Vizualizare sursă pentru „8-cub”

În [[geometrie]], un '''8-cub''' este un [[hipercub]] cu opt [[Dimensiune|dimensiuni]], având 256 de [[Vârf (geometrie)|vârfuri]], 1024 [[Latură (geometrie)|de laturi]], 1792 [[Față (geometrie)|de fețe]] pătrate, 1792 [[Față (geometrie)|de celule]] cubice, 1120 fețe [[tesseract|tesseractice]] ([[Față (geometrie)|cvadridimensionale]]), 448 fețe {{Ill-wd|Q768387|3=5-cubice}} ([[Față (geometrie)|pentadimensionale]]), 112 fețe {{Ill-wd|Q2527813|3=6-cubice}} ([[Față (geometrie)|hexadimensionale]]) și 16 fețe [[7-cub|7-cubice]] ([[Față (geometrie)|heptadimensionale]]).

Este reprezentat prin [[Simbol Schläfli|simbolul Schläfli]] {4,3<sup>6</sup>}, fiind compus din 3 [[7-cub|7-cuburi]] în jurul fiecărei fețe de hexadimensionale. Poate fi numit și '''octeract''', un [[cuvânt telescopat]] din [[tesseract]] (''4-cub'') și ''oct'' pentru opt (dimensiuni) în [[Limba greacă|greacă]]. Poate fi, de asemenea, numit un '''hexdeca-8-tope''' regulat sau '''hexadecazetton''', fiind un {{Ill-wd|Q7885004|3=politop octadimensional}} construit din 16 [[Fațetă (geometrie)|fațete]] regulate.

Face parte dintr-o familie infinită de politopuri, numite [[Hipercub|hipercuburi]]. [[Poliedru dual|Dualul]] unui 8-cub poate fi numit {{Ill-wd|Q4644297|3=8-ortoplex}} și face parte din familia infinită a [[Ortoplex|ortoplexurilor]].

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene|Coordonatele carteziene]] pentru vârfurile unui 8-cub centrat la origine și cu lungimea laturii 2 sunt

: (±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1)

în timp ce interiorul acestuia este format din toate punctele (x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub>, x<sub>5</sub>, x<sub>6</sub>, x<sub>7</sub>) cu -1 < x <sub>i</sub> < 1.

== Configurație ==
[[4-politop regulat|Matricea]] configurației de mai jos reprezintă 8-cubul. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor, celulelor, fețelor de 4 dimensiuni, fețelor de 5 dimensiuni, fețelor de 6 dimensiuni și fețelor de 7 dimensiuni. Numerele de pe diagonală arată câte elemente din fiecare tip apar în întregul 8-cub. Numerele din afara diagonalei arată câte dintre elementele coloanei apar în sau la elementul rândului.

<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}
256 & 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8
\\ 2 & 1024 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7
\\ 4 & 4 & 1792 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6
\\ 8 & 12 & 6 & 1792 & 5 & 10 & 10 & 5
\\ 16 & 32 & 24 & 8 & 1120 & 4 & 6 & 4
\\ 32 & 80 & 80 & 40 & 10 & 448 & 3 & 3
\\ 64 & 192 & 240 & 160 & 60 & 12 & 112 & 2
\\ 128 & 448 & 672 & 560 & 280 & 84 & 14 & 16
\end{matrix}\end{bmatrix}</math>

