Vizualizare sursă pentru „4-politop regulat”

[[Fișier:Hypercube.svg|thumb|[[Tesseract]]ul este unul dintre cele 6 4-politopuri regulate convexe]]
În [[matematică]], un '''4-politop regulat''' este un [[4-politop |politop 4-dimensional]] [[politop regulat |regulat]]. Aceste [[politop]]uri sunt analoagele în patru dimensiuni ale [[Poliedru regulat |poliedrelor regulate]] din trei dimensiuni și ale [[poligon regulat |poligoanelor regulate]] din două dimensiuni.

4-politopurile regulate au fost descrise pentru prima dată de către [[matematician]]ul [[elveția]]n [[Ludwig Schläfli]] la mijlocul secolului al XIX-lea, deși setul complet nu a fost descoperit decât mai târziu.

Există șase astfel de [[politop convex |politopuri convexe]] și zece [[politop stelat |politopuri stelate]] regulate, în total șaisprezece.

== Istoric ==
4-politopurile convexe regulate au fost descrise pentru prima dată de către matematicianul Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. El a descoperit că sunt exact șase astfel de figuri. Schläfli a găsit, de asemenea, patru dintre 4-politopurile stelate regulate: [[marele 120-celule]], [[marele 120-celule stelat]], [[marele 600-celule]] și [[marele larg 120-celule stelat]]. El a omis restul de șase, deoarece nu a admis [[formă|formele]] care nu satisfac [[caracteristică Euler |caracteristica Euler]] pe [[celulă (geometrie) |celule]] sau [[figura vârfului]] (pentru toruri cu zero găuri: ''F''&nbsp;&minus;&nbsp;''E''&nbsp;+&nbsp;''V''&nbsp;=&nbsp;2). Aceasta exclude celulele și figurile vârfului pentru [[marele dodecaedru |{5,5/2}]] și [[micul dodecaedru stelat |{5/2,5}]].

[[Edmund Hess]] (1843–1903) a publicat lista completă în cartea sa din 1883 „Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder” (în {{ro|Introducere în teoria divizării bilelor cu o considerație specială asupra aplicării sale la teoria poliedrelor izoedrice și izogonale}}).

== Construcție ==
Existența unui 4-politop regulat <math>\{p,q,r\}</math> este constrânsă de existența poliedrelor regulate <math>\{p,q\}, \{q,r\}</math> care formează celulele sale și o constrângere dată de [[unghi diedru |unghiul diedru]]:
:<math>\sin\frac{\pi}p \sin\frac{\pi}r > \cos\frac{\pi}q</math>
pentru a se asigura că celulele se întâlnesc pentru a forma o 3-[[frontieră (topologie) |frontieră]] închisă. Cele șase politopuri convexe și zece stelate menționate sunt singurele soluții care satisfac aceste constrângeri.

Există patru [[simbol Schläfli |simboluri Schläfli]] {p,q,r} pentru 4-politopuri neconvexe care au celule valide {p,q} și figurile vârfului {q,r}, și satisfac condiția diedrică, dar nu pot produce figuri finite: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4} și {5/2,3,5/2}.

== 4-politopuri regulate convexe ==
4-politopurile regulate convexe sunt analoagele în patru dimensiuni ale [[poliedru platonic |poliedrelor platonice]] din trei dimensiuni și ale [[poligon regulat |poligoanelor regulate]] convexe din două dimensiuni.

Cinci din cele șase sunt în mod clar analoagele celor cinci poliedre platonice corespunzătoare. Al șaselea, [[24-celule]], nu are un analog regulat în trei dimensiuni. Însă există o pereche de poliedre neregulate, [[cuboctaedru]]l și dualul său, [[dodecaedru rombic |dodecaedrul rombic]], care sunt parțial analoage cu 24-celule (în moduri complementare). Împreună pot fi considerate ca analogul tridimensional al 24-celule.

Fiecare 4-politop convex regulat este delimitat de un set de 3 celule, care sunt toate poliedre platonice de același tip și dimensiune. Acestea sunt grupate împreună având fețele lor în contact în mod regulat.

