Vizualizare sursă pentru „Cât”

{{Short description|Mathematical result of division}}
{{Other uses}}{{See also|Împărțire (matematică)|Fracție|Raport}}[[Fișier:Divide12by3.svg|alt=12 apples divided into 4 groups of 3 each.|miniatura|Câtul împărțirii a 12 mere în 3 este 4.]]

În [[aritmetică]], '''câtul''' este o cantitate produsă prin [[Împărțire (matematică)|împărțirea]] a două numere. Câtul este adesea folosit în matematică și poate fi poate fi considerat ca partea întreagă a unei împărțiri (în cazul împărțirii euclidiene). Spre exemplu, dacă împărțim <math>20</math> (numărătorul) la <math>3</math> (numitorul), '''cătul''' va fi <math>6</math> și [[Rest (matematică)|restul]] va fi <math>2</math>. Câtul este [[Raport|raportul]] dintre numărător și numitor.

== Notația ==
{{Main|Împărțire (matematică)}}

Câtul este cel mai des întâlnit ca două numere, sau două variabile, separate printr-o linie orizontală. Cuvintele "numărător" și "numitor" se referă la parțile individuale, în timp ce câtul se referă la total.<math display="block">
\dfrac{1}{2} \quad
\begin{align} 
& \leftarrow \text{deîmpărțit  sau  numărător} \\ 
& \leftarrow \text{împărțitor  sau  numitor} 
\end{align}
\Biggr \} \leftarrow \text{câtul}
</math>

== Definiția părții întregi ==
Câtul mai este definit și ca cel mai mare număr întreg care înmulțit cu un numitor poate fi scăzut din numărător fara a obține un rest negativ. Spre exemplu, numitorul <math>3</math> poate fi scăzut de <math>6</math> ori din numărătorul <math>20</math> fără ca restul scăderii să devină negativ.
: <math>20-3-3-3-3-3-3 \geq 0</math>,

pe când
: <math>20-3-3-3-3-3-3-3 < 0</math>.

În acest sens, câtul este partea întreagă a raportului a două numere.

== Câtul a două numere întregi ==
{{Main|Numere raționale}}

Un [[număr rațional]] poate fi definit ca câtul a doua numere întregi (cât timp numitorul este diferit de zero).

O definiție mai detaliată este următoarea:<ref>{{Cite book|title=Discrete mathematics with applications|last=Epp|first=Susanna S.|date=2011-01-01|publisher=Brooks/Cole|isbn=9780495391326|oclc=970542319|pages=163}}</ref>

: Un număr real <math>r</math> este rațional, dacă și numai dacă poate fi exprimat ca un cât a două numere întregi cu numitorul diferit de zero. Un număr real care nu este rațional este irațional.

Sau mai formal: 

: Dat fiind un număr real <math>r</math>, <math>r</math> este rațional dacă și numai dacă există numerele întregi <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>r = \frac a b</math> și  <math>b \neq 0</math>.

Existența numerelor iraționale—numere care nu sunt câtul a doi întregi—a fost descoperită în geometrie, în lucruri precum raportul dintre diagonala și latura unui pătrat.<ref>{{Cite web|url=https://www.math.utah.edu/~pa/math/q1.html|title=Irrationality of the square root of 2.|access-date=2020-08-27|website=www.math.utah.edu|archive-date=2023-06-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20230605084213/http://www.math.utah.edu/~pa/math/q1.html|dead-url=yes}}</ref>

== Câturile mai generale ==
În afara aritmeticii, multe ramuri ale matematicii au împrumutat cuvântul "cât" pentru a descrie structuri construite prin spargerea unor structuri mai mari în bucăți. Dată fiind o mulțime cu o relație de echivalență, o mulțime a câturilor poate fi creată care să conțina acele clase de echivalență ca elemente. Un spațiu al câturilor poate fi format prin spargerea unui spațiu vectorial într-un număr de subspații liniare similare.

== Vezi și ==

* [[Înmulțire (matematică)]]
* [[Împărțire (matematică)]]
* [[Inel (matematică)]]
* [[Mulțime]]
* [[Categorie (matematică)]]

== References ==
{{Reflist}}

{{Authority control}}
[[Categorie:Numere reale]]
[[Categorie:Împărțire (matematică)]]