Numerele diagonale ale [[combinatorică poliedrică|vectorului f]] sunt derivate prin [[construcția Wythoff]], împărțind ordinea completă a unui subgrup la ordinea subgrupului, prin îndepărtarea unui mirror pe rând. <ref>{{KlitzingPolytopes|../incmats/octo.htm|o3o3o3o3o3o3o4x - octo}}</ref>
{| class="wikitable"
!B<sub>8</sub>
!{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node_1}}
!față k
!f<sub>k</sub>
!f<sub>0</sub>
!f<sub>1</sub>
!f<sub>2</sub>
!f<sub>3</sub>
!f<sub>4</sub>
!f<sub>5</sub>
!f<sub>6</sub>
!f<sub>7</sub>
![[Figura vârfului|''figură k'']]
!note
|- align="right"
|A<sub>7</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|2|node_x}}
|( )
!f<sub>0</sub>
| bgcolor="#ffe0e0" |'''256'''
|8
|28
|56
|70
|56
|28
|8
|{{Ill-wd|Q4642895|3={3,3,3,3,3,3}}}
|B<sub>8</sub>/A<sub>7</sub> = 2^8*8!/8! = 256
|- align="right"
|A<sub>6</sub>A<sub>1</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|2|node_x|2|node_1}}
|{ }
!f<sub>1</sub>
|2
| bgcolor="#ffffe0" |'''1024'''
|7
|21
|35
|35
|21
|7
|{{Ill-wd|Q3492021|3={3,3,3,3,3}}}
|B<sub>8</sub>/A<sub>6</sub>A<sub>1</sub> = 2^8*8!/7!/2 = 1024
|- align="right"
|A<sub>5</sub>B<sub>2</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|3|node|3|node|3|node|2|node_x|2|node|4|node_1}}
|[[Pătrat|{4}]]
!f<sub>2</sub>
|4
|4
| bgcolor="#e0ffe0" |'''1792'''
|6
|15
|20
|15
|6
|{{Ill-wd|Q4639677|3={3,3,3,3}}}
|B<sub>8</sub>/A<sub>5</sub>B<sub>2</sub> = 2^8*8!/6!/4/2 = 1792
|- align="right"
|A<sub>4</sub>B<sub>3</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|3|node|3|node|2|node_x|2|node|3|node|4|node_1}}
|[[Cub|{4,3}]]
!f<sub>3</sub>
|8
|12
|6
| bgcolor="#e0ffff" |'''1792'''
|5
|10
|10
|5
|[[5-celule|{3,3,3}]]
|B<sub>8</sub>/A<sub>4</sub>B<sub>3</sub> = 2^8*8!/5!/8/3! = 1792
|- align="right"
|A<sub>3</sub>B<sub>4</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|3|node|2|node_x|2|node|3|node|3|node|4|node_1}}
|[[Tesseract|{4,3,3}]]
!f<sub>4</sub>
|16
|32
|24
|8
| bgcolor="#e0e0ff" |'''1120'''
|4
|6
|4
|[[Tetraedru|{3,3}]]
|B<sub>8</sub>/A<sub>3</sub>B<sub>4</sub> = 2^8*8!/4!/2^4/4! = 1120
|- align="right"
|A<sub>2</sub>B<sub>5</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|3|node|2|node_x|2|node|3|node|3|node|3|node|4|node_1}}
|{{Ill-wd|Q768387|3={4,3,3,3}}}
!f<sub>5</sub>
|32
|80
|80
|40
|10
| bgcolor="#ffe0ff" |'''448'''
|3
|3
|[[Triunghi|{3}]]
|B<sub>8</sub>/A<sub>2</sub>B<sub>5</sub> = 2^8*8!/3!/2^5/5! = 448
|- align="right"
|A<sub>1</sub>B<sub>6</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node|2|node_x|2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node_1}}
|{{Ill-wd|Q2527813|3={4,3,3,3,3}}}
!f<sub>6</sub>
|64
|192
|240
|160
|60
|12
| bgcolor="#ffe0e0" |'''112'''
|2
|{ }
|B<sub>8</sub>/A<sub>1</sub>B<sub>6</sub> = 2^8*8!/2/2^6/6!= 112
|- align="right"
|B<sub>7</sub>
|{{Diagramă Coxeter–Dynkin|node_x||2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node_1}}
|[[7-cub|{4,3,3,3,3,3}]]
!f<sub>7</sub>
|128
|448
|672
|560
|280
|84
|14
| bgcolor="#ffffe0" |'''16'''
|( )
|B<sub>8</sub>/B<sub>7</sub> = 2^8*8!/2^7/7! = 16
|}
{{Clear}}

== Proiecții ==
{| class="wikitable" align="right" width="240"
|[[Fișier:8-cube_column_graph.svg|240x240px]]<br /><br /><br /><br />Acest grafic al 8-cubului este o [[proiecție|proiecție ortogonală]]. Această orientare arată coloane de vârfuri poziționate la o distanță vârf-latură-vârf de la un vârf pe partea stângă la un vârf pe partea dreaptă, iar laturile atașează coloane adiacente de vârfuri. Numărul de vârfuri din fiecare coloană reprezintă rânduri din [[triunghiul lui Pascal]], fiind 1:8:28:56:70:56:28:8:1.
|}

== Politopuri derivate ==
Aplicarea unei operații ''[[Alternare (geometrie)|de alternare]]'', ștergând vârfurile alternante ale octeractului, se creează un alt [[politop uniform]], numit ''{{Ill-wd|Q4644291|3=8-demicub}}'', (parte a unei familii infinite numite [[semihipercub|demihipercuburi]]), care are 16 fațete {{Ill-wd|Q4642884|3=demihepteractice}} și 128 de fațete de 8-simplex.

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]: 
** Coxeter, ''[[Politopuri regulate|Regular Polytopes]]'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
** '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
*** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
*** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
*** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
* {{KlitzingPolytopes|polyzetta.htm|8D uniform polytopes (polyzetta)|o3o3o3o3o3o3o4x - octo}}

== Legături externe ==
* {{MathWorld|title=Hypercube|urlname=Hypercube}}
* {{GlossaryForHyperspace|anchor=Measure|title=Measure polytope}}
* [http://tetraspace.alkaline.org/glossary.htm Multi-dimensional Glossary: hypercube] Garrett Jones

{{Politopuri}}
{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Politopuri]]