=== Proprietăți ===
Următoarele tabele enumeră câteva proprietăți ale celor șase 4-politopuri convexe. [[Grup de simetrie |Grupurile de simetrie]] ale acestor 4-politopuri sunt toate [[grup Coxeter |grupuri Coxeter]] și sunt date în notația descrisă în acel articol. Numărul care urmează denumirii grupului este [[ordin de simetrie|ordinul]] grupului.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! Nume ||Imagine|| Familie || [[Simbol Schläfli |Schläfli]]<br/>[[Diagramă Coxeter |Coxeter]] || [[Vârf (geometrie)|V]] || [[Latură (geometrie)|L]] || [[Față (geometrie)|F]] || [[Celulă (geometrie)|C]] || [[Figura vârfului|Fig.<br/>vârf]] || [[Politop dual |Dual]]
!colspan=2 | [[Grup Coxeter|Grup de simetrie]]
|- BGCOLOR="#e0ffe0" 
| [[5-celule]]<br/>4-simplex|| [[Fișier:4-simplex t0.svg|105px]] || ''n''-[[simplex]]<br/>(familia A<sub>n</sub>) || {3,3,3}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}}|| 5 || 10 || 10<br/>[[triunghi|{3}]] || 5<br/>[[tetraedru|{3,3}]] || [[tetraedru|{3,3}]] || (autodual) || ''A''<sub>4</sub><br/>[3,3,3]|| 120
|- BGCOLOR="#ffe0e0" 
| [[16-celule]]<br/>4-ortoplex || [[Fișier:4-cube t3.svg|105px]]|| ''n''-[[ortoplex]]<br/>(familia B<sub>n</sub>) || {3,3,4}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}} || 8 || 24 || 32<br/>[[triunghi|{3}]] || 16<br/>[[tetraedru|{3,3}]] || [[octaedru|{3,4}]] || 8-celule || ''B''<sub>4</sub><br/>[4,3,3] || 384
|- BGCOLOR="#e0e0ff" 
| [[8-celule]]<br/>tesseract<br/>4-cub|| [[Fișier:4-cube t0.svg|105px]] || [[hipercub]]<br/>''n''-[[cub]]<br/>(familia B<sub>n</sub>) || {4,3,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}} || 16 || 32 || 24<br/>[[Pătrat|{4}]] || 8<br/>[[cub|{4,3}]] || [[tetraedru|{3,3}]] || 16-celule || ''B''<sub>4</sub><br/>[4,3,3] || 384
|- BGCOLOR="#e0ffe0"
| [[24-celule]]<br/>octaplex<br/>polioctaedru (pO)|| [[Fișier:24-cell t0 F4.svg|105px]] || familia F<sub>n</sub> || {3,4,3}<br/>{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}} || 24 || 96 || 96<br/>[[triunghi|{3}]] || 24<br/>[[octaedru|{3,4}]] || [[cub|{4,3}]] || (autodual) || ''F''<sub>4</sub><br/>[3,4,3] || 1152
|- BGCOLOR="#ffe0e0" 
| [[600-celule]]<br/>tetraplex<br/>politetraedru (pT)|| [[Fișier:600-cell graph H4.svg|105px]] ||''n''-[[politop pentagonal]]<br/>(familia H<sub>n</sub>) || {3,3,5}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}} || 120 || 720 || 1200<br/>[[triunghi|{3}]] || 600<br/>[[tetraedru|{3,3}]] || [[icosaedru regulat |{3,5}]] || 120-celule || ''H''<sub>4</sub><br/>[5,3,3] || 14400
|- BGCOLOR="#e0e0ff" 
| [[120-celule]]<br/>dodecaplex<br/>polidodecaedru (pD)|| [[Fișier:120-cell graph H4.svg|105px]]||''n''-[[politop]] pentagonal<br/>(familia H<sub>n</sub>) || {5,3,3}<br/>{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}} || 600 || 1200 || 720<br/>[[pentagon|{5}]] || 120<br/>[[dodecaedru regulat|{5,3}]] || [[tetraedru|{3,3}]] || 600-celule || ''H''<sub>4</sub><br/>[5,3,3] || 14400
|}

