Condiție la limită Robin

În matematică, o condiție la limită de tip Robin este impusă unei ecuații diferențiale ordinare sau unei ecuații cu derivate parțiale, astfel încât o combinație liniară dintre valorile și derivatele parțiale în direcție normală pe care soluția le ia de-a lungul limitei domeniului sunt fixe. În științe și inginerie, o condiție de limită Robin, numită astfel după Victor Gustave Robin, poate fi denumită și condiție la limită de tipul al treilea sau condiție la limită de tip Fourier. În anumite domenii, de exemplu în problemele de electromagnetism, condițiile la limită Robin mai sunt numite și condiții la limită de impedanță, iar în transmiterea căldurii condiții la limită convective/radiante.

Definiție

Condițiile la limită Robin sunt o combinație ponderată de condiții la limită Dirichlet și condiții la limită Neumann. Acest lucru diferă de condițiile la limită mixte, care sunt condiții la limită de diferite tipuri, impuse pe diferite părți ale frontierei.

Dacă Format:Math este domeniul pe care urmează să fie rezolvată ecuația dată și Format:Math este frontiera domeniului, condiția la limită Robin este:

$au+b\frac{\partial u}{\partial n}=g\text{pe }\partial \mathrm{\Omega }$

unde Format:Mvar și Format:Mvar sunt constante nenule, Format:Mvar este o funcție dată definită pe Format:Math Format:Mvar este soluția necunoscută definită pe Format:Math iar Format:Sfrac este derivata parțială normală pe frontieră. În general, Format:Mvar și Format:Mvar pot fi și funcții (date), nu doar constante.

În unidimensional, dacă, de exemplu, Format:Math condiția la limită Robin devine condițiile:

$\begin{array}{cc}au(0)-b{u}^{\prime }(0)& =g(0)\\ au(1)+b{u}^{\prime }(1)& =g(1)\end{array}$

De observat schimbarea semnului în fața termenului derivatei: asta pentru că normala la Format:Math în punctul Format:Math este în direcția negativă, în timp ce în punctul Format:Math este în direcția pozitivă.

Aplicații

Condițiile la limită Robin sunt utilizate curent în rezolvarea Format:Ill-wd care apar în multe contexte în știință și inginerie.

În plus, condiția la limită Robin este o formă generală a condiției la limită izolatoare pentru Format:Ill-wd. Pe frontieră suma fluxurilor convective și difuzive este nulă:

$u_x(0)c(0)-D\frac{\partial c(0)}{\partial x}=0$

unde Format:Mvar este coeficientul de difuzie, Format:Mvar este viteza convectivă la frontieră, iar Format:Mvar este concentrația masică sau molară. Termenul din membrul drept provine din a doua lege a lui Fick.

Bibliografie

• Format:En icon Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). The third boundary condition – was it Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, #1, 63–71.
• Format:En icon Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, #2, 47–53.
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Condiție la limită mixtă
• Condiție la limită Cauchy