Vizualizare sursă pentru „Curbe eliptice”

[[Fișier:EllipticCurveCatalog.svg|dreapta|miniatura|392x392px| Catalog de curbe eliptice. Regiunea afișată este [−3,3]<sup>2</sup> (pentru (''a'', ''b'') = (0, 0) funcția nu este [[funcție derivabilă|derivabilă]] și, prin urmare, nu este o curbă eliptică.)]]

În [[matematică]], o '''curbă eliptică''' este o [[curbă algebrică]] {{Ill-wd|Q1529864|3=diferențiabilă}}, {{Ill-wd|Q3554818|3=proiectivă}}, de [[gen (matematică)|gen]] unu, pe care se află un punct {{Math|''O''}} specificat. O curbă eliptică este definită peste un [[Corp (matematică)|corp]] {{Math|''K''}} și descrie punctele din {{Math|''K<sup>2</sup>''}}, [[Produs cartezian|produsul cartezian]] al lui {{Math|''K''}} cu el însuși. Dacă corpul are [[Caracteristică (algebră)|caracteristica]] diferită de 2 și 3, atunci curba poate fi descrisă ca o {{Ill-wd|Q266237|3=curbă algebrică plană}} care, după o schimbare liniară de variabile, constă din soluțiile (''x'', ''y'') ale ecuației:

: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

cu coeficienți {{Math|''a''}} și {{Math|''b''}} din {{Math|''K''}}''.'' Curba trebuie să fie [[Punct singular al unei curbe|nesingulară]], adică să nu aibă [[Punct de întoarcere|puncte de întoarcere]] sau auto-intersecții. (echivalent cu condiția <math>4a^3+27b^2\ne0</math>) Se înțelege întotdeauna că curba se află în {{Ill-wd|Q1475760|3=planul proiectiv}}, punctul {{Math|''O''}} fiind unicul [[punct de la infinit]]. Multe lucrări surse definesc curba eliptică drept pur și simplu o curbă dată de o ecuație de această formă. (Când {{Ill-wd|Q5141331|3=corpul coeficienților}} are caracteristica 2 sau 3, ecuația de mai sus nu este suficient de generală pentru a include toate {{Ill-wd|Q2369721|3=curbele cubice}} nesingulare)

O curbă eliptică este o {{Ill-wd|Q318751|3=varietate abeliană}}{{Mdash}} adică are o operație de grup definită algebric, în raport cu care este un [[grup abelian]]{{Mdash}} și {{Math|''O''}} servește drept [[element neutru]].

Dacă {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''P''(''x'')}}, unde {{Math|''P''}} este orice [[polinom]] de [[gradul unui polinom|grad]] trei în {{Math|''x''}} cu rădăcini distincte, mulțimea soluțiilor este o curbă plană nesingulară de [[gen (matematică)|genul]] unu, o curbă eliptică. Dacă {{Math|''P''}} are gradul patru și este [[Polinom liber de pătrate|fără pătrate]], această ecuație descrie din nou o curbă plană de genul unu. Totuși, nu are o alegere naturală a elementului neutru. Mai general, orice curbă algebrică de gen unu, de exemplu intersecția a două {{Ill-wd|Q104848772|3=suprafețe cuadrice}} încorporate în spațiul proiectiv tridimensional, se numește curbă eliptică, cu condiția să fie echipată cu un punct marcat care să funcționeze drept element neutru.

Folosind teoria [[Funcție eliptică|funcțiilor eliptice]], se poate arăta că curbele eliptice definite peste [[Număr complex|numerele complexe]] corespund încastrărilor [[Tor|torului]] în [[planul proiectiv complex]]. Torul este și el un [[grup abelian]], iar această corespondență este și {{Ill-wd|Q742064|3=izomorfism de grup}}.

Curbele eliptice sunt deosebit de importante în [[teoria numerelor]] și constituie actualmente un domeniu major de cercetare; de exemplu, au fost folosite în {{Ill-wd|Q8001607|3=demonstrarea de către Andrew Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat}}. Ele își găsesc aplicații și în {{Ill-wd|Q1048911|3=criptografia cu curbe eliptice}} (ECC) și la [[Factorizarea întregilor|factorizarea numerelor întregi]].

O curbă eliptică ''nu'' este o [[elipsă]]: vezi [[Integrală eliptică|integrala eliptică]] pentru originea termenului. Topologic, o curbă eliptică complexă este un [[tor]], în timp ce o elipsă complexă este o [[sferă]].

== Curbele eliptice peste numerele reale ==
[[Fișier:ECClines-3.svg|dreapta|cadru| Graficele curbelor {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup>&minus;''x''}} și {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup>&minus;''x''+1}}]]
Deși definiția formală a unei curbe eliptice necesită un anumit fundament în [[Geometrie algebrică|geometria algebrică]], unele caracteristici ale curbelor eliptice se pot descrie peste [[Număr real|numerele reale]] folosind doar [[algebră]] și [[geometrie]] la nivel introductiv.

În acest context, o curbă eliptică este o [[curbă plană]] definită de o ecuație de forma

: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

după o schimbare liniară de variabile ({{Math|''a''}} și {{Math|''b''}} sunt numere reale). Acest tip de ecuație se numește {{Ill-wd|Q2343600|3=ecuație Weierstrass}}.

Definiția curbelor eliptice necesită și ca această curba să fie [[Punct singular al unei varietăți algebrice|nesingulară]]. Geometric, aceasta înseamnă că graficul nu are [[Punct de întoarcere|puncte de întoarcere]], intersecții cu ea însăși sau [[punct izolat |puncte izolate]]. Algebric, acest lucru este valabil dacă și numai dacă {{Ill-wd|Q192487|3=discriminantul}}

: <math>\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)</math>

este diferit de zero. (Deși factorul −16 este irelevant pentru a determina dacă curba este sau nu nesingulară, această definiție a discriminantului este utilă într-un studiu mai avansat al curbelor eliptice.)

Graficul (real) al unei curbe nesingulare are ''două'' componente dacă discriminantul său este pozitiv și ''o singură'' componentă dacă este negativ. De exemplu, în graficele prezentate în figura din dreapta, discriminantul în primul caz este 64, iar în al doilea caz este −368.

== Legea de grup ==
Când lucrăm în {{Ill-wd|Q1475760|3=planul proiectiv}}, putem defini o structură de grup pe orice curbă cubică nesingulară. În forma normală Weierstrass, o astfel de curbă va avea un punct suplimentar la infinit, {{Math|''O''}}, la [[Coordonate omogene|coordonatele omogene]] [0:1:0], care servește drept element neutru al grupului.

Deoarece curba este simetrică față de axa {{Math|''x''}}, dat fiind orice punct {{Math|''P''}}, se poate lua {{Math|&minus;''P''}} drept punct opus. {{Math|&minus;''O''}} va fi chiar {{Math|''O''}}''.''

Dacă {{Math|''P''}} și {{Math|''Q''}} sunt două puncte pe curbă, atunci putem descrie în mod unic un al treilea punct, {{Math|''P'' + ''Q''}}, în felul următor: mai întâi, se trasează linia care intersectează {{Math|''P''}} și {{Math|''Q''}}''.'' Ea va intersecta cubica într-un al treilea punct, {{Math|''R''}}. Se ia apoi {{Math|''P'' + ''Q''}} drept {{Math|&minus;''R''}}, punctul opus lui {{Math|''R''}}.