[[John Horton Conway |John Conway]] a susținut denumirile „simplex”, „ortoplex”, „tesseract”, „octaplex” sau „polioctaedru” (pO), „tetraplex” sau „politetraedru” (pT) și „dodecaplex” sau „polidodecaedru” (pD).<ref>{{harvnb|Conway|Burgiel|Goodman-Strauss|2008|loc=Ch. 26. Higher Still}}</ref>

[[Norman Johnson]] a susținut denumirile „''n''-celule”, „tesseract” și încă câteva denumiri întâlnite în literatura în limba engleză, ca ''polychoron'', bazate pe cuvintele din limba {{gr|πολύ}} (în {{ro|mult}}) și ''χώρος'' (în {{ro|spațiu}}),<ref>{{en icon}} [https://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005]</ref><ref>{{en icon}} {{cite book |first=Norman W. |last=Johnson |title=Geometries and Transformations |chapter-url=https://books.google.com/books?id=adBVDwAAQBAJ&pg=PA246 |date=2018 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-10340-5 |pages=246– |chapter=§ 11.5 Spherical Coxeter groups}}</ref> însă în limba română traducerea lui „''choros''” drept sufix „''-cor''”<ref>[https://dexonline.ro/intrare/cor/210631 ''-cor''], dexonline.ro, accesat 2021-03-30</ref> nu este folosită în matematică.

Caracteristica Euler pentru toate 4-politopurile este zero, analogul 4-dimensional al formulei poliedrice a lui Euler este:
:<math>N_0 - N_1 + N_2 - N_3 = 0\,</math>
unde ''N''<sub>''k''</sub> indică numărul de ''k''-fețe din politop (un vârf este o 0-față, o latură este o 1-față etc.). Aceast aspect este caracteristic politopurilor cu un număr par de dimensiuni și este evidențiat simplu de [[dualitate (matematică) |dualitate]]. 

Topologia oricărui 4-politop este definită de [[număr Betti |numerele Betti]] și [[coeficient de torsiune (topologie) |coeficienții de torsiune]].<ref name="richeson">{{en icon}} {{cite book |first=David S. |last=Richeson |title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology |url=https://books.google.com/books?id=zyIRIcRSNwsC |date=2012 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-15457-2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=zyIRIcRSNwsC&pg=PA253 |chapter=23. Henri Poincaré and the Ascendancy of Topology |pages=256–}}</ref>

=== Configurații descriptive ===
Un 4-politop regulat poate fi complet descris de o [[Configurație (politop) |matrice de configurație]] care conține numărul elementelor sale componente. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonala principală (din stânga sus în dreapta jos) arată câte din fiecare tip de element apar în întregul 4-politop. Celelalte numere arată câte elemente ale coloanei apar pentru sau la elementul rândului. De exemplu în orice 4-politop regulat există 2 vârfuri "pentru" fiecare latură (fiecare latură "are" 2 capete) iar 2 celule se întâlnesc "la" fiecare față (fiecare față "aparține" de 2 celule). Se observă că configurația politopului dual poate fi obținută prin rotirea matricei cu 180°.<ref>{{harvnb|Coxeter|1973|loc=§ 1.8 Configurations}}</ref><ref>Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.117</ref>
{| class=wikitable style="text-align:center;"
![[5-celule]]<br/>{3,3,3}
![[16-celule]]<br/>{3,3,4}
![[tesseract]]<br/>{4,3,3}
![[24-celule]]<br/>{3,4,3}
![[600-celule]]<br/>{3,3,5}
![[120-celule]]<br/>{5,3,3}
|-
|bgcolor="#e0ffe0"|<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}5 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 10 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 10 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 5 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>
|bgcolor="#FFe0e0"|<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}8 & 6 & 12 & 8 \\ 2 & 24 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 32 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 16 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>
|bgcolor="#e0e0ff"|<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>
|bgcolor="#e0ffe0"|<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}24 & 8 & 12 & 6 \\ 2 & 96 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 96 & 2 \\ 6 & 12 & 8 & 24 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>
|bgcolor="#ffe0e0"|<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}120 & 12 & 30 & 20 \\ 2 & 720 & 5 & 5 \\ 3 & 3 & 1200 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 600 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>
|bgcolor="#e0e0ff"|<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}600 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 1200 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & 720 & 2 \\ 20 & 30 & 12 & 120 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>
|}

