Vizualizare sursă pentru „Cub trunchiat”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Cub trunchiat
| image_up = Truncatedhexahedron.jpg
| caption = ([[:Fișier:Truncatedhexahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Truncated cube.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 14 (8 [[triunghi]]uri, 6 [[octogon |octogoane]])
| edges = 36
| vertices = 24
| vertex_config = 3.8.8
| face_config =
| schläfli = t{4,3}<br/>t<sub>0,1</sub>{4,3}
| wythoff = 2 3 &#124; 4
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}
| conway = tC
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]], B<sub>3</sub>, [4,3], (*432), ordin 48
| rotsymmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432), ordin 24
| surface_area = &approx; 32,435 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 13,600 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 3-8: 125° 15′ 51″<br/>8-8: 90°
| dual = [[Octaedru triakis]]
| properties = [[Poliedru semiregulat]], [[poliedru convex |convex]] cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]]
| vertex_figure = Polyhedron truncated 6 vertfig.svg
| net = Polyhedron truncated 6 net.svg
}}
[[Fișier:Polyhedron truncated 6 dual.png|thumb|Dual:Octaedru triakis]]
În [[geometrie]] '''cubul trunchiat''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 6 [[față (geometrie) |fețe]] [[octogon]]ale regulate, 8 fețe [[triunghi echilateral |triunghiulare echilaterale]], 24 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]] și 36 de [[latură (geometrie) |laturi]]. Poate fi construit prin [[trunchiere (geometrie) |trunchierea]] tuturor celor 8 vârfuri ale unui [[cub]] la o treime din lungimea laturii inițiale.

Dacă cubul trunchiat are lungimea muchiei 1, [[poliedru dual |dualul său]], [[octaedru triakis |octaedrul triakis]] are laturi de două feluri, cu lungimile 2 și 2&nbsp;+&nbsp;{{sqrt|2}}.

Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>09</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>21</sub> și indicele Wenninger W<sub>8</sub>.

== Arie și volum ==
[[Arie |Aria]] ''A'' și [[volum]]ul ''V'' ale unui cub trunchiat cu lungimea muchiei ''a'' sunt:
:<math>\begin{align}
A &= 2\left(6+6\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)a^2 &&\approx 32,434\,6644\,a^2 \\
V &= \frac{21+14\sqrt{2}}{3}a^3 &&\approx 13,599\,6633\,a^3. \end{align}</math>

== Proiecții ortogonale ==
Cubul trunchiat are cinci [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]], centrate pe un vârf, cu două tipuri de laturi și două tipuri de fețe: triunghiuri și octogoane. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B<sub>2</sub> și A<sub>2</sub>.
{|class=wikitable width=500 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
! Centrată<br/>pe
!Vârf
!Latura<br/>3-8
!Latura<br/>8-8
!Fața<br/>octogon
!Fața<br/>triunghi
|-
! Corp
|
|
|[[Fișier:Polyhedron truncated 6 from blue max.png|55px|center]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 6 from red max.png|80px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 6 from yellow max.png|80px]]
|-
! Cadru<br/>de sârmă
|[[Fișier:Cube t01 v.png|80px]]
|[[Fișier:Cube t01 e38.png|80px]]
|[[Fișier:Cube t01 e88.png|80px]]
|[[Fișier:3-cube t01_B2.svg|80px]]
|[[Fișier:3-cube t01.svg|80px]]
|-
! Dual
|[[Fișier:Dual truncated cube t01 v.png|80px]]
|[[Fișier:Dual truncated cube t01 e8.png|80px]]
|[[Fișier:Dual truncated cube t01 e88.png|80px]]
|[[Fișier:Dual truncated cube t01_B2.png|80px]]
|[[Fișier:Dual truncated cube t01.png|80px]]
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[2]
|[2]
|[2]
|[4]
|[6]
|}

== Pavare sferică ==
Cubul trunchiat poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat pe plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă|conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t01.png|160px]]
|[[Fișier:truncated cube stereographic projection octagon.png|160px]]<br/>centrată pe [[octogon]]
|[[Fișier:truncated cube stereographic projection triangle.png|160px]]<br/>centrată pe [[triunghi]]
|-
![[Proiecție ortogonală]]
!colspan=2|[[Proiecție stereografică |Proiecții stereografice]]
|}

== Coordonate carteziene ==
[[Fișier:Icosidecahedron_in_truncated_cube.png|thumb|Un cub trunchiat cu fețele sale octogonale [[Simetrie piritoedrică |piritoedrice]] divizat prin vârfuri din centrul fețelor în triunghiuri și pentagoane, creând topologic un [[icosidodecaedru]]]]

[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui cub trunchiat centrat în origine cu lungimea laturii 2''ξ'' sunt toate [[permutare |permutările]] lui
:(±''ξ'', ±1, ±1),
unde ''ξ''&nbsp;=&nbsp;{{sqrt|2}}&nbsp;−&nbsp;1.

