Funcție Kelvin

În matematică, funcțiile Kelvin, notate Ber_ν(x) și Bei_ν(x), sunt partea reală și respectiv partea imaginară a funcției:

$J_{\nu }(x{e}^{3\pi i/4})$

unde x este real, iar $J_{\nu }(z)$ este funcția Bessel de prima speță și de ordinul ν.

Similar, funcțiile Ker_ν(x) și Kei_ν(x) sunt respectiv partea reală si partea imaginară a funcției:

$K_{\nu }(x{e}^{3\pi i/4})$

unde $K_{\nu }(z)$ este funcția Bessel modificată de speța a II-a și de ordinul ν.

Deși funcțiile Kelvin sunt definite ca parte reală si imaginară ale funcțiilor Bessel cu x real, ele pot fi prelungite analitic pentru argumente complexe x e^i φ, φ ∈ [0, 2π). Cu excepția funcțiilor Ber_n(x) și Bei_n(x) pentru n întreg, funcțiile Kelvin au un punct de ramificație în x = 0.

Ber(x)

Ber(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)/e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

Pentru n întreg, Ber_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

${\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\frac{\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]}{k!\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k$

unde $\mathrm{\Gamma }(z)$ este funcția Gamma.

Cazul special Ber${}_0(x)$, în mod normal notat cu Ber$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)=1+\sum _{k\ge 1}\frac{(-1{)}^k(x/2{)}^{4k}}{[(2k)!{]}^2}$

iar dezvoltarea asimptotică este

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)\sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2\pi x}}[f_1(x)\cos \alpha +g_1(x)\sin \alpha ]-\frac{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)}{\pi }$,

unde $\alpha =x/\sqrt{2}-\pi /8$, iar

$f_1(x)=1+\sum _{k\ge 1}\frac{\cos (k\pi /4)}{k!(8x{)}^k}\prod _{l=1}^k(2l-1{)}^2$

$g_1(x)=\sum _{k\ge 1}\frac{\sin (k\pi /4)}{k!(8x{)}^k}\prod _{l=1}^k(2l-1{)}^2$

Bei(x)

Bei(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)/e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

pentru $n$ întreg, Bei${}_n(x)$ are următoarea dezvoltare în serie:

${\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\frac{\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]}{k!\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k$

unde $\mathrm{\Gamma }(z)$ este funcția Gamma. Cazul special Bei${}_0(x)$, în mod normal notat cu Bei$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)=\sum _{k\ge 0}\frac{(-1{)}^k(x/2{)}^{4k+2}}{[(2k+1)!{]}^2}$

iar dezvoltarea asimptotică este:

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)\sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2\pi x}}[f_1(x)\sin \alpha +g_1(x)\cos \alpha ]-\frac{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)}{\pi }$,

unde $\alpha$, $f_1(x)$ și $g_1(x)$ sunt definite ca cele pentru Ber$(x)$.

Ker(x)

Pentru n întreg, Ker_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)& =\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k\\ & +\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k\\ & -\ln \left(\frac{x}{2}\right){\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)+\frac{\pi }{4}{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)\end{array}$

Ker(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

unde $\psi (z)$ este funcția Digamma.

Cazul special Ker${}_0(x)$, în mod normal notat cu Ker$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)=-\ln \left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)+\frac{\pi }{4}\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)+\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\frac{\psi (2k+1)}{[(2k)!{]}^2}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{2k}$

și dezvoltarea asimptotică:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)\sim \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{e}^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}[f_2(x)\cos \beta +g_2(x)\sin \beta ],$

unde $\beta =x/\sqrt{2}+\pi /8$, iar

$f_2(x)=1+\sum _{k\ge 1}(-1{)}^k\frac{\cos (k\pi /4)}{k!(8x{)}^k}\prod _{l=1}^k(2l-1{)}^2$

$g_2(x)=\sum _{k\ge 1}(-1{)}^k\frac{\sin (k\pi /4)}{k!(8x{)}^k}\prod _{l=1}^k(2l-1{)}^2.$

Kei(x)

Pentru n întreg, Kei_n(x) are dezvoltarea in serie:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)& =\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k\\ & +\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k\\ & -\ln \left(\frac{x}{2}\right){\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)-\frac{\pi }{4}{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)\end{array}$

Kei(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

unde $\psi (z)$ este funcția Digamma.

Cazul special Kei${}_0(x)$, în mod uzual notat cu Kei$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)=-\ln \left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)-\frac{\pi }{4}\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)+\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\frac{\psi (2k+2)}{[(2k+1)!{]}^2}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{2k+1}$

și dezvoltarea asimptotică:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)\sim -\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{e}^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}[f_2(x)\sin \beta +g_2(x)\cos \beta ],$

unde $\beta$, $f_2(x)$ și $g_2(x)$ sunt cele definite pentru Ker$(x)$.

Vezi și

• Funcție Bessel

Referențe

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 9.9.

Legături externe

• Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
• GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2] Format:Webarchive