Funcție în scară

Format:Problemearticol Vom considera pentru început funcții definite pe un interval deschis mărginit $I=(a,b)$ cu $a,b\in ℝ,a<b$.

Definiție. Funcția $s:(a,b)\to ℝ$ se zice funcție în scară (sau etajată) pe intervalul $I=(a,b)$, dacă există o diviziune

$(d)a=t_0<t_1<\cdots <t_{k-1}<t_k<\cdots <t_n=b$

a intervalului $I=(a,b)$ încât $f$ este constantă pe fiecare dintre intervalele $I_j=(t_{j-1},t_j),j=1,2,\cdots n.$

Să notăm cu $S_I$ mulțimea funcțiilor în scară pe intervalul $I$. Din definiția precedentă rezultă că dacă $s\in S_I$ atunci există $c_1,c_2,\cdots ,c_n\in ℝ$ încât

$s(t)=c_1{\varphi }_{I_1}(t)+c_2{\varphi }_{I_2}(t)+\cdots +c_n{\varphi }_{I_n}(t),\mathrm{\forall }t\in \bigcup _{j=1}^n{I}_j,$

unde ${\varphi }_{I_j}$ se notează funcția caracteristică a intervalului $I_j=(t_{j-1},t_j).$, adică funcția.

Remarcăm că în punctele $t_1,t_2,\cdots$, Tabela${}_{n-1}$ funcția s poate fi definită în mod arbitrar.

Remarcă. Din definiția de mai sus rezultă că orice funcție în scară este continuă Format:Ill-wd (căci mulțimea punctelor sale de discontinuitate este finită).

Definiție 2. Numărul real

$\underset{I}{\int }s(t)dt=\sum _{j=1}^n{c}_j(t_j-t_{j-1})$ se numește integrala Lebesque a funcției în scară $s$ pe intervalul $I=(a,b)$.

În continuare vom mai nota

$\underset{I}{\int }s(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}s(t)dt$

Exemplu. Funcția $sign:(-1,1)\to ℝ$ este o funcție în scară pe $I=(-1,1)$ și

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}signtdt=-1+1=0$

Facem notațiile : $s^{+}=\frac{s+|s|}{2},s^{-}\frac{|s|-s}{2},s_1\vee s_2=max\{s_1,s_2\},s_1\wedge s_2=min\{s_1,s_2\}$.

Teoremă. Dacă $s_1,s_2,s_3:I\to ℝ$ sunt funcții în scară pe $I=(a,b)$ și ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in ℝ$ atunci ${\alpha }_1{s}_1+{\alpha }_2{s}_2,|s_1|,s_1^{+},s_1^{-},s_1\vee s_2,s_1\wedge s_2\in S_I$ și

$(i)\underset{I}{\int }({\alpha }_1{s}_1+{\alpha }_2{s}_2)(t)dt={\alpha }_1\underset{I}{\int }{s}_1(t)dt+{\alpha }_2\underset{I}{\int }{s}_2(t)dt$;

$(ii)|\underset{I}{\int }s(t)dt|\le \underset{I}{\int }|s(t)|dt$;

$(iii)s_1\le s_{2}a.p.t\to \underset{I}{\int }{s}_1(t)dt\le \underset{I}{\int }{s}_2(t)dt$;

$(iv){\mathrm{\forall }}_c\in \to s\in S_{(}a,c)\bigcap S(c,b)$ și $\underset{I}{\int }s(t)dt=\underset{a}{\overset{c}{\int }}s(t)dt+\underset{c}{\overset{b}{\int }}s(t)dt$