Vizualizare sursă pentru „Cuartică plană”

{{Pentru|cazul într-o singură variabilă|Funcție algebrică de gradul al patrulea}}
În [[geometrie algebrică |geometria algebrică]] o '''cuartică plană''' este o [[curbă plană]] de [[gradul unui polinom |gradul]] al patrulea. Poate fi definită printr-o [[ecuație de gradul al patrulea]] în două [[variabilă |variabile]] (bivariată}:
:<math>Ax^4+By^4+Cx^3y+Dx^2y^2+Exy^3+Fx^3+Gy^3+Hx^2y+Ixy^2+Jx^2+Ky^2+Lxy+Mx+Ny+P=0,</math>
cu cel puțin unul dintre [[coeficient |coeficienții]] {{mvar|A, B, C, D, E}} diferit de zero. Această ecuație are 15 [[constantă (matematică) |constante]]. Totuși, înmulțirea cu orice constantă diferită de zero nu modifică curba. Astfel, prin alegerea unei constante adecvate de înmulțire, oricare dintre coeficienți poate fi făcut 1, lăsând doar 14 constante. Prin urmare, spațiul curbelor cuartice poate fi identificat cu {{ill-wd| Q2597317|spațiu proiectiv real|spațiul proiectiv real}} {{tmath|\mathbb{RP}^{14}.}} De asemenea, din [[teorema lui Cramer (curbe algebrice) |teorema lui Cramer asupra curbelor algebrice]], rezultă că există exact o cuartică care trece printr-un set de 14 puncte diferite aflate în [[poziția generală]], deoarece o cuartică are 14 [[grad de libertate |grade de libertate]].

O cuartică poate avea maximum:
* 4 componente conexe;
* 28 de [[bitangentă |bitangente]]
* 3 [[punct singular al unei curbe#Puncte_duble |puncte duble]] ordinare.

Se pot considera cuartice și peste alte [[corp (matematică) |corpuri]] (sau chiar [[inel (matematică) |inele]]), de exemplu peste [[număr complex |numerele complexe]]. În acest fel, se obțin {{ill-wd| Q753035||suprafețe Riemann}}, care sunt obiecte [[unidimensional]]e în {{tmath|\C,}} dar sunt [[bidimensional]]e în {{tmath|\R.}} Un exemplu este {{ill-wd| Q977499||cuartica Klein}}. În plus, se pot considera curbele din {{ill-wd| Q1475760||planul proiectiv}} date de [[polinom omogen |polinoame omogene]].

== Exemple ==
Diverse combinații de coeficienți din ecuația de mai sus dau naștere la diferite familii importante de curbe, așa cum sunt enumerate mai jos.
{{Col-begin}}{{Col-break}}
* [[Bicorn  (matematică) |Bicorn]]
* {{ill-wd| Q3822077||Cuartică punctiformă}}
* {{ill-wd| Q2983648||Oval cartezian}}
* {{ill-wd| Q728699||Oval Cassini}}
* {{ill-wd| Q2348724||Hipocicloida lui Steiner}}
* {{ill-wd| Q1151489|Campila lui Eudoxus|Campila lui Eudoxus}}
* {{ill-wd| Q977499||Cuartica Klein}}
* {{ill-wd| Q6711564||Cuartica Lüroth}}
{{Col-break}}
* [[Lemniscată]]
:* [[Lemniscata lui Bernoulli]]
:* {{ill-wd| Q1205428||Lemniscata lui Booth}}
:* {{ill-wd| Q2346810||Lemniscata lui Gerono}}
* [[Melcul lui Pascal]] 
* {{ill-wd| Q1627103||Secțiune spirică}}
* {{ill-wd| Q2645130||Squircle}}
* {{ill-wd| Q985864||Secțiune torică}}
* [[Bitangente ale unei cuartice#Exemplu|Curba Trott]]
{{Col-end}}

[[Fișier:Ampersandcurve.svg|thumb|upright=0.5|Curbă ampersand]]
=== Curba ampersand ===
'''Curba ampersand''' este o cuartică plană dată de ecuația:
:<math>\  (y^2-x^2)(x-1)(2x-3)=4(x^2+y^2-2x)^2.</math>
Este de [[gen (matematică) |genul]] zero, cu trei puncte duble ordinare, toate în planul real.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|title=Ampersand Curve|urlname=AmpersandCurve}}</ref>
{{-}}
[[Fișier:Bean curve.svg |thumb|upright=0.5| Curbă bob de fasole]]
=== Curba bob de fasole ===
'''Curba bob de fasole''' este o cuartică plană dată de ecuația:
:<math>x^4+x^2y^2+y^4=x(x^2+y^2). \,</math>
Este de genul zero. Are o [[singularitate (matematică) |singularitate]] în [[origine (matematică) |origine]], un punct triplu ordinar.<ref>{{en icon}} {{Citation | last1=Cundy | first1=H. Martyn | last2=Rollett | first2=A. P. | title=Mathematical models | orig-year=1952 | publisher=Clarendon Press, Oxford | edition=2nd | isbn=978-0-906212-20-2  | mr=0124167 | year=1961 | page=72}}</ref><ref>{{en icon}}  {{MathWorld|title=Bean Curve|urlname=BeanCurve}} </ref>
{{-}}
[[Fișier:Bicuspid curve.svg |thumb|upright=0.5| Curbă bicuspidă]]
=== Curba bicuspidă ===
'''Curba bicuspidă''' este o cuartică plană dată de ecuația:
:<math>(x^2-a^2)(x-a)^2+(y^2-a^2)^2=0 \,</math>
unde ''a'' determină mărimea curbei.