=== Vizualizare ===
Tabelul următor prezintă câteva proiecții bidimensionale ale acestor 4 politopuri. Diverse alte vizualizări pot fi găsite în legăturile externe de mai jos. Diagramele Coxeter–Dynkin sunt și ele date sub simbolul Schläfli.
{| class="wikitable" width=720 style="text-align:center;" 
|-
! A<sub>4</sub> = [3,3,3] ||colspan=2| B<sub>4</sub> = [4,3,3] || F<sub>4</sub> = [3,4,3] ||colspan=2| H<sub>4</sub> = [5,3,3]
|-
! [[5-celule]] || [[Tesseract|8-celule]] || [[16-celule]] || [[24-celule]] || [[120-celule]] || [[600-celule]]
|-
! {3,3,3} || {4,3,3} || {3,3,4} || {3,4,3} || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
!{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
!{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}}
|-
|colspan=6|Poliedre 3D în [[proiecție ortogonală]]
|- valign=top
| [[Fișier:Tetrahedron.png|105px]]<br/>[[Tetraedru|Anvelopă<br/>tetraedrică]]<br />(centrată pe celulăl/vârf)
| [[Fișier:Hexahedron.png|105px]]<br/>[[Cub|Anvelopă<br/>cubică]]<br />(centrată pe celulă)
| [[Fișier:16-cell ortho cell-centered.png|105px]]<br/>[[Cub|Anvelopă<br/>cubică]]<br />(centrată pe celulă)
| [[Fișier:Ortho solid 24-cell.png|105px]]<br/>[[Cuboctaedru|Anvelopă<br/>cuboctaedrică]]<br />(centrată pe celulă)
| [[Fișier:Ortho solid 120-cell.png|105px]]<br/>[[Triacontaedru rombic trunchiat|Anvelopă<br/>triacontaedrică<br/>rombică trunchiată]]<br />(centrată pe celulă)
| [[Fișier:Ortho solid 600-cell.png|105px]]<br/>[[Icosidodecaedru pentakis|Anvelopă<br/>icosidodecaedrică<br/>pentakis]]<br />(centrată pe vârf)
|-
|colspan=6|[[Diagramă Schlegel |Diagrame Schlegel]] cadru de sârmă ([[proiecție (matematică) | proiecție centrală]])
|- valign=bottom
| [[Fișier:Schlegel wireframe 5-cell.png|105px]]<br/>centrată pe celulă
| [[Fișier:Schlegel wireframe 8-cell.png|105px]]<br/>centrată pe celulă
| [[Fișier:Schlegel wireframe 16-cell.png|105px]]<br/>centrată pe celulă
| [[Fișier:Schlegel wireframe 24-cell.png|105px]]<br/>centrată pe celulă
| [[Fișier:Schlegel wireframe 120-cell.png|105px]]<br/>centrată pe celulă
| [[Fișier:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|105px]]<br/>centrată pe vârf
|-
|colspan=6| [[Proiecție stereografică |Proiecții stereografice]] cadru de sârmă ([[3-sferă]])
|- valign=top
| [[Fișier:Stereographic polytope 5cell.png|105px]]
| [[Fișier:Stereographic polytope 8cell.png|105px]]
| [[Fișier:Stereographic polytope 16cell.png|105px]]
| [[Fișier:Stereographic polytope 24cell.png|105px]]
| [[Fișier:Stereographic polytope 120cell.png|105px]]
| [[Fișier:Stereographic polytope 600cell.png|105px]]
|}

