Vizualizare sursă pentru „Compus de cinci tetraedre”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Compus de cinci tetraedre
| image_up = [[Fișier:Compound of five tetrahedra.png|200px]]
| type = [[compus poliedric uniform |compus poliedric regulat]]<br/>[[Compus de două tetraedre|UC<sub>04</sub>]] - '''UC<sub>05</sub>''' - [[Compus de zece tetraedre|UC<sub>06</sub>]]
| faces = 20
| edges = 30
| vertices = 20
| vertex_config = 3.3.3<ref name=bw>[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/ki.htm ki], bendwavy.org, accesat 2023-08-18</ref>
| face_config = V3.3.3
| schläfli =
| coxeter = {5,3}[5{3,3}]{3,5}<ref>Coxeter, ''Regular polytopes'', p. 50</ref>
| symmetry = <nowiki/>
* Compus: [[Simetrie icosaedrică |icosaedrică]] (''I''<sub></sub>)
* Constituenți: [[Simetrie tetraedrică#Simetrie_tetraedrică_chirală|tetraedrică chirală]] (''T'')
| surface_area =
| volume = &approx;0,589 {{mvar|a}}<sup>3</sup> &nbsp; ({{mvar|a}} = latura)
| dual = [[autodual]]
| properties = Constituenți: 5 [[tetraedru |tetraedre]]
| vertex_figure = Tetrahedron vertfig.svg
| net =
}}
În [[geometrie]] '''compusul de cinci tetraedre''' este unul dintre cei cinci [[Compus poliedric|compuși poliedrici]] regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o [[stelare]] a [[icosaedru]]lui, fie ca un [[compus poliedric|compus]]. Acest compus a fost descris pentru prima dată de [[Edmund Hess]] în 1876.

Poate fi considerat și o [[fațetare]] a unui [[dodecaedru]] regulat.

Are indicele de compus uniform UC<sub>05</sub> și indicele Wenninger 24.

== Compusul ==
Este un compus poliedric din cinci [[tetraedru |tetraedre]] și are [[simetrie icosaedrică#Poliedre_chirale |simetrie icosaedrică chirală]] ('''''I'''''). Este unul dintre cei cinci compuși regulații construiți din [[poliedru platonic |poliedre platonice]] identice.

Are aceeași [[Configurația vârfului |configurație a vârfurilor]] ca și dodecaedrul.

Există două forme [[chiralitate (matematică) |enantiomorfe]] (aceeași figură, dar cu chiralitate opusă) ale acestui poliedru compus. Ambele forme împreună creează reflexia simetrică [[compus de zece tetraedre]].

Are o [[densitate (politop) |densitate]] mai nare decât 1.

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
|[[Fișier:Spherical compound of five tetrahedra.png|160px]]<br/>Ca [[pavare sferică]]
|[[Fișier:CompoundOfFiveTetrahedra.png|160px]]<br/>Model transparent<br/>[[:image:CompoundOfFiveTetrahedra.gif|(animație)]]
|[[Fișier:Five tetrahedra.png|200px]]<br/>Cinci tetraedre intercalate
|}

== Mărimi asociate ==
=== Coordonate carteziene ===
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale [[vârf (geometrie) |vârfurilor]] acestui compus sunt date de: 
:<math>\left(\,\pm\frac{\sqrt2}{4},\, \pm\frac{\sqrt2}{4},\, \pm\frac{\sqrt2}{4}\,\right)</math>,
plus toate [[permutare |permutările]] lui:
:<math>\left(\,\pm\frac{\sqrt2+\sqrt{10}}{8},\, \pm\frac{\sqrt{10}-\sqrt2}{8},\, 0\,\right)</math>.

=== Volum ===
Următoarea formulă pentru [[volum]] {{mvar|V}} este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) {{mvar|a}}:
:<math>V = \frac{5\sqrt 2}{12}\,a^3 \approx 0,589256~a^3.</math>

==Ca stelare ==
Compusul de cinci tetraedre poate fi considerat o stelare a icosaedrului.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
![[Diagramă de stelare|Diagrama stelării]]!![[stelare |Nucleul stelării]]||[[Anvelopă convexă |Anvelopa convexă]]
|- valign=top
|[[Fișier:Compound of five tetrahedra stellation facets.svg|180px]]
|[[Fișier:Icosahedron.png|185px]]<br/>Icosaedru
|[[Fișier:Dodecahedron.png|200px]]<br/>dodecaedru
|}

[[Fișier:Chiroicosahedron-in-dodecahedron.png|thumb|Compusul de cinci tetraedre în dodecaedru]]
== Ca fațetare ==
Este o fațetare a dodecaedrului, cum se vede din imaginea alăturată.

