Teorema cosinusului pentru triunghiuri sferice

În trigonometria sferică, teorema cosinusului (numită și regula cosinusului pentru laturi) este o teoremă referitoare la unghiurile și laturile unui triunghi sferic, analoagă teoremei cosinusului din geometria plană.

Fișier:Sfera cu triunghi sferic.jpg

Triunghi sferic rezolvat cu ajutorul teoremei cosinusului.

Fiind dată o sferă de rază 1, un triunghi sferic pe suprafața sferei este definit de cercurile mari care conectează trei puncte A, B și C de pe sferă. Dacă lungimile laturilor triunghiului sferic sunt: a – de la B la C, b – de la A la C și c – de la A la B, iar unghiul opus laturii a este A, atunci teorema cosinusului pentru un triunghi sferic (pe care o vom demonstra mai jos) este dată de relația:

$\cos (a)=\cos (b)\cos (c)+\sin (b)\sin (c)\cos (A).$

care, prin permutări circulare se scrie și pentru celelalte două laturi:

$\cos (b)=\cos (a)\cos (c)+\sin (a)\sin (c)\cos (B).$

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)\cos (C).$

Deoarece sfera are raza egală cu 1, lungimile a, b și c sunt egale cu unghiurile (în radiani) subîntinse de aceste laturi față de centrul sferei (pentru sfere care au raza ≠ 1, unghiurile sunt date de distanțele a, b și c împărțite la rază).

Ca un caz special, pentru $A=\pi /2$ avem $\cos (A)=0$ și obținem analogul sferic al teoremei lui Pitagora:

$\cos (a)=\cos (b)\cos (c).$

O variație a teoremei cosinusului conduce la a doua teoremă a cosinusului pentru sferă, (numită și regula cosinusului pentru unghiuri) arătând că:

$\cos (A)=-\cos (B)\cos (C)+\sin (B)\sin (C)\cos (a)$

In care A și B sunt respectiv unghiurile din colțurile opuse laturilor a și b. Aceasta poate fi obținută prin considerarea triunghiului sferic dual celui dat.

Pentru triunghiuri sferice mici, adică unghiurile a, b și c sunt mici, teorema cosinusului pentru sferă este aproximativ egală cu cea a teoremei cosinusului din geometria plană:

$a^2\approx b^2+c^2-2bc\cos (A).$

Eroarea acestei aproximări poate fi obținută din dezvoltarea în serie Maclaurin pentru sinus și cosinus, și este de ordinul:

$O(a^4)+O(b^{3}c)+O(b{c}^3).$

Demonstrație

Fișier:Triunghi sferic.jpg

Triunghi sferic pentru demonstrarea teoremei cosinusului.

Fie triunghiul sferic ABC, O fiind centrul sferei de rază egală cu 1. Tangenta din punctul A la arcul AC întâlnește pe OC în E, iar tangenta din A la arcul AB întâlnește pe OB în D. Din această construcție rezultă că unghiul EAD este egal cu unghiul A din triunghiul sferic. De asemenea unghiul EOD dă măsura laturii a. Triunghiurile ADE și OED sunt plane și aplicând teorema lui Pitagora generalizată obținem:

$D{E}^2=A{D}^2+A{E}^2-2\cdot AD\cdot AE\cdot \cos (A)(1)$

$D{E}^2=O{D}^2+O{E}^2-2\cdot OD\cdot OE\cdot \cos (a)(2)$

Triunghiurile OAD și OAE sunt prin construcție dreptunghice și avem:

$O{D}^2=O{A}^2+A{D}^2$

$O{E}^2=O{A}^2+A{E}^2$

Substituind aceste relații în ecuația (2) și scăzând ecuația (1) din (2), obținem:

$0=2\cdot O{A}^2+2\cdot AD\cdot AE\cdot \cos (A)-2\cdot OD\cdot OE\cdot \cos (a)$

Împărțind cu $2\cdot OD\cdot OE$, obținem:

$\cos (a)=\frac{OA}{OE}\frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE}\frac{AD}{OD}\cdot \cos (A)$

Din care, în final, ținând cont că triunghiurile OAE și OAD sunt dreptunghice, obținem teorema cosinusului pentru triunghiuri sferice:

$\cos (a)=\cos (b)\cos (c)+\sin (b)\sin (c)\cos (A)$

care mai poate fi scrisă și sub forma:

$\cos (A)=\frac{\cos (a)-\cos (b)\cos (c)}{\sin (b)\sin (c)}$

Vezi și

• Teorema cosinusului hiperbolic
• Formula laturii pe jumătate