Vizualizare sursă pentru „Caustică (matematică)”

{{altesensuri2|Caustică}}
[[Fișier:Circle_caustic.png|thumb|Caustică de [[reflexie  (matematică) |reflexie]] generată de un [[arc de cerc]] și un fascicul de raze paralele]]
În [[geometrie diferențială |geometria diferențială]], o '''caustică''' este {{ill-wd| Q1060372||înfășurătoarea}} unor [[dreaptă |drepte]], fie [[reflexie (matematică) |reflectate]], fie [[refracție |refractate]] de o [[varietate (geometrie) |varietate]] (''dirimantă'').<ref name=NA>N. Abramescu, [https://bcub.ro/lib2life/Lectiuni%20de%20geometrie%20pura_Abramescu%20Nicolae_Cluj_1930.pdf ''Lecțiuni de geometrie pură infinitezimală''], Editura Universității din Cluj, 1930, p.&nbsp;55</ref> Este legată de conceptul de {{ill-wd| Q1236244 |caustică (optică)|caustică}} din [[optică geometrică |optica geometrică]].<ref name=CG>Corina Gruescu, [http://mec.upt.ro/corina.gruescu/OT_lab_2012.pdf ''Optică tehnică. Aplicații''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230802060846/http://mec.upt.ro/corina.gruescu/OT_lab_2012.pdf |date=2023-08-02 }}, upt.ro, 2009, p.&nbsp;44, accesat 2023-05-16</ref> Sursa razelor poate fi un [[punct (geometrie) |punct]] (numit ''radiant'') sau raze paralele dintr-un [[punct de la infinit]], caz în care trebuie specificat un vector de direcție al razelor.

În general, mai ales aplicată la [[geometrie simplectică |geometria simplectică]] și {{ill-wd| Q4245771||teoria singularităților}}, o caustică este [[mulțime]]a valorilor critice ale unei aplicații lagrangiene {{nowrap|1=(''π'' ○ ''i'') : ''L'' ↪ ''M'' ↠ ''B'';}} unde  {{nowrap|1=''i'' : ''L'' ↪ ''M''}} este o [[mulțime simplectică#mapping lagrangian|imersiune lagrangiană]] a unei [[mulțime simplectică#Lagrangianul_și_alte_submulțimi |submulțimi lagrangiene]] ''L'' într-o [[mulțime simplectică]] ''M'', iar {{nowrap|1=''π'' :  ''M'' ↠ ''B''}}  este un [[mulțime simplectică#Fibratul_Lagrangian |fibrat lagrangian]] al mulțimii simplectice ''M''. Caustica este o [[submulțime]] a fibratului lagrangian ''B''.<ref name="Arnold">{{en icon}} {{Cite book|first=V. I.|last=Arnold|first2=A. N.|last2=Varchenko|first3=S. M.|last3=Gusein-Zade|authorlink1=Vladimir Arnold|title=The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1|publisher=Birkhäuser|year=1985|isbn=0-8176-3187-9}}</ref>

== Explicație ==
[[Fișier:Caustics.gif|thumb|Razele refractate de o suprafață care nu este plană formează caustice unde multe dintre ele se intersectează]]
Concentrarea luminii, în special [[lumină solară |a Soarelui]], poate arde. Cuvântul ''caustic'' provine din {{gr|καυστός}} (= fierbinte), prin {{la|causticus}}.

O situație comună în care causticele sunt vizibile este la lumina dintr-un pahar de băut. Sticla aruncă o umbră, dar produce și o regiune curbă de lumină strălucitoare. În circumstanțe ideale (inclusiv raze perfect paralele, ca de la o sursă punctuală aflată la infinit), poate fi produsă o zonă de lumină în formă de {{ill-wd| Q1918011||nefroidă}}.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|urlname=CircleCatacaustic.html |title=Circle Catacaustic}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|url=https://sinews.siam.org/Details-Page/focusing-on-nephroids|title=Focusing on Nephroids|last=Levi|first=Mark|date=2018-04-02|website=SIAM News|access-date=2018-06-01|archive-date=2023-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20230627231225/https://sinews.siam.org/Details-Page/focusing-on-nephroids|dead-url=yes}}</ref> Causticele ondulate se formează de obicei atunci când lumina strălucește prin valuri de pe apă.