== 4-politopuri regulate stelate (Schläfli–Hess) ==
[[Fișier:Relationship among regular star polychora.png|300px|thumb|Figura arată relațiile dintre politopurile stelate cvadridimensionale; cele 2 forme convexe și 10 forme stelate pot fi văzute în 3D ca vârfurile unui cuboctaedru<ref>{{harvnb|Conway|Burgiel|Goodman-Strauss|2008|p=406, Fig 26.2}}</ref>]] 
[[Fișier:Relationship among regular star polychora-8.png|300px|thumb|Un subset de relații între 8 forme dintre 120-celule, polidodecaedru (pD). Cele trei operații {a,g,s} sunt comutabile, definind un cadru cubic; există 7 [[Densitate (geometrie) |densități]] văzute în poziționare verticală, cu 2 forme duale având aceeași densitate]]
'''4-politopurile Schläfli–Hess''' sunt setul complet de 10 [[politop stelat|'''politopuri stelate''']] [[Politop regulat |regulate]] [[spațiu cvadridimensional |cvadridimensionale]].<ref>Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f{&alpha;,&beta;,&gamma;)'' p. 122 2. ''The Schläfli-Hess polytopes''</ref> Ele sunt numite astfel în onoarea descoperitorilor lor, [[Ludwig Schläfli]] și [[Edmund Hess]]. Fiecare este reprezentat de un [[simbol Schläfli]] {''p'',''q'',''r''} în care unul dintre numere reprezintă o [[pentagramă]] (5/2). Astfel, acestea sunt analoage neconvexe regulate ale [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedrelor Kepler–Poinsot]], care sunt, la rândul lor, analoagele pentagramei.

=== Denumiri ===
Numele le-au fost date de John Conway, extinzând numele date de [[Arthur Cayley]] poliedrelor Kepler–Poinsot. Împreună cu „stelat” (în {{en|stellated}}) și „mare” (în {{en|great}}), a adaugat modificatorul „larg” (în {{en|grand}}). Conway a oferit aceste definiții operaționale:
# ''[[stelare]]'' (în {{en|stellation}}, simbol „s”)&nbsp;– înlocuiește laturile (muchiile) cu altele mai lungi care sunt pe aceleași drepte. (Exemplu: un [[pentagon]] stelează într-o [[pentagramă]])
# ''mărire'' (în {{en|greatening}}, simbol „g”)&nbsp;– înlocuiește fețele cu altele mai mari care sunt în aceleași plane. (Exemplu: un [[icosaedru regulat |icosaedru]] se mărește în [[marele icosaedru]])
# ''lărgire'' (în {{en|aggrandizement}}, simbol „a”)&nbsp;– înlocuiește celulele cu celule mai mari în aceleași 3-spații. (Exemplu: un [[600-celule]] se transformă în [[largul 600-celule]])

John Conway denumește cele 10 forme ale 4-politopurilor cu 3 forme de celule regulate: pT&nbsp;=&nbsp;politetraedru {3,3,5} (600-celule teraedrice), pI&nbsp;=&nbsp;poliicosaedru {3,5,5/2} (120-celule icosaedrice), respectiv pD&nbsp;=&nbsp;polidodecaedru {5,3,3} (120-celule dodecaedrice), cu prefixele ''g'', ''a'', și ''s'' pentru mare, larg și (în limba română sufix) stelat. Stelarea finală, ''marele larg polidodecaedru stelat'' conține toate acestea în ''gaspD''.

=== Simetrie ===
Toate cele zece 4-politopuri au simetrii [3,3,5] ([[grup Coxeter|H<sub>4</sub>]]). Ele sunt generate din cele 6 grafuri liniare asociate cu [[tetraedru Goursat |tetraedrul Goursat]]: [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] și [3,3,5/2].

Fiecare grup generează câte 2 4-poliedre stelate, cu excepția a două grupuri care sunt auto-duale, care generează doar câte unul. Deci între cele zece 4-politopuri stelate regulate există 4 perechi duale și 2 forme autoduale.

