Curbură

Curbura (din latină: curvatura, "îndoitură") unui obiect geometric este o măsură cantitativă ce exprimă proprietatea de a nu fi rectiliniu pentru orice punct al figurii respective.

Astfel, pentru o curbă, curbura într-un punct M al acesteia este limita raportului dintre unghiul $\mathrm{\Delta }\alpha$ format de tangentele la curbă în două puncte, M și M, când punctul M tinde către M:

$\frac{1}{\rho }=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}.$

Inversul curburii (ρ) se numește rază de curbură. Cercul de rază ρ, tangent curbei în M, situat spre concavitatea curbei, este cercul de curbură.

Pentru calculul curburii într-un punct al unei curbe plane, definite prin ecuațiile parametrice: $x=x(t),y=y(t),$ se utilizează formula:

$\frac{1}{\rho }=\frac{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}},$

formulă pe care Isaac Newton a descoperit-o în 1670.

Pentru o curbă plană definită prin $y=y(x):$

$\frac{1}{\rho }=\frac{y^{″}}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}.$

Pentru o curbă plană definită prin ecuația în coordonate polare $r=r(\theta ):$

$\frac{1}{\rho }=\frac{r^2+2r{\text{'}}^2-r{r}^{″}}{(r^2+r{\text{'}}^2{)}^{3/2}}.$

În cazul unei curbe strâmbe definite prin ecuațiile parametrice:

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$

curbura este dată de:

$\frac{1}{\rho }=\frac{[(y^{\prime }{z}^{″}-z^{\prime }{y}^{″}{)}^2+(z^{\prime }{x}^{″}-x^{\prime }{z}^{″}{)}^2+(x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}.$

Primul exemplu de curbă cu dublă curbură l-a furnizat Archytas.