Rădăcină digitală

Rădăcina digitală (sau suma digitală repetată) a unui număr natural într-o bază de numerație dată este valoarea (cu o singură cifră) obținută printr-un proces iterativ de însumare a cifrelor, la fiecare iterație folosind rezultatul din iterația anterioară pentru a calcula suma cifrelor. Procesul continuă până se ajunge la un număr format dintr-o singură cifră.

Definiția formală

Fie $n$ un număr natural. În baza $b > 1$ , se definește suma cifrelor $F_{b} : ℕ \to ℕ$ în modul următor:

F_{b} (n) = \sum_{i = 0}^{k - 1} d_{i}

unde $k = ⌊ \log_{b} n ⌋ + 1$ este numărul de cifre ale numărului din baza $b$ , iar

d_{i} = \frac{n mod b^{i + 1} - n {mod b}^{i}}{b^{i}}

este valoarea fiecărei cifre a numărului. Un număr natural $n$ este rădăcina digitală dacă este un punct fix al $F_{b}$ , care apare dacă $F_{b} (n) = n$ .

Toate numerele naturale $n$ sunt rezultate intermediare pentru $F_{b}$ , indiferent de bază. Aceasta deoarece dacă $n \geq b$ , atunci

n = \sum_{i = 0}^{k - 1} d_{i} b^{i}

prin urmare

F_{b} (n) = \sum_{i = 0}^{k - 1} d_{i} < \sum_{i = 0}^{k - 1} d_{i} b^{i} = n

deoarece $b > 1$ . Dacă $n < b$ , atunci rezultatul este trivial:

F_{b} (n) = n

.

Prin urmare, singurele rădăcini digitale posibile sunt numerele naturale $0 \leq n < b$ și nu există alte ciclări decât punctele fixe ale $0 \leq n < b$ .

Exemplu

În baza 12, 8 este rădăcina digitală a numărului 3110₁₀ (din baza 10):

d_{0} = \frac{3110 mod 1 2^{0 + 1} - 3110 mod 1 2^{0}}{1 2^{0}} = \frac{3110 mod 12 - 3110 mod 1}{1} = \frac{2 - 0}{1} = \frac{2}{1} = 2

d_{1} = \frac{3110 mod 1 2^{1 + 1} - 3110 mod 1 2^{1}}{1 2^{1}} = \frac{3110 mod 144 - 3110 mod 1 2}{12} = \frac{86 - 2}{12} = \frac{84}{12} = 7

d_{2} = \frac{3110 mod 1 2^{2 + 1} - 3110 mod 1 2^{2}}{1 2^{2}} = \frac{3110 mod 1728 - 3110 mod 1 44}{144} = \frac{1382 - 86}{144} = \frac{1296}{144} = 9

d_{3} = \frac{3110 mod 1 2^{3 + 1} - 3110 mod 1 2^{3}}{1 2^{3}} = \frac{3110 mod 20736 - 3110 mod 1 728}{1728} = \frac{3110 - 1382}{1728} = \frac{1728}{1728} = 1

F_{12} (3110) = \sum_{i = 0}^{4 - 1} d_{i} = 2 + 7 + 9 + 1 = 19

Aceasta arată că 3110₁₀ = 1972₁₂. Acum, pentru $F_{12} (3110) = 19$

d_{0} = \frac{19 mod 1 2^{0 + 1} - 19 mod 1 2^{0}}{1 2^{0}} = \frac{19 mod 12 - 19 mod 1}{1} = \frac{7 - 0}{1} = \frac{7}{1} = 7

d_{1} = \frac{19 mod 1 2^{1 + 1} - 19 mod 1 2^{1}}{1 2^{1}} = \frac{19 mod 144 - 19 mod 1 2}{12} = \frac{19 - 7}{12} = \frac{12}{12} = 1

F_{12} (19) = \sum_{i = 0}^{2 - 1} d_{i} = 1 + 7 = 8

arată că 19₁₀ = 17₁₂. Deoarece 8₁₂ este un număr format dintr-o singură cifră,

F_{12} (8) = 8

.

Formule directe

Se poate defini rădăcina digitală direct pentru baza $b > 1$ ${dr}_{b} : ℕ \to ℕ$ în modul următor:

Formula de congruență

În baza $b$ formula este:

{dr}_{b} (n) = {\begin{matrix} 0 & if n = 0, \\ b - 1 & if n \neq 0, n \equiv 0 mod b - 1, \\ n m o d (b - 1) & if n \equiv̸ 0 mod b - 1 \end{matrix}

sau,

{dr}_{b} (n) = {\begin{matrix} 0 & if n = 0, \\ 1 + ((n - 1) m o d (b - 1)) & if n \neq 0 . \end{matrix}

În baza 10 secvența corespunzătoare este cea din Format:OEIS.

Rădăcina digitală este valoarea modulo $b - 1$ deoarece $b \equiv 1 mod b - 1,$ astfel că $b^{k} \equiv 1^{k} \equiv 1 mod b - 1,$ deci, indiferent de poziție, valoarea $n mod b - 1$ este aceeași — $a b^{2} \equiv a b \equiv a mod b - 1$ — motiv pentru care cifrele pot fi adăugate în mod semnificativ. Concret, pentru un număr din trei cifre $n = a_{1} b^{2} + a_{2} b^{1} + a_{3} b^{0}$

{dr}_{b} (n) \equiv a_{1} b^{2} + a_{2} b^{1} + a_{3} b^{0} \equiv a_{1} (1) + a_{2} (1) + a_{3} (1) \equiv (a_{1} + a_{2} + a_{3}) mod b - 1

.