=== Proprietăți ===
De reținut:
* Există 2 [[aranjamentul vârfurilor |aranjamente ale vârfurilor]] unice, care se potrivesc cu cele ale [[120-celule]] și [[600-celule]].
* Există 4 [[aranjamentul laturilor |aranjamente ale laturilor]] unice, care sunt afișate ca proiecții ortogonale ale cadrelor de sârmă.
* Există 7 [[aranjamentul fețelor |aranjamente ale fețelor]] unice, care sunt prezentate ca proiecții ortografice colorate pe fețe.

Celulele (poliedre), fețele lor (poligoane), figurile laturilor și ale vârfurilor sunt identificate prin simbolurile Schläfli ale acestora.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Nume<br/>Conway (abrev.)
! Proiecție<br/>ortogonală
! [[Simbol Schläfli |Schläfli]]<br/>[[Diagramă Coxeter–Dynkin |Coxeter]]
! [[Celulă (geometrie)|C]]<br/>{p, q}
! [[Față (geometrie)|F]]<br/>{p}
! [[Latură (geometrie)|L]]<br/>{r}
! [[Vârf (geometrie)|V]]<br/>{q, r}
![[densitate (politop)|Dens.]]
! [[caracteristică Euler |χ]]
|- BGCOLOR="#e0e0ff" 
| [[120-celule icosaedric]]<br/>poliicosaedru (pI)
| [[Fișier:ortho solid 007-uniform polychoron 35p-t0.png|75px]]
| {3,5,5/2}<br/>{{CDD|node_1|3|node|5|node|5|rat|d2|node}}
| 120<br/>[[icosaedru regulat |{3,5}]]<br/>[[Fișier:Icosahedron.png|25px]]
| 1200<br/>[[Triunghi|{3}]]<br/>[[Fișier:Regular triangle.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2]]}<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 120<br/>[[Marele dodecaedru|{5,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great dodecahedron.png|25px]]
| 4
| 480
|- BGCOLOR="#ffe0e0" 
| [[Micul 120-celule stelat]]<br/>polidodecaedru stelat (spD)
| [[Fișier:ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png|75px]]
| {5/2,5,3}<br/>{{CDD|node|3|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
| 120<br/>[[Micul dodecaedru stelat |{5/2,5}]]<br/>[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 1200<br/>[[Triunghi|{3}]]<br/>[[Fișier:Regular triangle.svg|25px]]
| 120<br/>[[Dodecaedru|{5,3}]]<br/>[[Fișier:Dodecahedron.png|25px]]
| 4
| &minus;480
|- BGCOLOR="#e0ffe0" 
| [[Marele 120-celule]]<br/>marele polidodecaedru (gpD)
| [[Fișier:ortho solid 008-uniform polychoron 5p5-t0.png|75px]]
| {5,5/2,5}<br/>{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node|5|node}}
| 120<br/>[[Marele dodecaedru|{5,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagon|{5}]]<br/>[[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagon|{5}]]<br/>[[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| 120<br/>[[Micul dodecaedru stelat |{5/2,5}]]<br/>[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 6
| 0
|- BGCOLOR="#e0e0ff" 
| [[Largul 120-celule]]<br/>largul polidodecaedru (apD)
| [[Fișier:ortho solid 009-uniform polychoron 53p-t0.png|75px]]
| {5,3,5/2}<br/>{{CDD|node_1|5|node|3|node|5|rat|d2|node}}
| 120<br/>[[Dodecaedru|{5,3}]]<br/>[[Fișier:Dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagon|{5}]]<br/>[[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 120<br/>[[Marele icosaedru|{3,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great icosahedron.png|25px]]
| 20
| 0
|- BGCOLOR="#ffe0e0" 
| [[Marele 120-celule stelat]]<br/>marele polidodecaedru stelat (gspD)
