Vizualizare sursă pentru „Criteriul lui Raabe-Duhamel”

{{referințe|date=octombrie 2016}}
În [[analiza matematică]], '''regula lui Raabe-Duhamel''' este un complement al [[criteriul raportului (D'Alembert)|criteriului raportului (D'Alembert)]], reprezentând unul dintre [[criterii de convergență|criteriile de convergență]] ale [[serie (matematică)|seriilor]].

Denumirea sa este legată de numele matematicienilor [[Joseph Ludwig Raabe]] și [[Jean-Marie Duhamel]].

Se enunță astfel<ref>{{Citat web|url=https://mathworld.wolfram.com/RaabesTest.html|accessdate=3 September 2020|autor=|titlu=RaabesTest}}</ref> 
Fie <math>(a_n)_{n \in \N}</math> un [[șir (matematică)|șir]] de [[număr real|numere reale]] cu <math>a_n > 0</math>. Definim un alt sir <math>(b_n)_{n \in \N}, \, b_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right)</math> si <math>L = \lim_{n\to\infty} b_n</math>. Atunci:
* dacă <math>L < 1</math>, seria <math>\sum a_n</math> este divergentă,
* dacă <math>L > 1</math>, seria <math>\sum a_n</math> este convergentă,
* dacă <math>L=1</math> nu putem preciza nimic privind natura seriei (testul este inconcluziv).

== Exemplu ==
Pentru a calcula limita seriei cu termenul general:
:::<math> x_n = n! \left (  \frac an \right )^n, \; a \in \mathbb R, </math>
se aplică criteriul Raabe-Duhamel:
::<math> \lim_{n \to \infty} n \left ( \frac {x_n}{x_{n+1}}-1 \right )= \lim_{n \to \infty} \left (   \left ( \frac {n+1}{n}  \right )^n  \frac 1e - 1 \right ) = </math>
::<math> = n  \left (   \left ( \frac {n+1}{n}  \right )^n  \frac 1e - 1 \right ) = \frac 1e \lim_{n \to \infty} \frac {(1 + \frac 1n)^n - e}{\frac 1n}. </math>

Se aplică [[regula lui l'Hôpital]]:
::<math> \lim_{x \to 0} \frac {(1 + x)^{\frac 1x} - e}{x} =  \lim_{x \to 0} \frac {(1+x)^{\frac 1x-1} [x-(1+x) \ln (1+x)]}{x^2} =- \frac e2;  </math>

și rezultă că seria este divergentă.

== Bibliografie ==
* {{fr_icon}}Jean-Marie Duhamel, ''[http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1839_1_4_A17_0.pdf Nouvelle règle sur la convergence des séries]'', [[Journal de mathématiques pures et appliquées|''JMPA'']], vol. 4, 1839, p. 214-221
* {{de_icon}}[[Konrad Knopp]]: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7<br />
{{Ciot-matematică}}

[[Categorie:Serii matematice]]
[[Categorie:Criterii de convergență]]