)} \\
 &= \frac{f'(x) - g'(x)\cdot\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\
 &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}.
 \end{align}</math>

=== Prin derivarea inversei sau a funcțiilor compuse ===
Fie <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac 1{g(x)}.</math>

Atunci regula derivării produsului este <math>h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].</math>

Pentru a calcula derivata din al doilea termen, se aplică [[derivarea inversei unei funcții |regula derivării inversei unei funcții]] împreună cu regula derivării funcțiilor compuse:
:<math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}.</math>

Substituind rezultatul în expresia lui <math>h'(x)</math> se obține:
:<math>\begin{align}
 h'(x) &= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left[\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\right] \\
 &= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\
 &= {\frac{g(x)}{g(x)}}\cdot{\frac{f'(x)}{g(x)}} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\
 &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
 \end{align}</math>

=== Prin derivata logaritmică ===
Fie <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.</math>

Luând [[valoare absolută |valoarea absolută]] și [[logaritm natural |logaritmul natural]] al ambilor membri se obține
:<math>\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>

Se aplică proprietățile valorii absolute și ale logaritmilor,
:<math>\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>

Se efectuează {{ill-wd| Q762521||derivata logaritmică}} a ambilor membri,
:<math>\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math> 

Se calculează <math>h'(x)</math> și se substituie înapoi în <math>\tfrac{f(x)}{g(x)}.</math> Pentru <math>h(x)</math> se obține:
:<math>\begin{align}
h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
&=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
&=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
\end{align}</math>

La derivata logaritmică este necesară luarea valorii absolute a funcțiilor care pot avea valori negative, deoarece logaritmii sunt doar funcții reale pentru [[argumentul unei funcții |argumente]] [[număr pozitiv |pozitive]]. Acest lucru funcționează pentru că <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u},</math> ceea ce justifică luarea valorii absolute a funcțiilor pentru derivata logaritmică.

== Derivate de ordin superior ==
Derivarea implicită poate fi utilizată pentru a calcula derivata de ordinul al {{mvar|n}}-lea a unui raport (parțial în funcție de primele sale {{math|''n'' &minus;1}} derivate). De exemplu, derivând <math>f=gh</math> de două ori (rezultând <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) și apoi calculând <math>h''</math> rezultă:
:<math>h'' = \left(\frac f g \right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}.</math>

== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[Derivarea funcțiilor compuse]]
* [[Derivarea inversei unei funcții]]
* [[Derivarea unui produs]]
* [[Identitățile calculului vectorial]]
{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Calcul diferențial]]
[[Categorie:Teoreme de calcul diferențial și integral]]
[[Categorie:Articole care conțin demonstrații]]