Această definiție pentru adunare funcționează cu excepția câtorva cazuri speciale legate de punctul la infinit și de [[Multiplicitate#Intersectări_multiple|multiplicitatea intersecției]]. Primul este când unul dintre puncte este {{Math|''O''}}. Aici, definim {{Math|1=''P'' + ''O'' = ''P'' = ''O'' + ''P''}}, făcând din {{Math|''O''}} elementul neutru al grupului. Apoi, dacă ''{{Math|''P''}}'' și ''{{Math|''Q''}}'' sunt opuse unul față de celălalt, definim {{Math|1=''P'' + ''Q'' = ''O''}}. În cele din urmă, dacă {{Math|1=''P'' = ''Q''}}, atunci avem doar un punct, deci nu putem defini dreapta dintre ele. În acest caz, se folosește tangenta la curbă în acest punct drept dreapta noastră. În majoritatea cazurilor, tangenta va intersecta un al doilea punct {{Math|''R''}} și i se va putea lua opusul. gen, dacă {{Math|''P''}} se întâmplă să fie un [[punct de inflexiune]] (un punct în care se modifică concavitatea curbei), luăm ''{{Math|''R''}}'' drept ''{{Math|''P''}} însuși'' și {{Math|''P'' + ''P''}} este pur și simplu punctul opus.

Pentru o curbă cubică care nu este în forma normală Weierstrass, se poate totuși defini o structură de grup prin desemnarea unuia dintre cele nouă puncte de inflexiune drept elementul neutru ''{{Math|''O''}}.'' În planul proiectiv, fiecare linie va intersecta un cub în trei puncte atunci când se ține cont de [[multiplicitate]]. Pentru un punct ''{{Math|''P''}}'', ''{{Math|&minus;''P''}}'' este definit ca al treilea punct unic pe dreapta care trece prin ''{{Math|''O''}}'' și ''{{Math|''P''}}.'' Apoi, pentru orice ''{{Math|''P''}}'' și ''{{Math|''Q''}}'', {{Math|''P'' + ''Q''}} este definit ca {{Math|&minus;''R''}} unde ''{{Math|''R''}}'' este al treilea punct unic pe linia care conține ''{{Math|''P''}}'' și ''{{Math|''Q''}}.''

Fie {{Math|''K''}} un corp peste care este definită curba (adică, coeficienții ecuației sau ecuațiilor de definiție a curbei sunt în {{Math|''K''}}) și notăm curba cu {{Math|''E''}}''.'' Atunci {{Ill-wd|Q3393476|3=punctele K-raționale}} ale lui {{Math|''E''}} sunt punctele de pe {{Math|''E''}} ale căror coordonate se află în ''{{Math|''K''}}'', inclusiv punctul de la infinit. Mulțimea ''punctelor raționale'' {{Math|''K''}} se notează cu {{Math|''E''(''K'')}}. Și ea formează un grup, deoarece proprietățile ecuațiilor polinomiale arată că dacă ''{{Math|''P''}}'' este în {{Math|''E''(''K'')}}, atunci ''{{Math|&minus;''P''}}'' este și el în {{Math|''E''(''K'')}} și dacă două dintre ''{{Math|''P''}}'', ''{{Math|''Q''}}'' și ''{{Math|''R''}}'' sunt în {{Math|''E''(''K'')}}, atunci și al treilea este. În plus, dacă ''{{Math|''K''}}'' este un subcorp al lui {{Math|''L''}}, atunci {{Math|''E''(''K'')}} este un [[subgrup]] al lui {{Math|''E''(''L'')}}.

Grupul de mai sus poate fi descris atât algebric cât și geometric. Dată fiind curba {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b''}} peste corpul ''{{Math|''K''}}'' (a cărui [[Caracteristică (algebră)|caracteristică]] presupunem că nu este nici 2, nici 3) și punctele {{Math|1=''P'' = (''x<sub>P</sub>'', ''y<sub>P</sub>'')}} și {{Math|1=''Q'' = (''x<sub>Q</sub>'', ''y<sub>Q</sub>'')}} pe curbă, presupunem mai întâi că {{Math|''x<sub>P</sub>'' ≠ ''x<sub>Q</sub>''}} (primul panou de mai jos). Fie {{Math|1=''y'' = ''sx'' + ''d''}} dreapta care intersectează ''P'' și ''Q'', care are următoarea pantă:

: <math>s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}</math>

Deoarece {{Math|''K''}} este un corp, {{Math|''s''}} este [[expresie bine definită|bine definită]]. Ecuația dreptei și ecuația curbei au un {{Math|''y''}} identic în punctele {{Math|''x''<sub>''P''</sub>}}''<sub>,</sub>'' {{Math|''x''<sub>''Q''</sub>}} <sub>și</sub> {{Math|''x''<sub>''R''</sub>}}''<sub>.</sub>''

: <math>(s x + d)^2 = x^3 + ax + b</math>

ceea ce e echivalent cu <math>0 = x^3 - s^2 x^2 - 2sdx + ax + b - d^2</math>. Știm că această ecuație își are rădăcinile în exact aceleași valori {{Math|''x''}} ca și

: <math>(x - x_P) (x - x_Q) (x - x_R) = x^3 + x^2 (-x_P - x_Q - x_R) + x (x_P x_Q + x_P x_R + x_Q x_R) - x_P x_Q x_R </math>

{{Ill-wd|Q1778269|3=Echivalăm coeficienții}} pentru {{Math|''x''<sup>2</sup>}} și rezolvăm pentru {{Math|''x''<sub>''R''</sub>}}. {{Math|''y''<sub>''R''</sub>}} rezultă din ecuația dreptei. Aceasta definește {{Math|1=''R'' = (''x''<sub>''R''</sub>, ''y''<sub>''R''</sub>) = &minus; (''P'' + ''Q'')}} cu

: <math>\begin{align}
 x_R &= s^2 - x_P - x_Q \\
 y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>

Dacă {{Math|1=''x''<sub>P</sub> = ''x''<sub>Q</sub>}}, atunci există două opțiuni: dacă {{Math|1=''y''<sub>''P''</sub> = &minus;''y''<sub>''Q''</sub>}} (al treilea și al patrulea panou de mai jos), inclusiv cazul în care {{Math|1=''y''<sub>''P''</sub> = ''y''<sub>''Q''</sub> = 0}} (al patrulea panou), atunci suma este definită ca 0; astfel, inversul fiecărui punct de pe curbă se găsește reflectându-l față de axa {{Math|''x''}}''.'' Dacă {{Math|1=''y''<sub>''P''</sub> = ''y''<sub>''Q''</sub> ≠ 0}}, atunci {{Math|1=''Q'' = ''P''}} și {{Math|1=''R'' = (''x''<sub>''R''</sub>, ''y''<sub>''R''</sub>) = &minus;(''P'' + ''P'') = &minus;2''P'' = &minus;2''Q''}} (al doilea panou de mai jos cu {{Math|''P''}} indicat pentru {{Math|''R''}}) este dat de

: <math>\begin{align}
  s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\
 x_R &= s^2 - 2x_P\\
 y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>

<div class="center">
[[File:ECClines.svg]]
</div>

== Curbele eliptice peste numerele complexe ==
[[Fișier:Lattice_torsion_points.svg|dreapta|miniatura| O curbă eliptică peste numerele complexe este obținută ca un coeficient al planului complex printr-o rețea Λ, aici cuprinsă de două perioade fundamentale ω<sub>1</sub> și ω<sub>2</sub> . Este figurată și patru-torsiunea, corespunzătoare rețelei 1/4 Λ conținând Λ.]]
Formularea curbelor eliptice ca încorporarea unui [[tor]] în [[planul proiectiv complex]] rezultă în mod natural dintr-o curioasă proprietate a {{Ill-wd|Q2343600|3=funcțiilor eliptice ale lui Weierstrass}}. Aceste funcții și prima lor [[derivată]] sunt legate prin formula

: <math>\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3</math>

Aici, {{Math|''g''<sub>{{small|2}}</sub>}} și {{Math|''g''<sub>{{small|3}}</sub>}} sunt constante; <math>\wp(z)</math> este funcția eliptică Weierstrass și <math>\wp'(z)</math> derivata sa. Devine evident că această relație este sub forma unei curbe eliptice (peste [[Număr complex|numerele complexe]]). Funcțiile Weierstrass sunt dublu periodice; adică sunt periodice față de o {{Ill-wd|Q5508966|3=rețea}} Λ; în esență, funcțiile Weierstrass sunt definite în mod natural pe un tor ''T'' = '''C'''/Λ. Acest tor poate fi încorporat în planul proiectiv complex prin intermediul aplicației

: <math>z \mapsto [1 :\wp(z) : \wp'(z)/2]</math>

Această aplicație este un {{Ill-wd|Q742064|3=izomorfism de grup}} al torului (considerat cu structura sa naturală de grup) cu legea grupului de corzi și tangente pe curba cubică care este imaginea acestei aplicații. Este, de asemenea, un izomorfism de {{Ill-wd|Q753035|3=suprafețe Riemann}} definit pe tor cu valori pe curba cubică, deci, topologic, o curbă eliptică este un tor. Dacă rețeaua Λ este legată prin multiplicare cu un număr complex nenul {{Math|''c''}} de o rețea {{Math|''c''}}Λ, atunci curbele corespunzătoare sunt izomorfe. Clasele de izomorfism ale curbelor eliptice sunt specificate de {{Ill-wd|Q287419|3=J-invariant}}.