O altă caustică familiară este [[curcubeu]]l.<ref>{{en icon}} [http://atoptics.co.uk/fz552.htm Rainbow caustics]</ref><ref>{{en icon}} [http://atoptics.co.uk/fz564.htm Caustic fringes]</ref> Împrăștierea luminii prin picăturile de ploaie face ca diferitele [[Lungime de undă|lungimi de undă]] ale luminii să se refracte diferit pe arcele din picături, producând curcubeul.

== Catacaustică ==
O '''catacaustică''' este produsă prin reflexie.

Pentru razele care pleacă dintr-un punct radiant, este [[evolută |evoluta]] [[podară |podarei]] radiantului.

Cazul planar cu raze paralele: se presupune că vectorul direcție este <math>(a,b)</math> și curba care reflectă este parametrizată ca <math>(u(t),v(t))</math>. Vectorul normal într-un punct este <math>(-v'(t),u'(t))</math>; reflectarea vectorului de direcție este (normal necesită o normalizare particulară)
:<math>2\mbox{proj}_nd-d=\frac{2n}{\sqrt{n\cdot n}}\frac{n\cdot d}{\sqrt{n\cdot n}}-d=2n\frac{n\cdot d}{n\cdot n}-d=\frac{
(av'^2-2bu'v'-au'^2,bu'^2-2au'v'-bv'^2)
}{v'^2+u'^2}</math>
Având componentele vectorului reflectat, el va fi tratat drept tangentă
:<math>(x-u)(bu'^2-2au'v'-bv'^2)=(y-v)(av'^2-2bu'v'-au'^2).</math>

Din cea mai simplă formulă a înfășurătoarei se obține
:<math>F(x,y,t)=(x-u)(bu'^2-2au'v'-bv'^2)-(y-v)(av'^2-2bu'v'-au'^2)</math> 
:::<math>=x(bu'^2-2au'v'-bv'^2)
-y(av'^2-2bu'v'-au'^2)
+b(uv'^2-uu'^2-2vu'v')
+a(-vu'^2+vv'^2+2uu'v')</math>
:<math>F_t(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')
-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')</math>
:::<math>+b( u'v'^2 +2uv'v'' -u'^3 -2uu'u'' -2u'v'^2 -2u''vv' -2u'vv'')
+a(-v'u'^2 -2vu'u'' +v'^3 +2vv'v'' +2v'u'^2 +2v''uu' +2v'uu'')</math>
care poate fi inestetic, dar <math>F=F_t=0</math> dă un {{ill-wd| Q1072174||sistem liniar}} în <math>(x,y)</math> și obținerea unei parametrizări a catacausticei este elementară. Se poate folosi {{ill-wd| Q322666||regula lui Cramer}}.

=== Exemplu ===
Fie vectorul direcției (0,1) și curba care reflectă <math>(t,t^2).</math>
Atunci
:<math>u'=1</math> &nbsp; <math>u''=0</math> &nbsp; <math>v'=2t</math> &nbsp; <math>v''=2</math> &nbsp; <math>a=0</math> &nbsp; <math>b=1</math>
:<math>F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^2)+4t(y-t^2)=x(1-4t^2)+4ty-t</math>
:<math>F_t(x,y,t)=-8tx+4y-1</math>
iar <math>F=F_t=0</math> are soluția <math>(0,1/4).</math>; De exemplu, lumina care intră întru-n reflector [[parabolă |parabolic]] de-a lungul axei sale este reflectată în [[focar (matematică) |focar]].

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{MathWorld|title=Caustic|urlname=Caustic}}

[[Categorie:Geometrie diferențială]]
[[Categorie:Curbe plane]]