| [[Fișier:ortho solid 012-uniform polychoron p35-t0.png|75px]]
| {5/2,3,5}<br/>{{CDD|node|5|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
| 120<br/>[[Marele dodecaedru stelat |{5/2,3}]]<br/>[[Fișier:Great stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagon|{5}]]<br/>[[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| 120<br/>[[Icosaedru regulat |{3,5}]]<br/>[[Fișier:Icosahedron.png|25px]]
| 20
| 0
|- BGCOLOR="#e0ffe0" 
| [[Largul 120-celule stelat]]<br/>largul polidodecaedru stelat (aspD)
| [[Fișier:ortho solid 013-uniform polychoron p5p-t0.png|75px]]
| {5/2,5,5/2}<br/>{{CDD|node_1|5|rat|d2|node|5|node|5|rat|d2|node}}
| 120<br/>[[Micul dodecaedru stelat |{5/2,5}]]<br/>[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 120<br/>[[Marele dodecaedru|{5,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great dodecahedron.png|25px]]
| 66
| 0
|- BGCOLOR="#e0e0ff" 
| [[Marele larg 120-celule]]<br/>marele larg polidodecaedru (gapD)
| [[Fișier:ortho solid 011-uniform polychoron 53p-t0.png|75px]]
| {5,5/2,3}<br/>{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node|3|node}}
| 120<br/>[[Marele dodecaedru|{5,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagon|{5}]]<br/>[[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| 1200<br/>[[Triunghi|{3}]]<br/>[[Fișier:Regular triangle.svg|25px]]
| 120<br/>[[Marele dodecaedru stelat |{5/2,3}]]<br/>[[Fișier:Great stellated dodecahedron.png|25px]]
| 76
| &minus;480
|- BGCOLOR="#ffe0e0" 
| [[Marele 120-celule icosaedric]]<br/>marele poliicosaedru (gpI)
| [[Fișier:ortho solid 014-uniform polychoron 3p5-t0.png|75px]]
| {3,5/2,5}<br/>{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node|3|node_1}}
| 120<br/>[[Marele icosaedru|{3,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great icosahedron.png|25px]]
| 1200<br/>[[Triunghi|{3}]]<br/>[[Fișier:Regular triangle.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagon|{5}]]<br/>[[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| 120<br/>[[Micul dodecaedru stelat |{5/2,5}]]<br/>[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 76
| 480
|- BGCOLOR="#e0e0ff" 
| [[Largul 600-celule]]<br/>largul politetraedru (apT)
| [[Fișier:ortho solid 015-uniform polychoron 33p-t0.png|75px]]
| {3,3,5/2}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|rat|d2|node}}
| 600<br/>[[Tetraedru|{3,3}]]<br/>[[Fișier:Tetrahedron.png|25px]]
| 1200<br/>[[Triunghi|{3}]]<br/>[[Fișier:Regular triangle.svg|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 120<br/>[[Marele icosaedru|{3,5/2}]]<br/>[[Fișier:Great icosahedron.png|25px]]
| 191
| 0
|- BGCOLOR="#ffe0e0" 
| [[Marele larg 120-celule stelat]]<br/>marele larg polidodecaedru stelat (gaspD)<!--<br/>(gogishi)-->
| [[Fișier:ortho solid 016-uniform polychoron p33-t0.png|75px]]
| {5/2,3,3}<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
| 120<br/>[[Marele dodecaedru stelat |{5/2,3}]]<br/>[[Fișier:Great stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br/>[[Pentagramă|{5/2}]]<br/>[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|25px]]
| 1200<br/>[[Triunghi|{3}]]<br/>[[Fișier:Regular triangle.svg|25px]]
| 600<br/>[[Tetraedru|{3,3}]]<br/>[[Fișier:Tetrahedron.png|25px]]
| 191
| 0
|}