Curba bicuspidă are două [[punct de întoarcere |puncte de întoarcere]], prin urmare este de genul 1.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|title=Bicuspid Curve|urlname=BicuspidCurve}}</ref>
{{-}}
[[Fișier:Bowcurve.svg |thumb|upright=0.8| Curbă nod]]

=== Curba nod ===
'''Curba nod''' este o cuartică plană dată de ecuația:
:<math>x^4=x^2y-y^3. \,</math>
Curba nod are un singur punct triplu în ''x''=0, ''y''=0, prin urmare este o curbă rațională de genul zero.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|title=Bow|urlname=Bow}}</ref>
{{-}}
{{imagine multiplă
| total_width = 300
| image1 = Cruciform1.png
| caption1 = Curbă cruciformă cu parametrii (b,a) fiind (1,1) în roșu; (2,2) în verde; (3,3) în albastru
| image2 = Cruciform2.png
| caption2 = Curbă cruciformă cu parametrii (b,a) fiind (1,1) în roșu; (2,1) în verde; (3,1) în albastru
}}
=== Curba cruciformă ===
'''Curba cruciformă''' este o cuartică plană dată de ecuația:
:<math>x^2y^2-b^2x^2-a^2y^2=0 \,</math>
unde ''a'' și ''b'' sunt doi [[parametru |parametri]] care determină forma curbei.

Curba cruciformă este legată printr-o transformare pătratică standard, ''x'' ↦ 1/''x'', ''y'' ↦ 1/''y'' a elipsei ''a''<sup>2</sup>''x''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> = 1, deci este o {{ill-wd| Q266237||curbă algebrică}} plană rațională de genul zero. Curba cruciformă are trei puncte duble în {{ill-wd| Q633815||planul proiectiv real}}, în ''x''=0 și ''y''=0, ''x''=0 și ''z''=0 și ''y''=0 și ''z''=0.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|title=Cruciform curve|urlname=Cruciform}}</ref>

Deoarece curba este rațională, poate fi parametrizată prin funcții raționale. De exemplu, dacă ''a''=1 și ''b''=2, atunci
:<math>x = -\frac{t^2-2t+5}{t^2-2t-3},\quad y = \frac{t^2-2t+5}{2t-2}</math>
parametrizează punctele de pe curbă în afara cazurilor excepționale în care un numitor este zero.
{{-}}
[[Fișier:Spiric section.svg |thumb|upright=0.8| Secțiune spirică]]
=== Secțiunea spirică ===
Secțiunile spirice pot fi definite drept curbe cuartice bicirculare care sunt simetrice față de axele ''x'' și ''y''. Secțiunile spirice sunt cuprinse în familia {{ill-wd| Q985864||secțiunilor torice}} și cuprind familia {{ill-wd| Q2348724||hipocicloidelor lui Steiner}} și familia {{ill-wd| Q728699||ovalelor Cassini}}. Numele provine din ''σπειρα'' care în greaca veche înseamnă tor.

Ecuația carteziană poate fi scrisă ca:
:<math>(x^2+y^2)^2=dx^2+ey^2+f , </math>
iar ecuația în coordonate polare ca:
:<math>r^4=dr^2\cos^2\theta+er^2\sin^2\theta+f. \, </math>
{{-}}
{{imagine multiplă
| total_width = 300
| image1 = Three-leaved clover.svg
| caption1 = Trifoliu în [[coordonate carteziene]]
| image2 = Three-leaved clover polar.svg
| caption2 = Trifoliu în [[coordonate polare]]
}}
=== Trifoliul  ===
'''Trifoliul''' este o cuartică plană cu ecuația:<ref>{{en icon}} {{MathWorld|title=Trifolium|urlname=Trifolium}}</ref>
:<math>x^4+2x^2y^2+y^4-x^3+3xy^2=0.</math>

Rezolvând în funcție de ''y'', curba poate fi descrisă de următoarea funcție:
:<math>y=\pm\sqrt{\frac{-2x^2-3x\pm\sqrt{16x^3+9x^2}}{2}},</math>
unde cele două apariții ale lui ± sunt independente una de cealaltă, dând până la patru valori distincte ale lui ''y'' pentru fiecare ''x''.

Ecuația parametrică a curbei este:<ref>{{en icon}} Gibson, C. G., ''Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction'', Cambridge University Press, Cambridge, 2001, {{isbn|978-0-521-64641-3}}. Pages 12 and 78.</ref>
:<math>x = \cos(3t) \cos t,\quad y = \cos(3t) \sin t.</math>

În coordonate polare (''x'' = ''r''&nbsp;cos&nbsp;φ, ''y'' = ''r''&nbsp;sin&nbsp;φ) ecuația este
:<math>r = \cos(3\varphi).</math>

Este un caz particular de {{ill-wd| Q1155211|rozetă (matematică) |rozetă}} cu ''k'' =&nbsp;3.
Această curbă are un punct triplu în origine (0,&nbsp;0) și trei tangente duble.

== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[Bitangente ale unei cuartice]]

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Curbe algebrice]]
[[Categorie:Curbe plane]]