În afară de [[valoare (matematică) |valoarea]] de mai sus, parametrul ''ξ'' poate lua valori între ±1. Valoarea 1 produce un cub, 0 produce un [[cuboctaedru]], iar valorile negative produc fețe [[octagramă |octagramice]] care se autointersectează.

[[Fișier:Truncated_cube_sequence.png|560px]]

Dacă porțiunile autointersectate ale octagramelor sunt îndepărtate, lăsând pătratele și trunchiind triunghiurile în hexagoane, se produc [[octaedru trunchiat |octaedre trunchiate]], iar secvența se termină cu pătratele centrale reduse la un punct și creând un [[octaedru]].

== Divizare  ==
{{Imagine dublă
| poz = dreapta
| img-st = Dissected_truncated_cube.png 
| img-st-marime = 150
| img-dr = Excavated_truncated_cube.png
| img-dr-marime =150
| com = Cub trunchiat divizat, [[vedere expandată]]
| com-dr = Cub trunchiat excavat
}}
Cubul trunchiat poate fi divizat într-un cub central, cu șase [[cupolă pătrată |cupole pătrate]] în jurul fiecărei fețe a cubului și 8 tetraedre regulate în colțuri. Această divizare poate fi observată și în interiorul [[fagure cubic runcic |fagurelui cubic runcic]], cu [[celulă (geometrie) |celule]] cubice, tetraedrice și [[rombicuboctaedru |rombicuboctaedrice]].

Această divizare poate fi folosită pentru a crea un [[toroid Stewart]] cu toate fețele regulate prin îndepărtarea a două cupole pătrate și a cubului central. Acest '''cub excavat''' are 16 triunghiuri, 12 pătrate și 4 octogoane.<ref>{{en icon}} B.M. Stewart, ''Adventures Among the Toroids'' (1970) {{isbn|978-0-686-11936-4}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://www.doskey.com/polyhedra/Stewart05.html|title = Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1}}</ref>

== Dispunerea vârfurilor ==
Are aceeași dispunere a vârfurilor cu trei [[poliedru uniform |poliedre uniforme]] neconvexe:
{|class="wikitable" width="500" style="text-align:center"
|- style="vertical-align:top;" 
|[[Fișier:Truncated hexahedron.png|120px]]<br/>'''Cub trunchiat'''
|[[Fișier:Uniform great rhombicuboctahedron.png|120px]]<br/>[[Marele rombicuboctaedru neconvex]]
|[[Fișier:Great cubicuboctahedron.png|120px]]<br/>[[Marele cubicuboctaedru]]
|[[Fișier:Great rhombihexahedron.png|120px]]<br/>[[Marele rombicuboctaedru]]
|}

== Poliedre înrudite ==
Cubul trunchiat este legat de alte poliedre și [[pavare |pavări]] prin [[simetrie]].

Cubul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.
{{Trunchieri octaedrice}}

=== Variante de simetrii ===
Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre [[trunchiere (geometrie) |trunchiate]] uniforme cu [[configurația vârfului |configurațiile vârfului]] (3.2''n''.2''n'') și [''n'',3] cu simetriile din [[grup Coxeter |grupul Coxeter]] și o serie de pavări ''n''.8.8.
{{Tabel figuri1 trunchiate}}
{{Tabel figuri4 trunchiate}}

=== Trunchieri alternate ===
{{imagine multiplă
| align = right
| total_width = 400
| image1 = Polyhedron 4a.png
| image2 = Polyhedron chamfered 4a.png
| image3 = Polyhedron truncated 6.png
| footer = Tetraedru, trunchierea sa pe laturi și cub trunchiat
}}
Trunchierea alternată a vârfurilor cubului dă {{ill-wd| Q18018756||tetraedrul șanfrenat}}, adică trunchierea laturilor tetraedrului.

[[Trapezoedru triunghiular trunchiat |Trapezoedrul triunghiular trunchiat]] este un alt poliedru care poate fi format prin trunchierea laturii cubului.

== Politopuri înrudite ==
Cubul trunchiat este cel de-al doilea în secvența [[hipercub]]urilor trunchiate:
{{Hipercuburi trunchiate}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Robert Williams (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-23729-X}}. (Section 3-9)
* {{en icon}} Cromwell, P. ''Polyhedra'', CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.&nbsp;79-86 ''Archimedean solids''

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=TruncatedCube |title=Truncated cube}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=TruncatedCubicalGraph |title=Truncated cubical graph}}
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=621wh65c7Ey8v4cRpEVhGs0pPxZ5raM9uNf8HcBUgOyrp6acSwZGvkvEcL6m06RDKxmSAduYsvTvoCvEDokvHrjyVEqlGVdIH8WamnxFO1qnGpUtgt7K0ZD57RlX&name=Truncated+Cube#applet Editable printable net of a truncated cube with interactive 3D view]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
*{{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
:* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/truncated_cube.wrl Model VRML] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200224071057/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/truncated_cube.wrl |date=2020-02-24 }}
:* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html Conway Notation for Polyhedra] Cheie: "tC"
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/tic.htm tic]'''

{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Pavări trunchiate]]