Clasele de izomorfism pot fi înțelese și într-un mod mai simplu. Constantele {{Math|''g''<sub>{{small|2}}</sub>}} și {{Math|''g''<sub>{{small|3}}</sub>}}, numite invarianți modulari, sunt determinate în mod unic de rețea, adică de structura torului. Cu toate acestea, toate polinoamele reale se factorizează complet în factori liniari peste numerele complexe, deoarece corpul numerelor complexe este [[Închidere algebrică|închiderea algebrică]] a numerelor reale. Deci, curba eliptică poate fi scrisă ca

: <math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math>

Se găsește că

: <math>g_2 = \frac{\sqrt[3]4}{3} (\lambda^2 - \lambda + 1)</math>

și

: <math>g_3 = \frac{1}{27} (\lambda + 1)(2\lambda^2 - 5\lambda + 2)</math>

astfel încât discriminantul modular este

: <math>\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 = \lambda^2(\lambda - 1)^2</math>

Aici, λ este uneori numită {{Ill-wd|Q6889722|3=funcția lambda modulară}} .

Se observă că {{Ill-wd|Q2109761|3=teorema de uniformizare}} implică faptul că orice [[Spațiu compact|suprafață compactă]] Riemann de genul unu poate fi reprezentată ca un tor.

Acest lucru permite, de asemenea, o înțelegere ușoară a {{Ill-wd|Q2293759|3=punctelor de torsiune}} pe o curbă eliptică: dacă rețeaua Λ este cuprinsă de perioadele fundamentale ω<sub>1</sub> și ω<sub>2</sub>, atunci punctele de ''n''-torsiune sunt (clase de echivalență ale) punctelor de forma

: <math> \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2</math>

pentru {{Math|''a''}} și {{Math|''b''}} numere întregi cuprinse între {{Math|0}} și {{Math|''n''&minus;1}}.

Dacă <math>E: y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math> este o curbă eliptică peste numerele complexe și <math>a_0=\sqrt{e_1-e_3}</math>, <math>b_0=\sqrt{e_1-e_2}</math> și <math>c_0=\sqrt{e_2-e_3}</math>, apoi o pereche de perioade fundamentale ale lui <math>E</math> poate fi calculată foarte rapid prin <math>\omega_1=\pi /\operatorname{M}(a_0,b_0)</math> și <math>\omega_2=\pi /\operatorname{M}(c_0,ib_0)</math> Unde <math>\operatorname{M}(w,z)</math> este {{Ill-wd|Q476167|3=media aritmetic-geometrică}} a lui <math>w</math> și <math>z</math>. La fiecare pas al iterației medii aritmetic-geometrice, semnele lui <math>z_n</math> care rezultă din ambiguitatea iterațiilor geometrice medii sunt alese astfel încât <math>|w_n-z_n|\le |w_n+z_n|</math> Unde cu <math>w_n</math> și <math>z_n</math> se notează iterațiile individuale ale mediei aritmetice și geometrice ale lui <math>w</math> și, respectiv, <math>z</math>. Când <math>|w_n-z_n|=|w_n+z_n|</math>, există o condiție suplimentară ca <math>\Im (z_n/w_n)>0</math>.<ref>{{Citat web|url=http://etheses.whiterose.ac.uk/20887/1/Final.pdf|nume=Wing Tat Chow|titlu=The Arithmetic-Geometric Mean and Periods of Curves of Genus 1 and 2|date=2018|first1=Rudolf|lucrare=White Rose eTheses Online|pagină=12}}</ref>

Peste numerele complexe, fiecare curbă eliptică are nouă [[Punct de inflexiune|puncte de inflexiune]]. Fiecare dreaptă ce unește două dintre aceste puncte trece, de asemenea, printr-un al treilea punct de inflexiune; cele nouă puncte și cele 12 drepte formate în acest mod formează o realizare a {{Ill-wd|Q5746176|3=configurației Hesse}}.

==Curbele eliptice peste numerele raționale==
O curbă {{math|''E''}} definită pe corpul numerelor raționale este definită la fel și peste cel al numerelor reale. Ca urmare, legea de compunere a punctelor cu coordonate reale prin intermediul metodei cu tangentă și secantă se poate aplica și la {{math|''E''}}. Formulele explicite arată că compunerea a două puncte {{math|''P''}} și {{math|''Q''}} cu coordonate raționale are tot coordonate raționale, deoarece dreapta care leagă {{math|''P''}} de {{math|''Q''}} are coeficienți raționali. Astfel, se arată că mulțimea punctelor raționale ale lui {{math|''E''}} formează un subgrup al grupului punctelor reale ale lui {{math|''E''}}. Acest grup este [[grup abelian]], adică {{math|1=''P'' + ''Q'' = ''Q'' + ''P''}}.

===Structura punctelor raționale===
Cel mai important rezultat este că toate punctele pot fi construite prin metoda tangentei și secantei începând de la un număr ''finit'' de puncte. Mai exact<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 4.1}}</ref> {{Ill-wd|Q284960|3=teorema Mordell–Weil}} afirmă că grupul {{math|''E''(ℚ)}} este grup abelian [[Grup finit generat|finit generat]]. Conform {{Ill-wd|Q142140|3=teoremei fundamentale a grupurilor abeliene finit generate}}, este o sumă directă de cópii ale lui {{math|ℤ}} și a grupurilor ciclice finite.

Demonstrația acelei teoreme<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=pp. 199–205}}</ref> se bazează pe două ingrediente: în primul rând, se arată că pentru orice întreg {{math|''m'' > 1}}, [[Grup factor|grupul factor]] {{math|''E''(ℚ)/''mE''(ℚ)}} este finit (teorema Mordell–Weil slabă). În al doilea rând, introduând o {{Ill-wd|Q65088643|3=funcție înălțime}} ''h'' pe punctele raționale {{math|''E''(ℚ)}} definită prin expresia {{math|1=''h''(''P''<sub>0</sub>) = 0}} și {{math|''h''(''P'') {{=}} log max(&#124;''p''&#124;, &#124;''q''&#124;)}} dacă ''P'' (diferit de punctul de la infinit ''P''<sub>0</sub>) are ca abscisă numărul rațional {{math|1=''x'' = ''p''/''q''}} (cu {{math|''p''}} și {{math|''q''}} [[Numere prime între ele|prime între ele]]). Această funcție ''h'' are proprietatea că {{math|''h''(''mP'')}} crește aproximativ ca pătratul lui {{math|''m''}}. Mai mult, există pe {{math|''E''}} doar un număr finit de puncte raționale cu înălțime mai mică decât orice constantă dată.