== Teoria grupurilor ==
Compusul de cinci tetraedre este o ilustrare geometrică a noțiunilor de {{ill-wd| Q288465||orbite și stabilizatori}}, după cum urmează.

[[Grup de simetrie |Grupul de simetrie]] al compusului este [[simetrie icosaedrică |grupul icosaedric de rotație]] ''I'' de ordinul 60, în timp ce stabilizatorul unui singur tetraedru ales este [[simetrie tetraedrică |grupul tetraedric de rotație]] ''T'' de ordinul 12, iar spațiul orbitelor ''I''/''T'' (de ordinul 60/12&nbsp;=&nbsp;5) este identificat în mod natural cu cele 5 tetraedre – setul ''gT'' îi corespunde tetraedrului ''g''.

== O proprietate duală neobișnuită ==
[[Fișier:Second compound stellation of icosahedron.png|thumb|Compus de cinci tetraedre]]
Compusul este unul neobișnuit, prin aceea că [[poliedru dual |dualul]] său este enantiomorf cu cel inițial. Dacă fețele sunt răsucite la dreapta, atunci vârfurile sunt răsucite la stânga. La dual, fețele devin vârfuri răsucite la dreapta, iar vârfurile devin fețe răsucite la stânga, dând geamănul chiral. [[Figură geometrică |Figurile]] cu această proprietate sunt extrem de rare.

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | first=Magnus | last=Wenninger | authorlink=Magnus Wenninger | title=Polyhedron Models | publisher=Cambridge University Press | year=1974 | isbn=0-521-09859-9 }}
* {{en icon}} {{Cite book | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Du Val | first2=P. | last3=Flather | first3=H. T. | last4=Petrie | first4=J. F. | title=The Fifty-Nine Icosahedra | title-link=The Fifty-Nine Icosahedra | publisher=Tarquin | edition=3rd | isbn=978-1-899618-32-3 | mr=676126 | year=1999 | postscript=<!--None-->}} (1st Edn University of Toronto (1938))
* {{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]], ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}, 3.6 ''The five regular compounds'', pp.47-50, 6.2 ''Stellating the Platonic solids'', pp.96-104

== Vezi și  ==
* [[Compus poliedric uniform |Lista compușilor poliedrici uniformi]]
;Compuși regulați:
* [[Compus de două tetraedre]]
* [[Compus de zece tetraedre]]
* [[Compus de cinci cuburi]]
* [[Compus de cinci octaedre]]

;Compuși de tetraedre:
* [[Compus de două tetraedre]]
* [[Compus de trei tetraedre]]
* [[Compus de patru tetraedre]]
* [[Compus de șase tetraedre]]
* [[Compus de șase tetraedre cu libertate de rotație]]
* [[Compus de zece tetraedre]]
* [[Compus de douăsprezece tetraedre cu libertate de rotație]]

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Compound of five tetrahedra}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=Tetrahedron5-Compound|title=Tetrahedron 5-Compound}}
* {{en icon}} [http://bulatov.org/metal/five_tetrahedra.html Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound]
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20081119051953/http://www.interocitors.com/polyhedra/UCs/05__5_Tetrahedra.wrl VRML model]
* {{en icon}} [http://demonstrations.wolfram.com/CompoundsOf5And10Tetrahedra/ Compounds of 5 and 10 Tetrahedra] by Sándor Kabai, ''The Wolfram Demonstrations Project''.
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|../incmats/ki.htm|3D compound|}}
* {{en icon}} [http://www.polytope.net/hedrondude/regcomp3.htm Polyhedron Category C1: Compound Regulars: '''Ki''']
{{Portal|Matematică}}

{{Stelări ale icosaedrului}}

[[Categorie:Compuși poliedrici|tetraedre 5]]
[[Categorie:Poliedre stelate]]
[[Categorie:Poliedre chirale]]