Vizualizare sursă pentru „Cub snub”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Cub snub
| image_up = [[Fișier: Snubhexahedroncw.jpg|140px]] [[Fișier:Snubhexahedronccw.jpg|140px]]
| caption = Cele două forme chirale, ''cw'' și ''ccw''<br/>(animații [[:Fișier:Snubhexahedroncw.gif|''cw'']] și [[:Fișier:Snubhexahedronccw.gif|''ccw'']], și [[:Fișier:Snub cube.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 38 (8+24 [[triunghi]]uri, 6 [[pătrat]]e)
| edges = 60
| vertices = 24
| vertex_config = 3.3.3.3.4
| face_config =
| schläfli = sr{4,3} sau <math>s\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>ht<sub>0,1,2</sub>{4,3}
| wythoff = &#124; 2 3 4
| coxeter = {{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}
| conway = sC
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]], {{sfrac|1|2}}B<sub>3</sub>, [4,3]<sup>+</sup>, (*432), ordin 24
| rotsymmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432), ordin 24
| surface_area = &approx; 19,856 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; &nbsp; 7,889 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°)<br/>3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°)
| dual = [[Icositetraedru pentagonal]]
| properties = [[Poliedru semiregulat]], [[poliedru convex |convex]], [[chiralitate (matematică) |chiral]]
| vertex_figure = Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg
| net = Polyhedron snub 6-8 left net.svg
}}
{{imagine multiplă
| align = right | total_width = 300
| image1 = Polyhedron snub 6-8 left dual max.png |width1=1
| image2 = Polyhedron snub 6-8 right dual max.png |width2=1
| footer = Duale: Icositetraedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta
}}
[[Fișier:TRIBONACCI.jpg|thumb|290px|O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira]]
În [[geometrie]] '''cubul snub''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 38 de [[față (geometrie) |fețe]], din care 8+24 [[triunghi]]ulare și 6 [[pătrat]]e, 24 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]] și 60 de [[latură (geometrie) |laturi]].

Este un poliedru [[chiralitate (matematică) |chiral]], adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă [[compus de două cuburi snub |compusul de două cuburi snub]], iar [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] al ambelor seturi de vârfuri este un [[cuboctaedru trunchiat]].
 
Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>12</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>24</sub> și indicele Wenninger W<sub>17</sub>.

[[Johannes Kepler]] l-a denumit inițial în {{la|cubus simus}} în lucrarea sa ''Harmonices Mundi'' din 1619. [[Coxeter |H.S.M. Coxeter]] a remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cu [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] extins vertical <math>s \scriptstyle\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, și reprezentând o [[alternare (geometrie) |alternare]] a unui [[cuboctaedru trunchiat]], care are simbolul Schläfli <math>t \scriptstyle\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>.

== Dimensiuni ==
Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1, [[arie |aria]] și [[volum]]ul acestuia sunt:
:<math>\begin{align} A &= 6+8\sqrt{3} &&\approx 19,856\,406\,460\,6 \\ V &=\frac{8t+6}{3\sqrt{2(t^2-3)}} &&\approx 7,889\,477\,399\,98 \end{align}</math>
unde ''t'' este ''constanta tribonacci''
:<math>t=\frac{1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}{3} \approx 1,839\,286\,755\,21.</math>

Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1, [[poliedru dual|dualul său]], [[icositetraedrul pentagonal]] are lungimea laturii
:<math>\frac{1}{\sqrt{t+1}} {\approx 0,593\,465} \quad</math> și <math>\quad \frac{\sqrt{t+1}}{2} \approx 0,842\,509.</math>.
Volumul unui cub snub cu lungimea laturii <math>a</math> poate fi calculat cu relația:<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Snub Cube - Geometry Calculator|url=https://rechneronline.de/pi/snub-cube.php|website=rechneronline.de|access-date=2020-05-26}}</ref>
:<math>V = \frac{3\sqrt{t-1}+4\sqrt{t+1}}{3\sqrt{2-t}}~a^3 \approx 7,889\,477\,399\,98a^3</math>,
unde {{mvar|t}} este constanta tribonacci de mai sus.

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui cub snub centrat în [[origine (matematică) |origine]] sunt [[permutare |permutările]] pare ale
:(±1, ±{{sfrac|1|''t''}}, ±''t'')
cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, unde ''t''&nbsp;≈&nbsp;1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formează [[compus de două cuburi snub |compusul de două cuburi snub]].

Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este <math>\alpha = \sqrt{2+4t-2t^2}</math>, un număr care este o soluție a ecuației
:<math>\alpha^6-4\alpha^4+16\alpha^2-32=0, \,</math>
și care poate fi scrisă ca
:<math>\begin{align} \alpha &= \sqrt{\frac{4}{3}-\frac{16}{3\beta}+\frac{2\beta}{3}}\approx1,609\,72 \\ \beta &= \sqrt[3]{26+6\sqrt{33}} \end{align}</math>

Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cu [[valoare (matematică) |valoarea]] {{mvar|α}} de mai sus.