Demonstrația teoremei este, deci, o variantă a metodei {{Ill-wd|Q619388|3=coborârii infinite}}<ref>Vezi și J. W. S. Cassels, {{Ill-wd|Q726833|3=Mordell}}'s Finite Basis Theorem Revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'' 100, 3–41 și comentariul lui A. Weil despre geneza lucrării lui: A. Weil, ''Collected Papers'', vol. 1, 520–521.</ref> și se bazează pe aplicarea repetată a [[Algoritmul lui Euclid|împărțirilor euclidiene]] pe {{math|''E''}}: fie {{math|''P'' ∈ ''E''(ℚ)}} un punct rațional pe curbă; scriind {{math|''P''}} ca suma {{math|2''P''<sub>1</sub> + ''Q''<sub>1</sub>}} unde {{math|''Q''<sub>1</sub>}} este un reprezentant fixat al lui {{math|''P''}} din {{math|''E''(ℚ)/2''E''(ℚ)}}, înălțimea lui {{math|''P''<sub>1</sub>}} este circa {{sfrac|1|4}} din cea a lui {{math|''P''}} (mai general, înlocuind 2 cu orice {{math|''m'' > 1}}, și {{sfrac|1|4}} cu {{sfrac|1|''m''<sup>2</sup>}}). Repetând cu {{math|''P''<sub>1</sub>}}, rezultă {{math|1=''P''<sub>1</sub> = 2''P''<sub>2</sub> + ''Q''<sub>2</sub>}}, apoi {{math|1=''P''<sub>2</sub> = 2''P''<sub>3</sub> + ''Q''<sub>3</sub>}} etc. , în cele din urmă ''P'' este o combinație liniară integrală de puncte {{math|''Q<sub>''i''</sub>''}} și de puncte ale căror înălțimi sunt mărginite de o constantă fixă aleasă în prealabil: conform teoremei Mordell–Weil slabe și celei de a doua proprietăți a funcției înălțime, {{math|''P''}} este deci exprimat ca o combinație liniară integrală de un număr finit de puncte fixe.

Până acum, teorema nu este efectivă deoarece nu există o procedură generală cunoscută pentru a determina reprezentanții lui {{math|1=''E''('''Q''')/''mE''('''Q''')}}.

{{Ill-wd|Q1260803|3=Rangul}} lui {{math|''E''(ℚ)}}, adică numărul de cópii ale lui ℤ în {{math|''E''(ℚ)}} sau, echivalent, numărul de puncte independente de ordin infinit, se numește ''rangul'' lui {{math|''E''}}. {{Ill-wd|Q527863|3=Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer}} privește determinarea rangului. Se presupune că el poate fi arbitrar de mare, chiar dacă se cunosc numai exemple cu ranguri relativ mici. Curba eliptică cu cel mai mare rang cunoscut exact este
:{{math|1=''y''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y'' = ''x''<sup>3</sup> − ''x''<sup>2</sup> − {{gaps|244|537|673|336|319|601|463|803|487|168|961|769|270|757|573|821|859|853|707}}''x'' + {{gaps|961|710|182|053|183|034|546|222|979|258|806|817|743|270|682|028|964|434|238|957|830|989|898|438|151|121|499|931}}}}

Ea are rangul 20, găsit de {{Ill-wd|Q1059246|3=Noam Elkies}} și Zev Klagsbrun în 2020. Curbe de rang mai mare de 20 se știau din 1994, cu limite mai reduse ale rangurilor lor de la cel puțin 21 la cel puțin 28, dar rangurile lor exacte nu sunt actualmente cunoscute și nu s-a demonstrat care dintre ele are rang mai mare ca celelalte sau care este „campioana en-titre”.<ref>{{cite web|url=http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html|title=History of elliptic curves rank records|last=Dujella|first=Andrej|author-link=Andrej Dujella|publisher = University of Zagreb}}</ref>

În ce privește grupurile care alcătuiesc {{Ill-wd|Q2293759|3=subgrupul de torsiune}} al lui {{math|''E''(ℚ)}}, se știe că:<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 7.5}}</ref> grupul de torsiune al lui {{math|''E''(ℚ)}} este unul dintre următoarele 15 grupuri ({{Ill-wd|Q7827204|3=teorema a}} dată de {{Ill-wd|Q809076|3=Barry Mazur}}): '''Z'''/''N'''''Z''' pentru ''N'' = 1, 2, ..., 10, sau 12, sau '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/2''N'''''Z''' cu ''N'' = 1, 2, 3, 4. Se cunosc exemple pentru fiecare caz. Mai mult, curbele eliptice ale căror grupuri Mordell–Weil peste ℚ au aceleași grupuri de torsiune aparțin unei [[familie de curbe |familii]] parametrizate.<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Remark 7.8 in Ch. VIII}}</ref>

===Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer===
''Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer'' (BSD) este una dintre [[problemele Mileniului]] enunțate de [[Clay Mathematics Institute]]. Conjectura se bazează pe obiecte analitice și aritmetice definite de curba eliptică în chestiune.

Pe partea analitică, un ingredient important este o funcție de variabilă complexă, {{math|''L''}}, [[funcția zeta Hasse–Weil]] de {{math|''E''}} peste {{math|ℚ}}. Această funcție este o variantă a [[funcția zeta Riemann|funcției zeta Riemann]] și a [[L-funcția Dirichlet|L-funcțiilor Dirichlet]]. Este definită ca [[produs Euler]], cu un factor pentru fiecare [[număr prim]] {{math|''p''}}.

Pentru o curbă {{math|''E''}} peste {{math|ℚ}} dată de o ecuație minimală
:<math>y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6</math>

cu coeficienții întregi <math>a_i</math>, reducerea coeficienților [[modulo]] {{math|''p''}} definește o curbă eliptică peste [[corp finit|corpul finit]] {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} (cu excepția unui număr finit de numere prime {{math|''p''}}, unde curba redusă are o [[Singularitate (matematică)|singularitate]] și deci nu mai este eliptică, caz în care se spune că {{math|''E''}} este de [[reducere rea]] la {{math|''p''}}).

Funcția zeta a unei curbe eliptice peste un corp finit {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} este, într-un anume sens, o [[funcție generatoare]] care asamblează informația despre numărul de puncte ale lui {{math|''E''}} cu valori în [[extindere de corp|extinderea finită de corp]] {{math|'''F'''<sub>''p<sup>n</sup>''</sub>}} a lui {{math| '''F'''<sub>''p''</sub>}}. Ea este dată de<ref group="lower-alpha">Definiția este formală, exponențiala acestei [[serie de puteri|serii de puteri]] fără [[termen constant]] reprezintă dezvoltarea uzuală.</ref>
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp\left(\sum \# \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)</math>

Suma interioară a exponențialei se aseamănă cu dezvoltarea [[logaritm]]ului și, de fapt, așa-numita funcție zeta este o [[funcție rațională]]:
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)},</math>
unde termenul „urma lui Frobenius”<ref>vezi de exemplu {{cite web |title=An Introduction to the Theory of Elliptic Curves |first=Joseph H. |last=Silverman |date=2006 |work=Summer School on Computational Number Theory and Applications to Cryptography |publisher=University of Wyoming |url=https://www.math.brown.edu/~jhs/Presentations/WyomingEllipticCurve.pdf }}</ref> <math>a_p</math> este definită ca minus diferența dintre numărul de puncte de pe curba eliptică <math>E</math> peste <math>\mathbb{F}_p</math> și numărul „așteptat” <math>p+1</math>, viz.:
::<math>
a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p).
</math>
Există două aspecte remarcabile la această cantitate. În primul rând, aceste <math>a_p</math> nu trebuie confundate cu <math>a_i</math> din definiția curbei <math>E</math> de mais us: este doar o notație nefericită care poate produce confuzii. În al doilea rând, se pot defini aceleași cantități și funcții peste un corp finit arbitrar de caracteristică <math>p</math>, cu <math>q = p^n</math> înlocuind <math>p</math>.

[[Funcția zeta Hasse–Weil]] a lui {{math|''E''}} peste {{math|ℚ}} se definește apoi adunând aceste informații, pentru toate numerele prime {{math|''p''}}. Ea este definită prin expresia
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_p \left(1 - a_p p^{-s} + \varepsilon(p)p^{1 - 2s}\right)^{-1}</math>

unde {{math|1=''ε''(''p'') = 1}} dacă {{math|''E''}} are o reducere bună la {{math|''p''}} și 0 altfel (caz în care {{math|''a<sub>p</sub>''}} se definește altfel decât metoda de mai sus: vezi Silverman (1986)).