== 4-politopuri infinite ==
Se cunosc următoarele 4-politopuri infinite regulate:
* un [[fagure (geometrie) |fagure]] euclidian regulat: {4,3,4};
* patru [[fagure hiperbolic |faguri hiperbolici]] regulați compacți: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} și {5,3,5};
* unsprezece faguri hiperbolici regulați paracompacți: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} și {6,3,6}.

== 4-politopuri abstracte ==
Se cunosc următoarele 4-politopuri abstracte regulate:
* [[11-celule]] {3,5,3};
* [[57-celule]] {5,3,5}.

== Note ==
{{listănote|25em}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book |author-link=Coxeter |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Introduction to Geometry |publisher=Wiley |edition=2nd |year=1969 |isbn=0-471-50458-0 }}
* {{en icon}} {{cite book |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular Polytopes |edition=3rd |publisher=Dover |year=1973 |isbn=0-486-61480-8 }}
* {{en icon}} (Paper 10) {{cite journal |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) |journal=Elemente der Mathematik |volume=44 |issue=2 |pages=25–36 |year=1989 |url=https://eudml.org/doc/141447}}
* {{en icon}} {{cite book |author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular Complex Polytopes |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd |year=1991 |isbn=978-0-521-39490-1 }}
* {{en icon}} {{cite book ||author=D.M.Y. Sommerville |title=Introduction to the Geometry of '''n''' Dimensions |chapter-url=https://books.google.com/books?id=4vXDDwAAQBAJ&pg=PA161 |date=2020 |publisher=Courier Dover |isbn=978-0-486-84248-6 |pages=159–192 |chapter=X. The Regular Polytopes |orig-year=1930}}
* {{en icon}} {{cite book |author-link=John Horton Conway |first1=John H. |last1=Conway |first2=Heidi |last2=Burgiel |first3=Chaim |last3=Goodman-Strauss |chapter=26. Regular Star-polytopes |title=The Symmetries of Things |year=2008 |isbn=978-1-56881-220-5 |pages=404–8 }}
* {{de icon}} {{cite web |author-link=Edmund Hess |first=Edmund  |last=Hess  |title=Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder |date=1883 |url=http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8623.0001.001}}
* {{de icon}} {{cite journal |author-link=Edmund Hess |first=Edmund |last=Hess |title=Uber die regulären Polytope höherer Art |journal=Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg |pages=31–57 |year=1885 }}
* {{en icon}} {{cite book |editor-first=F. Arthur |editor-last=Sherk |editor2-first=Peter |editor2-last=McMullen |editor3-first=Anthony C. |editor3-last=Thompson |editor4-first=Asia Ivic |editor4-last=Weiss |title=Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter |publisher=Wiley |year=1995 |isbn=978-0-471-01003-6 |url=https://archive.org/details/kaleidoscopessel0000coxe |url-access=registration }}
* {{en icon}} {{cite web |first1=Peter |last1=McMullen |first2=Egon |last2=Schulte |title=Abstract Regular Polytopes |date=2002 |url=http://assets.cambridge.org/052181/4960/sample/0521814960ws.pdf}}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Regular 4-polytopes|4-politopuri regulate}}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=RegularPolychoron | title=Regular polychoron }} 
* {{en icon}} [http://polytope.net/hedrondude/regulars.htm Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes]
* {{en icon}} [http://www.weimholt.com/andrew/polytope.shtml Regular 4D Polytope Foldouts] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717184828/http://weimholt.com/andrew/polytope.shtml |date=2011-07-17 }}
* {{en icon}} [http://www.math.cmu.edu/~fho/jenn/polytopes/index.html Catalog of Polytope Images] O colecție de proiecții stereografice a 4-politopurilor.
* {{en icon}} [http://www.math.cmu.edu/~fho/jenn/polytopes A Catalog of Uniform Polytopes]
* {{en icon}} [http://www.dimensions-math.org/ Dimensions] Un film de 2 ore despre a patra dimensiune (conține proiecții stereografice ale tuturor celor 4 politopuri regulate)
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Hecatonicosachoron | title=Hecatonicosachoron}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Hexacosichoron | title= Hexacosichoron}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Stellation | title=Stellation}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Greatening | title=Greatening}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Aggrandizement | title=Aggrandizement}}
* {{de icon}} [https://web.archive.org/web/20061107052613/http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Goette/sterne/ Reguläre Polytope]
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20070704012333/http://davidf.faricy.net/polyhedra/Star_Polychora.html The Regular Star Polychora]
* {{en icon}} [https://pages.uoregon.edu/koch/hypersolids/hypersolids.html Hypersolids]

{{Portal|Matematică}}
{{Politopuri}}

[[Categorie:4-politopuri]]