Pentru a obține valoarea modulară față de alte numere $n$ , se pot lua sumele ponderate, caz în care ponderea celei de a k-a cifră corespunde valorii din $b^{k}$ modulo $n$ . În baza 10 acest lucru este cel mai simplu pentru 2, 5 și 10, unde cifrele mai mari dispar (din moment ce 2 și 5 sunt divizori ai lui 10), ceea ce corespunde faptului că divizibilitatea unui număr zecimal în raport cu 2, 5 și 10 poate fi verificată de ultima cifră (de exeplu numerele pare se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8).

De asemenea, este de remarcat modulul $n = b + 1$ : din moment ce $b \equiv - 1 mod b + 1,$ există $b^{2} \equiv (- 1)^{2} \equiv 1 (\mod b + 1),$ astfel $b^{2} \equiv (- 1)^{2} \equiv 1 (\mod b + 1),$ luând suma alternativă a cifrelor rezultă valoarea modulo $b + 1$ .

Folosind funcția „partea întreagă”

Ajută să fie considerată rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv ca poziția față de cel mai mare multiplu al $b - 1$ mai mic ca numărul propriu-zis. De exemplu, în baza 6 rădăcina digitală a lui 11₆ este 2, ceea ce înseamnă că 11₆ este al doilea număr după $6 - 1 = 5$ . La fel, în baza 10 rădăcina digitală a anului 2035 este 1, ceea ce înseamnă că $2035 - 1 = 2034 | 9$ . Dacă un număr produce o rădăcină digitală exact cât $b - 1$ , atunci numărul este un multiplu al $b - 1$ .

Având în vedere acest lucru, rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv $n$ poate fi definită folosind funcția „partea întreagă” $⌊ x ⌋$ drept

{dr}_{b} (n) = n - (b - 1) ⌊ \frac{n - 1}{b - 1} ⌋ .

Proprietăți

Rădăcina digitală a $a_{1} + a_{2}$ în baza $b$ este rădăcina digitală a sumei rădăcinii digitale a $a_{1}$ și a rădăcinii digitale a $a_{2}$ . Această proprietate poate fi utilizată ca un fel de sumă de control, pentru a verifica dacă o sumă a fost efectuată corect.

{dr}_{b} (a_{1} + a_{2}) = {dr}_{b} ({dr}_{b} (a_{1}) + {dr}_{b} (a_{2})) .

Rădăcina digitală a $a_{1} - a_{2}$ în baza $b$ este congruentă cu diferența dintre rădăcina digitală a $a_{1}$ și cea a $a_{2}$ modulo $b - 1$ .

{dr}_{b} (a_{1} - a_{2}) \equiv ({dr}_{b} (a_{1}) - {dr}_{b} (a_{2})) mod b - 1 .

Rădăcina digitală a $- n$ în baza $b$ este:

{dr}_{b} (- n) \equiv - {dr}_{b} (n) mod b - 1 .

Rădăcina digitală a produsului numerelor strict pozitive formate dintr-o singură cifră $a_{1} \cdot a_{2}$ în baza $b$ este dată de pătratul Vedic în baza $b$ .
Rădăcina digitală a $a_{1} \cdot a_{2}$ în baza $b$ este rădăcina digitală a produsului rădăcinilor digitale ale $a_{1}$ și $a_{2}$ .

{dr}_{b} (a_{1} a_{2}) = {dr}_{b} ({dr}_{b} (a_{1}) \cdot {dr}_{b} (a_{2})) .

Persistența aditivă

Persistența aditivă numără de câte ori trebuie efectuată suma cifrelor unui număr pentru a se ajunge la rădăcina sa digitală. De exemplu, persistența aditivă a numărului 2718 în baza 10 este 2: În primul pas se calculează $2 + 7 + 1 + 8 = 18,$ iar în al doilea $1 + 8 = 9 .$ .

Nu există vreo limită pentru persistența aditivă a numerelor dintr-o bază $b$ .

Demonstrație: Pentru un număr $n$ dat, persistența numărului format din $n$ repetări ale cifrei 1 este $n + 1$ . Cele mai mici numere cu persistență aditivă 0, 1, ... în baza 10 sunt:

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... ^[1]

Următorul număr din secvență (cel mai mic număr cu persistența aditivă 5) este 2 × 10^{2×(10²² − 1)/9} − 1 (adică 1 urmat de 2 222 222 222 222 222 222 222 cifre de 9). Pentru orice bază fixă, suma cifrelor unui număr este proporțională cu logaritmul său; prin urmare, persistența aditivă este proporțională cu logaritmul său iterat.^[2]

Exemplu de programare

Exemplul de mai jos implementează suma cifrelor descrisă în definiția de mai sus pentru a căuta rădăcini digitale și persistențe aditive în Python.

def digit_sum(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + (x % b)
        x = x // b
    return total

def digital_root(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return x

def additive_persistence(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return len(seen) - 1

Note

Bibliografie

Legături externe

Format:Portal

[1] Format:OEIS

[Meimaris-2] Format:Cite book

[1]

[2]

Rădăcină digitală

Cuprins

Definiția formală

Exemplu

Formule directe

Formula de congruență

Folosind funcția „partea întreagă”

Proprietăți

Persistența aditivă

Exemplu de programare

Note

Bibliografie

Legături externe

Meniu de navigare

Rădăcină digitală

Definiția formală

Exemplu

Formule directe

Formula de congruență

Folosind funcția „partea întreagă”

Proprietăți

Persistența aditivă

Exemplu de programare

Note

Bibliografie

Legături externe

Meniu de navigare

Căutare