Produsul [[convergență absolută|converge]] doar pentru {{math|Re(''s'') > 3/2}}. Conjectura lui Hasse afirmă că ''L''-funcția admite o [[continuare analitică]] la întreg planul complex și satisface o [[ecuație funcțională]] care leagă, pentru orice {{math|''s''}}, {{math|''L''(''E'', ''s'')}} de {{math|''L''(''E'', 2 − ''s'')}}. În 1999, s-a arătat că aceasta este o consecință a demonstrației conjecturii Shimura–Taniyama–Weil, care afirmă că orice curbă eliptică peste ℚ este o [[curbă modulară]], ceea ce implică faptul că ''L''-funcția este ''L''-funcția unei [[formă modulară|forme modulare]] a căror continuare analitică este cunoscută. Se poate vorbi astfel despre valorile lui {{math|''L''(''E'', ''s'')}} în orice număr complex {{math|''s''}}.

''Conjectura Birch–Swinnerton-Dyer'' face legătura între aritmetica curbei și comportamentul ''L''-funcției ei în {{math|1=''s''&nbsp;= 1}}. Ea afirmă că ordinul de dispariție al ''L''-funcției în {{math|1=''s''&nbsp;= 1}} este egală cu rangul lui {{math|''E''}} și prezice primul termen al seriei Laurent a lui {{math|''L''(''E'', ''s'')}} în acel punct în funcție de câteva cantități legate de curba eliptică.

Ca și [[ipoteza Riemann]], valoarea de adevăr a conjecturii BSD ar avea mai multe consecințe, inclusiv următoarele două:
* Un [[număr congruent]] este definit ca un [[întreg liber de pătrate]] impar {{math|''n''}} care este aria unui triunghi dreptunghic cu laturile raționale. Se știe că {{math|''n''}} este număr congruent dacă și numai dacă curba eliptică <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> are un punct rațional de ordin infinit; presupunând BSD, aceasta este echivalentă cu faptul că ''L''-funcția sa are un zero în {{math|1=''s'' = 1}}. [[teorema lui Tunnell|Tunnell]] a arătat un alt rezultat corelat: presupunând BSD, {{math|''n''}} este un număr congruent dacă și numai dacă numărul de triplete de numere întregi {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} care satisfac condiția <math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> să fie dublul numărului tripletelor care satisfac condiția <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math>. Interesul față de această afirmație rezidă în faptul că condiția este ușor de verificat.<ref>{{Harvard citations|author=Koblitz|year=1993|nb=yes}}</ref>
*Într-o altă direcție, anumite metode analitice permit o estimare a ordiniului lui zero în centrul [[fâșie critică|fâșiei critice]]<!-- critical strip --> pentru anumite ''L''-funcții. Presupunând BSD, aceste estimări corespund unor informații despre rangul familiilor curbelor eliptice corespunzătoare. De exemplu: presupunând [[ipoteza Riemann generalizată]] și BSD, rangul mediu al curbelor date de <math>y^2=x^3+ax+b</math> este mai mic ca 2.<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |title=The Average Analytic Rank of Elliptic Curves |journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 |arxiv=math/0305114 }}</ref>

== Curbele eliptice peste un corp general ==
Curbele eliptice pot fi definite peste orice [[Corp (matematică)|corp]] {{Math|''K''}}; definiția formală a unei curbe eliptice este o curbă algebrică proiectivă nesingulară peste ''{{Math|''K''}}'' de [[Gen (matematică)|gen]] 1 și dotată cu un punct distinct definit peste ''{{Math|''K''}}.''

Dacă [[Caracteristică (algebră)|caracteristica]] lui ''{{Math|''K''}}'' nu este nici 2, nici 3, atunci orice curbă eliptică peste ''{{Math|''K''}}'' poate fi scrisă sub forma

: <math>y^2 = x^3 - px - q</math>

după o schimbare liniară de variabilă. Aici ''p'' și ''q'' sunt elemente ale lui ''{{Math|''K''}}'' astfel încât polinomul din dreapta {{Math|''x''<sup>3</sup> &minus; ''px'' &minus; ''q''}} să nu aibă rădăcini duble. Dacă caracteristica este 2 sau 3, atunci trebuie păstrați mai mulți termeni: în caracteristica 3, ecuația cea mai generală este de forma

: <math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>

pentru {{Math|''b''<sub>{{small|2}}</sub>}}, {{Math|''b''<sub>{{small|4}}</sub>}} și {{Math|''b''<sub>{{small|6}}</sub>}} constante arbitrare astfel încât polinomul din partea dreaptă are rădăcini distincte (notația este aleasă din motive istorice). În caracteristica 2, nici măcar acest lucru nu este posibil, iar cea mai generală ecuație este

: <math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>

cu condiția ca varietatea pe care o definește să fie nesingulară. Dacă caracteristica nu ar fi o obstrucție, fiecare ecuație s-ar reduce la cele anterioare printr-o schimbare liniară adecvată de variabile.

De obicei, curba este mulțimea tuturor punctelor {{Math|(''x'', ''y'')}} care satisfac ecuația de mai sus și astfel încât atât {{Math|''x''}} cât și {{Math|''y''}} sunt elemente ale [[Închidere algebrică|închiderii algebrice]] a lui ''{{Math|''K''}}.'' Punctele curbei ale căror coordonate aparțin ambele lui ''{{Math|''K''}}'' se numesc '''puncte ''{{Math|''K''}}-''raționale'''.

=== Teorema de modularitate și aplicațiile ei la Ultima Teoremă a lui Fermat===
Teorema de modularitate, denumită mai demult ''conjectura Taniyama–Shimura–Weil'', afirmă că orice curbă eliptică {{math|''E''}} peste ℚ este o [[curbă modulară]], adică funcția ei zeta Hasse–Weil este ''L''-funcție de o [[formă modulară]] de pondere 2 și nivel {{math|''N''}}, unde {{math|''N''}} este [[Conductor (varietate abeliană)|conductor]] al lui {{math|''E''}} (un întreg divizibil cu aceleași numere prime ca discriminantul lui {{math|''E''}}, {{math|Δ(''E'')}}). Cu alte cuvinte, dacă se scrie ''L''-funcția pentru {{math|Re(''s'') > 3/2}} sub forma
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \sum_{n>0}a(n)n^{-s},</math>

atunci expresia
:<math>\sum a(n) q^n, \qquad q = e^{2 \pi i z}</math>

definește o formă nouă parabolică modulară de pondere 2 și nivel {{math|''N''}}. Pentru numerele prime {{math|''ℓ''}} care nu sunt divizibile cu {{math|''N''}}, coeficientul {{math|''a''(''ℓ'')}} este egal cu {{math|''ℓ''}} minus numărul de soluții al ecuației minimale a curbei modulo {{math|''ℓ''}}.

De exemplu,<ref>Pentru calcule, vezi de exemplu {{harvnb|Zagier|1985|pp=225–248}}</ref> curba eliptică <math>y^2 - y = x^3 -x</math>, cu discriminant (și conductor) 37, este asociată formei
:<math>f(z) = q - 2q^2 - 3q^3 + 2q^4 - 2q^5 + 6q^6 + \cdots, \qquad q = e^{2 \pi i z}</math>

Pentru numere prime ℓ diferite de 37, se poate verifica proprietatea despre coeficienți. Astfel, pentru {{math|''ℓ''&nbsp;= 3}}, există 6 soluții la ecuația modulo 3: {{nowrap|(0, 0)}}, {{nowrap|(0, 1)}}, {{nowrap|(2, 0)}}, {{nowrap|(1, 0)}}, {{nowrap|(1, 1)}}, {{nowrap|(2, 1)}}; așa că {{math|1=''a''(3) = 3 − 6 = −3}}.