== Proiecții ortogonale ==
[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 left from vertex.png|thumb|Cubul snub nu are [[simetrie față de centru]], ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate]]
Cubul snub are două [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] particulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A<sub>2</sub> și B<sub>2</sub> și una centrată pe mijlocul laturilor.
{|class=wikitable width=500 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
! Centrată<br/>pe
!Fața<br/>triunghi
!Fața<br/>pătrat
!Latură
|-
! Corp
|[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 left from yellow max.png|120px]]
|[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 left from red max.png|120px]]
|[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 left from blue max.png|120px]]
|-
!Cadru de sârmă
|[[Image:Snub cube_A2.png|120px]]
|[[Image:Snub cube_B2.png|120px]]
|[[Image:Snub cube_e1.png|120px]]
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[3]
|[4]<sup>+</sup>
|[2]
|-
!Dual
|[[Image:Dual snub cube_A2.png|120px]]
|[[Image:Dual snub cube_B2.png|120px]]
|[[Image:Dual snub cube_e1.png|120px]]
|}

{|class=wikitable align=right style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:Spherical_snub_cube.png|160px]]
|[[Fișier:Snub_cube_stereographic_projection.png|160px]]<br/>centrată pe pătrat
|-
![[Proiecție ortogonală]]
![[Proiecție stereografică]]
|}
== Pavare sferică ==
Cubul snub poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat pe plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă|conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].
{{-}}
== Relații geometrice ==
{{imagine multiplă
 | align = right | total_width = 350
 | image1 = Polyhedron 6 max.png |width1=1 |height1=1
 | image2 = Polyhedron small rhombi 6-8 max.png |width2=1 |height2=1
 | image3 = Polyhedron snub 6-8 left max.png |width3=1 |height3=1
 | footer = Cub, rombicuboctaedru și cub snub<br/>(animații cu [[:Fișier:P2-A5-P3.gif|expandări]] și [[:Fișier:A5-A7.gif|răsuciri]])
}}
{{imagine multiplă
 | align = right  | total_width = 350
 | image1 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub left maxmatch.png
 | image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 max.png
 | image3 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub right maxmatch.png
 | footer = Alternări uniforme ale cuboctaedrului trunchiat
}}
Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului, [[expandare (geometrie) |deplasându-le spre exterior]], apoi [[rotație (matematică) |rotindu-le]] în jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cu [[triunghi echilateral |triunghiuri echilaterale]].

Cubul snub poate fi derivat și din [[cuboctaedru trunchiat |cuboctaedrul trunchiat]] prin procesul de [[alternare (geometrie) |alternare]]. 24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] dar nu este [[poliedru uniform |uniform]].

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă.<ref>{{en icon}} [http://neilsloane.com/sphdesigns / „Spherical Designs”] de R.H. Hardin și [[Neil Sloane|N.J.A. Sloane]]</ref>
{{-}}
== Poliedre înrudite ==
Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.
{{Trunchieri octaedrice}}

=== Variante de simetrii ===
Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și [[pavare |pavări]] [[snub]] cu [[configurația vârfului |configurațiile vârfului]] (3.3.3.3.''n''.) și [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagrama Coxeter–Dynkin]] {{CDD|node_h|n|node_h|3|node_h}}. Aceste figuri și dualele lor au [[simetrie de rotație]] (''n''32) în [[notația orbifold]], existând în planul euclidian pentru ''n''&nbsp;=&nbsp;6, iar în [[spațiu hiperbolic |planul hiperbolic]] pentru orice ''n'' mai mare. Se poate considera că familia începe cu ''n''&nbsp;=&nbsp;2, care are fețele degenerate în [[digon |digoane]].
{{Tabel snub}}

Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.''n''.
{{Tabel snub4}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite journal |last=Jayatilake |first=Udaya |title=Calculations on face and vertex regular polyhedra |journal=Mathematical Gazette |date=March 2005 |volume=89 |issue=514 |pages=76–81|doi=10.1017/S0025557200176818 |s2cid=125675814 }}
* {{en icon}} Robert Williams (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-23729-X}}. (Section 3-9)
* {{en icon}} {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra|location=United Kingdom|publisher=Cambridge|pages=79–86 ''Archimedean solids''|isbn=0-521-55432-2}}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=SnubCube |title=Snub cube}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=KPFQTjUF59q9qFlmEqGmbfyT4Ykrpg7vn7pPKHBbttGwDk2Z6dABBNQuTy7b46U3TTtKxWPq6lgrdE2qYMNpS5ceb5Ie9K4gQt25UcMlwmW6OKK3HtK2QvnmOLGTZFLfHD7hM4GN1modJYJ5PjowXOUDwYnjnCRQFA0vsrVIwFkFiIy7Pi9foWycmqdJAnWMMpuCxwRrcdA49hnAjViEzr&name=Snub+Cube#applet Editable printable net of a Snub Cube with interactive 3D view]
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/snic.htm snic]'''
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Poliedre chirale]]
[[Categorie:Pavări snub]]