Conjectura, care datează din anii 1950, a fost complet demonstrată până în 1999 folosind idei ale lui [[Andrew Wiles]], care a demonstrat-o în 1994 pentru o mare [[familie de curbe]] eliptice.<ref>O prezentare sintetică (în franceză) a ideilor principale se poate găsi în [http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__319_0/ acest articol] din [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] de [[Jean-Pierre Serre]]. Pentru mai multe detalii, vezi {{Harvard citations |last=Hellegouarch |year=2001 |nb=yes}}</ref>

Există mai multe formulări ale conjecturii. Demonstrarea faptului că sunt echivalente a fost o mare provocare a teoriei numerelor în a doua jumătate a secolului al XX-lea. Modularitatea curbei eliptice {{math|''E''}} de conductor {{math|''N''}} poate fi exprimată și prin a afirma că nu există o [[aplicație rațională]] neconstantă definită peste ℚ, de la curba modulară {{math|''X''<sub>0</sub>(''N'')}} la {{math|''E''}}. În particular, punctele lui {{math|''E''}} pot fi parametrizate de [[funcție modulară|funcții modulare]].

De exemplu, o parametrizare modulară a curbei <math>y^2 - y = x^3 - x</math> este dată de<ref>{{cite book |first=D. |last=Zagier |chapter=Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1111 |publisher=Springer |year=1985 |pages=225–248 |doi=10.1007/BFb0084592 |isbn=978-3-540-39298-9 |title=Arbeitstagung Bonn 1984 }}</ref>

:<math>\begin{align}
  x(z) &= q^{-2} + 2q^{-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 + 51q^4 +\cdots\\
  y(z) &= q^{-3} + 3q^{-2} + 9q^{-1} + 21 + 46q + 92q^2 + 180q^3 +\cdots
\end{align}</math>

unde, ca mai sus, {{math|''q'' = exp(2π''iz'')}}. Funcțiile {{math|''x''(''z'')}} și {{math|''y''(''z'')}} sunt modulare de pondere 0 și nivel 37; cu alte cuvinte, ele sunt [[funcție meromorfă|meromorfe]], definite pe [[semiplanul superior]] {{math|Im(''z'') > 0}} și satisfac
:<math>x\!\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) = x(z)</math>

și asemenea pentru {{math|''y''(''z'')}}, pentru toți întregii {{math|''a, b, c, d''}} cu {{math|1=''ad'' − ''bc'' = 1}} și {{math|37}}|{{math|''c''}}.

O altă formulare depinde de comparația [[reprezentare Galois|reprezentărilor Galois]] atașate pe de o parte curbelor eliptice, și pe de altă parte formelor modulare. Această din urmă formulare a fost utilizată în demonstrația conjecturii. Tratarea nivelului formelor (și a legăturii lor cu conductorul curbei) este deosebit de delicată.

Cea mai spectaculoasă aplicație a conjecturii este demonstrația [[marea teoremă a lui Fermat|marii teoreme a lui Fermat]] (UTF). Se presupune că pentru un număr prim {{math|1=''p'' ≥ 5}}, ecuația Fermat
:<math>a^p + b^p = c^p</math>

are o soluție cu întregi nenuli, deci un contraexemplu pentru UTF. Atunci, după cum [[Yves Hellegouarch]] a fost primul care a remarcat,<ref>{{Cite journal | last1=Hellegouarch | first1=Yves | title=Points d'ordre 2p<sup>h</sup> sur les courbes elliptiques | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa26/aa2636.pdf| mr=0379507  | year=1974 | journal=Acta Arithmetica | issn=0065-1036 | volume=26 | issue=3 | pages=253–263| doi=10.4064/aa-26-3-253-263 | doi-access=free }}</ref> curba eliptică
:<math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math>

de discriminant
:<math>\Delta = \frac{1}{256}(abc)^{2p}</math>

nu poate fi modulară.<ref name="ribet">{{cite journal |last=Ribet |first=Ken |author-link=Ken Ribet |title=On modular representations of Gal({{overline|'''Q'''}}/'''Q''') arising from modular forms |journal=Inventiones Mathematicae |volume=100 |year=1990 |issue=2 |pages=431–476 |doi=10.1007/BF01231195 |mr=1047143 |url=https://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/invent_100.pdf |hdl=10338.dmlcz/147454 |bibcode=1990InMat.100..431R }}</ref> Astfel, demonstrația conjecturii Taniyama–Shimura–Weil pentru această familie de curbe eliptice (denumite curbele Hellegouarch–Frey) implies UTF. Demonstrația între legătura acestor două propoziții, bazată pe o idee a lui [[Gerhard Frey]] (1985), este dificilă și tehnică. Ea a fost realizată de [[Kenneth Ribet]] în 1987.<ref>Vezi studiul din {{cite journal |first=K. |last=Ribet |title=From the Taniyama–Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem |journal=Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse |volume=11 |year=1990 |pages=116–139 |doi= 10.5802/afst.698|url=http://www.numdam.org/item?id=AFST_1990_5_11_1_116_0 |doi-access=free }}</ref>

=== Puncte întregi ===
Această secțiune se ocupă de punctele {{math|1=''P'' = (''x'', ''y'')}} de pe {{math|''E''}} astfel încât {{math|''x''}} este întreg.<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Chapter IX}}</ref> Următoarea teoremă i se datorează lui [[C. L. Siegel]]: mulțimea punctelor {{math|1=''P'' = (''x'', ''y'')}} din {{math|1=''E''(ℚ)}} astfel încât {{math|''x''}} să fie întreg este finită. Această teoremă poate fi generalizată la punctele a căror abscisă are un numitor divizibil doar cu o mulțime finită fixată de numere prime.

Teorema se poate formula efectiv. De exemplu,<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem IX.5.8.}}, datorată lui Baker.</ref> dacă ecuația Weierstrass a lui {{math|''E''}} are coeficienți întregi mărginiți de o constantă {{math|''H''}}, coordonatele {{math|(''x'', ''y'')}} ale unui punct al lui {{math|''E''}} cu {{math|''x''}} și {{math|''y''}} întregi satisfac condiția:
:<math>\max (|x|, |y|) < \exp\left(\left[10^6H\right]^{{10}^6}\right)</math>

De exemplu, ecuația {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + 17}} are opt soluții întregi cu {{math|''y''&nbsp;> 0}} :<ref>T. Nagell, ''L'analyse indéterminée de degré supérieur'', Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.</ref>
:{{math|1=(''x'', ''y'') = (−1, 4), (−2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), ({{val|5234}}, {{val|378661}})}}.

Ca alt exemplu, [[număr Stella octangula|ecuația lui Ljunggren]], o curbă a cărei formă Weierstrass este {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − 2''x''}}, are doar patru soluții cu {{math|''y''&nbsp;≥ 0}} :<ref>{{citation |hdl=10871/8323 |first=Samir |last=Siksek |type=Ph.D. thesis |publisher=University of Exeter |year=1995 |title=Descents on Curves of Genus 1 |pages=16–17 |postscript=. }}</ref>
:{{math|1=(''x'', ''y'') = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, {{val|6214}})}}.

=== Generalizarea la corpuri de numere ===
Multe din rezultatele anterioare rămân valide când corpul de definiție a lui {{math|''E''}} este un [[corp de numere]] {{math|''K''}}, adică o [[extindere de corp]] finită a lui ℚ. În particular, grupul {{math|''E(K)''}} de puncte ''K''-raționale de pe o curbă eliptică ''E'' definită peste {{math|''K''}} este finit generat, ceea ce generalizează teorema Mordell–Weil de mai sus. O teoremă a lui [[Loïc Merel]] arată că pentru un întreg dat {{math|''d''}}, există ([[până la]] izomorfism) doar un număr finit de grupuri care pot apărea ca grupuri de torsiune ale lui {{math|''E''(''K'')}} pentru o curbă eliptică definită peste corpul de numere {{math|''K''}} de [[gradul unei extinderi de corp|grad]] {{math|''d''}}. Mai exact,<ref>{{cite journal |first=L. |last=Merel | author-link=Loïc Merel | title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres | language=fr | journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=124 |year=1996 |issue=1–3 |pages=437–449 | zbl=0936.11037 | doi=10.1007/s002220050059 |bibcode=1996InMat.124..437M }}</ref> există un număr {{math|''B''(''d'')}} astfel încât pentru orice curbă eliptică {{math|''E''}} definită peste un corp de numere {{math|''K''}} de grad {{math|''d''}}, orice punct de torsiune al lui {{math|''E''(''K'')}} este de [[ordin (teoria grupurilor)|ordin]] mai mic ca {{math|''B''(''d'')}}. Teorema este efectivă: pentru {{math|''d'' > 1}}, dacă un punct de torsiune este de ordin {{math|''p''}}, cu {{math|''p''}} prim, atunci
:<math>p < d^{3d^2}</math>

În ce privește punctele întregi, teorema lui Siegel se generalizează la următoarea propoziție: Fie {{math|''E''}} o curbă eliptică definită peste un corp de numere {{math|''K''}}, {{math|''x''}} și {{math|''y''}} coordonatele Weierstrass. Atunci există un număr finit de puncte ale lui {{math|''E(K)''}} ale căror abscise se află în [[inel de întregi|inelul de întregi]] {{math|''O''<sub>''K''</sub>}}.

Proprietățile funcției zeta Hasse–Weil și conjectura Birch și Swinnerton-Dyer pot fi și ele extinse la această situație mai generală.

== Izogenie ==
Fie {{Math|''E''}} și {{Math|''D''}} curbe eliptice peste un corp {{Math|''K''}}. O ''izogenie'' între ''{{Math|''E''}}'' și ''{{Math|''D''}}'' este un {{Ill-wd|Q2370289|3=morfism finit}} {{Math|''f'' : ''E''→ ''D''}} de {{Ill-wd|Q318751|3=varietăți}} care conservă punctele de bază (cu alte cuvinte, mapează punctul dat de pe {{Math|''E''}} la cel de pe {{Math|''D''}}).

Cele două curbe sunt numite ''izogene'' dacă există o izogenie între ele. Aceasta este o [[relație de echivalență]], [[Simetrie|simetria]] fiind datorată existenței {{Ill-wd|Q5310181|3=izogeniei duale}}. Orice izogenie este un [[Homomorfism|omomorfism]] algebric și astfel induce omomorfisme ale [[Grup (matematică)|grupurilor]] curbelor eliptice pentru K-valuate.

== Curbe eliptice peste corpuri finite ==
[[Fișier:Elliptic_curve_on_Z61.svg|dreapta|miniatura| Mulțime de puncte afine ale curbei eliptice {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> &minus; x}} peste corpul finit '''F'''<sub>61</sub>.]]
Fie {{Math|1=''K'' = F<sub>{{small|q}}</sub>}} [[Corp finit|corpul finit]] cu {{Math|''q''}} elemente și {{Math|''E''}} o curbă eliptică definită peste {{Math|''K''}}''.'' {{Ill-wd|Q5177153|3=Numărul precis de puncte raționale ale unei curbe eliptice}} ''{{Math|''E''}}'' peste ''{{Math|''K''}}'' este în general destul de dificil de calculat, dar [[Teorema lui Hasse pe curbele eliptice|teorema lui Hasse despre curbele eliptice]] oferă, inclusiv pentru punctul de la infinit, următoarea estimare:

: <math>|\# E(K) - (q + 1) | \le 2\sqrt{q}</math>

Cu alte cuvinte, numărul de puncte ale curbei crește aproximativ ca numărul de elemente din corp. Acest fapt poate fi înțeles și demonstrat cu ajutorul unei teorii generale.
[[Fișier:Elliptic_curve_on_Z89.svg|stanga|miniatura| Mulțime de puncte afine ale curbei eliptice {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> &minus; ''x''}} peste corpul finit '''F'''<sub>89</sub>.]]
Mulțimea punctelor {{Math|''E''(F<sub>{{small|q}}</sub>)}} este un grup abelian finit. El este întotdeauna ciclic sau produsul a două grupuri ciclice. De exemplu,<ref>Vezi {{Harvard citations|last=Koblitz}}</ref> curba definită de

: <math>y^2 = x^3 - x</math>

peste {{Math|F<sub>{{small|71}}</sub>}} are 72 de puncte (71 de [[Spațiu afin|puncte afine]], inclusiv (0,0) și un [[Punct de la infinit|punct la infinit]]) peste acest câmp, a cărui structură de grup este dată de '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/36'''Z.''' Numărul de puncte pe o curbă specifică poate fi calculat cu [[algoritmul lui Schoof]].

Studiul curbei peste [[extindere de corp|extinderile de corp]] ale lui {{Math|F<sub>{{small|q}}</sub>}} este facilitat de introducerea funcției zeta locale a lui ''{{Math|''E''}}'' peste {{Math|F<sub>{{small|q}}</sub>}}, definită de o serie generatoare:

: <math>Z(E(K), T) \equiv \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)</math>

unde corpul {{Math|''K''<sub>{{small|''n''}}</sub>}} este extinderea (unică până la izomorfism) a lui {{Math|1=''K'' = F<sub>{{small|q}}</sub>}} de grad {{Math|''n''}} (adică {{Math|F<sub>{{small|q<sup>''n''</sup>}}</sub>}}). Funcția zeta este o funcție rațională în {{Math|''T''}}''.'' Există un număr întreg {{Math|''a''}}, astfel încât

: <math>Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}</math>

În plus,

: <math>\begin{align}
 Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) &= Z(E(K), T)\\
     \left(1 - aT + qT^2 \right) &= (1 - \alpha T)(1 - \beta T)
\end{align}</math>

cu numere complexe α, β de [[Modul|valoare absolută]] <math>\sqrt{q}</math> . Acest rezultat este un caz special al conjecturilor Weil. De exemplu,<ref>{{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 160}}</ref> funcția zeta a lui {{Math|1=''E'' : ''y''<sup>2</sup> + ''y'' = ''x''<sup>3</sup>}} peste corpul '''F'''<sub>2</sub> este dată de

: <math>\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}</math>

aceasta rezultă din:

: <math> \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ impar} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ par} \end{cases} </math>

[[Fișier:Elliptic_curve_on_Z71.svg|dreapta|miniatura| Mulțimea punctelor afine ale curbei eliptice {{Math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> &minus;''x''}} peste corpul finit '''F'''<sub>71</sub>.]]
{{Ill-wd|Q2993331|3=Conjectura Sato-Tate}} este o afirmație despre modul în care termenul de eroare <math>2\sqrt{q}</math> din teorema lui Hasse variază de la un număr prim {{Math|''q''}} la altul, dacă o curbă eliptică ''{{Math|''E''}}'' peste '''Q''' este redusă modulo {{Math|''q''}}. A fost demonstrată (pentru aproape toate aceste curbe) în 2006, datorită rezultatelor lui Taylor, Harris și Shepherd-Barron,<ref>{{Citat revistă|nume=Harris|nume2=Shepherd-Barron|nume3=Taylor|prenume=M.|prenume2=N.|prenume3=R.|an=2010|titlu=A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy|journal={{Ill-wd|Q564426|3=Annals of Mathematics}}|volum=171|număr=2|pagini=779–813|doi=10.4007/annals.2010.171.779}}</ref> și afirmă că termenii de eroare sunt echidistribuiți.

Curbele eliptice peste corpurile finite au aplicații în special în [[criptografie]] și pentru [[Factorizare|factorizarea]] numerelor întregi mari. Acești algoritmi folosesc adesea structura de grup pe punctele lui ''{{Math|''E''}}.'' Algoritmii care se aplică grupurilor generale, de exemplu grupul de elemente inversabile în corpuri finite, {{Math|F<sup>*</sup><sub>{{small|''q''}}</sub>}}, pot fi astfel aplicate grupului de puncte de pe o curbă eliptică. De exemplu, [[Logaritm discret|logaritmul discret]] este un astfel de algoritm. Interesul în aceasta este că alegerea unei curbe eliptice permite mai multă flexibilitate decât alegerea lui {{Math|''q''}} (și, astfel, a grupului de unități din {{Math|F<sub>{{small|''q''}}</sub>}}). De asemenea, structura de grup a curbelor eliptice este în general mai complicată.

== Algoritmi care utilizează curbe eliptice ==
Curbele eliptice peste corpuri finite sunt utilizate în unele [[Criptografie|aplicații criptografice]], precum și pentru [[Factorizarea întregilor|factorizarea numerelor întregi]]. De obicei, ideea generală din aceste aplicații este că un [[algoritm]] cunoscut care folosește anumite grupuri finite este rescris pentru a utiliza grupurile de puncte raționale ale curbelor eliptice.

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
[[Serge Lang]], în introducerea cărții citate mai jos, a declarat că „este posibil să scriem la nesfârșit despre curbele eliptice. (Aceasta nu este o amenințare.)” Următoarea listă scurtă este, în cel mai bun caz, un ghid pentru vasta literatură expozitivă disponibilă cu privire la aspectele teoretice, algoritmice și criptografice ale curbelor eliptice.

* {{Citat carte|nume=I. Blake|nume2=G. Seroussi|nume3=N. Smart|an=2000|titlu=Elliptic Curves in Cryptography|serie=LMS Lecture Notes|editură=Cambridge University Press|isbn=0-521-65374-6}}
* {{Citat carte|nume=Richard Crandall|nume2=Carl Pomerance|an=2001|titlu=Prime Numbers: A Computational Perspective|editură=[[Springer-Verlag]]|ediție=1st|isbn=0-387-94777-9|capitol=Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic|pagini=285–352|legătură-autor2=Carl Pomerance|legătură-autor=Richard Crandall}}
* {{Citat carte|prenume=John|nume=Cremona|legătură-autor=John Cremona|an=1997|ediție=2nd|titlu=Algorithms for Modular Elliptic Curves|editură=Cambridge University Press|url=http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona//book/fulltext/index.html|isbn=0-521-59820-6}}
* {{Citat carte|nume=Darrel Hankerson, {{Ill-wd|Q4723156|3=Alfred Menezes}} and {{Ill-wd|Q7437437|3=Scott Vanstone}}|an=2004|titlu=Guide to Elliptic Curve Cryptography|editură=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=0-387-95273-X|url=http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/ecc/}}
* {{Citat carte|nume=Hellegouarch|prenume=Yves|titlu=Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles|editură=Dunod|locul-publicării=Paris|isbn=978-2-10-005508-1|an=2001}}
* {{Citat carte|prenume=Dale|nume=Husemöller|legătură-autor=Dale Husemöller|an=2004|titlu=Elliptic Curves|ediție=2nd|serie=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volum=111|editură=Springer|isbn=0-387-95490-2}}
* {{Citat carte|nume=Kenneth Ireland|legătură-autor=Kenneth Ireland|nume2=Michael I. Rosen|an=1998|titlu=A Classical Introduction to Modern Number Theory|volum=84|serie=Graduate Texts in Mathematics|editură=Springer|ediție=2nd revised|capitol=Chapters 18 and 19|isbn=0-387-97329-X|legătură-autor2=Michael I. Rosen}}
* {{Citat carte|prenume=Anthony W.|nume=Knapp|legătură-autor=Anthony W. Knapp|anoriginal=1992|an=2018|url=https://books.google.com/books?id=Xf9ZDwAAQBAJ|titlu=Elliptic Curves|serie=Mathematical Notes|volum=40|editură=Princeton University Press|isbn=9780691186900}}
* {{Citat carte|nume=Koblitz|prenume=Neal|legătură-autor=Neal Koblitz|an=1993|ediție=2nd|titlu=Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms|serie=Graduate Texts in Mathematics|volum=97|editură=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-97966-2}}
* {{Citat carte|nume=Koblitz|prenume=Neal|legătură-autor=Neal Koblitz|an=1994|titlu=A Course in Number Theory and Cryptography|serie=Graduate Texts in Mathematics|volum=114|editură=[[Springer-Verlag]]|ediție=2nd|isbn=0-387-94293-9|capitol=Chapter 6}}
* {{Citat carte|nume=Serge Lang|legătură-autor=Serge Lang|titlu=Elliptic curves: Diophantine analysis|serie=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volum=231|editură=[[Springer-Verlag]]|an=1978|isbn=3-540-08489-4}}
* {{Citat carte|nume=Henry McKean|nume2=Victor Moll|titlu=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic|editură=Cambridge University Press|isbn=0-521-65817-9|an=1999}}
* {{Citat carte|nume=Ivan Niven|nume2=Herbert S. Zuckerman|nume3=Hugh Montgomery|legătură-autor3=Hugh Montgomery (mathematician)|titlu=An introduction to the theory of numbers|url-capitol=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive|ediție=5th|editură=John Wiley|an=1991|isbn=0-471-54600-3|capitol=Section 5.7}}
* {{Citat carte|nume=Silverman|prenume=Joseph H.|legătură-autor=Joseph H. Silverman|an=1986|titlu=The Arithmetic of Elliptic Curves|serie=Graduate Texts in Mathematics|volum=106|editură=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-96203-4}}
* {{Citat carte|nume=Joseph H. Silverman|legătură-autor=Joseph H. Silverman|an=1994|titlu=Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves|serie=Graduate Texts in Mathematics|volum=151|editură=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-94328-5}}
* {{Citat carte|nume=Joseph H. Silverman|legătură-autor=Joseph H. Silverman|nume2=John Tate|an=1992|titlu=Rational Points on Elliptic Curves|editură=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-97825-9|legătură-autor2=John Tate (mathematician)}}
* {{Citat revistă|nume=John Tate|legătură-autor=John Tate (mathematician)|an=1974|titlu=The arithmetic of elliptic curves|journal={{Ill-wd|Q32229|3=Inventiones Mathematicae}}|volum=23|număr=3–4|pagini=179–206|bibcode=1974InMat..23..179T|doi=10.1007/BF01389745}}
* {{Citat carte|nume=Lawrence Washington|an=2003|titlu=Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography|url=https://archive.org/details/ellipticcurvesnu0000wash|editură=Chapman & Hall/CRC|isbn=1-58488-365-0}}

== Legături externe ==
* {{Springer|title=Elliptic curve|id=p/e035450}}
* [https://web.archive.org/web/20030223074754/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/14H52.html The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves]
* {{MathWorld|title=Elliptic Curves|urlname=EllipticCurve}}
* [https://web.archive.org/web/20131109074631/http://planetmath.org/thearithmeticofellipticcurves The Arithmetic of elliptic curves] de la PlanetMath
* {{Citation|last=Brown|first=Ezra|title=Three Fermat Trails to Elliptic Curves|volume=31|issue=3|pages=162–172|year=2000|periodical=The College Mathematics Journal|doi=10.1080/07468342.2000.11974137}}
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=300&objectType=File Cod Matlab pentru trasarea funcțiilor implicite] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060317005441/http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=300&objectType=file |date=2006-03-17 }} – se poate utiliza pentru a trasa curbe eliptice.
* [https://web.archive.org/web/20120301091325/http://sagenb.org/home/pub/1126/ Introducere interactivă în curbele eliptice și în criptografia cu curbe eliptice cu Sage] de [http://www.maths.unsw.edu.au/~maikemassierer/ Maike Massierer] și echipa [https://www.cryptool.org/en/ CrypTool]
* [http://danher6.100webspace.net/ecc#ER_interactivo Curbă eliptică interactivă peste R] și [http://danher6.100webspace.net/ecc#EFp_interactivo peste Zp] – aplicații web.
* [http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/ Amplă bază de date de curbe eliptice peste Q]
{{Portal|Matematică}}

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Teoria grupurilor]]