Armonice solide

În fizică și matematică, armonicele solide sunt soluții ale ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Există două feluri de armonice solide:

• armonice solide regulate $R_{\ell }^m(𝐫)$, care tind către zero în origine
• armonice solide neregulate, care sunt singulare în origine.

Ambele seturi de funcții joacă un rol esențial în teoria potențialului, obținute prin rescalarea corespunzătoare a armonicelor sferice.

$R_{\ell }^m(𝐫)=r^{\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\varphi ).$

Derivări, legătura cu armonicele sferice

Introducând r, θ și φ pentru coordonatele sferice ale unui vector tridimensional r, putem scrie ecuația lui Laplace sub forma următoare:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=(\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r-\frac{L^2}{{\hslash }^2{r}^2})\mathrm{\Phi }(𝐫)=0,𝐫\ne \mathrm{𝟎},$

în care L² este pătratul operatorului momentului unghiular:

$𝐋=-i\hslash (𝐫\times \mathrm{\nabla }).$

Se cunoaște că armonicele sferice Y^m_l sunt funcții proprii ale lui L²:

$L^2{Y}_{\ell }^m\equiv [L_x^2+L_y^2+L_z^2]Y_{\ell }^m=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^m.$

Substituind Φ(r) = F(r) Y^m_l în ecuația lui Laplace, obținem următoarea ecuație radială și soluția ei generală:

$\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}rF(r)=\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}F(r)⟹F(r)=A{r}^{\ell }+B{r}^{-\ell -1}.$

Soluțiile particulare ale ecuației Laplace sunt armonice solide regulate:

$R_{\ell }^m(𝐫)\equiv \sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}{r}^{\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi ),$

și armonice solide neregulate:

$I_{\ell }^m(𝐫)\equiv \sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}\frac{Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )}{r^{\ell +1}}.$

Normalizarea lui Racah (cunoscută și ca seminormalizarea lui Schmidt) se aplică ambelor funcții:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi R_{\ell }^m(𝐫{)}^{*}{R}_{\ell }^m(𝐫)=\frac{4\pi }{2\ell +1}{r}^{2\ell }$

(și analog pentru armonicele solide neregulate). Se preferă această normalizare Racah deoarece în multe aplicații factorul normalizării apare neschimbat în toate derivările.

Teoremele de sumare

Translația armonicelor solide regulate conduce la o dezvoltare finită:

$R_{\ell }^m(𝐫+𝐚)=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell }{2\lambda })}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }{R}_{\lambda }^{\mu }(𝐫)R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(𝐚)⟨\lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m⟩,$

în care coeficientul Clebsch-Gordan este dat de:

$⟨\lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m⟩={(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell +m}{\lambda +\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell -m}{\lambda -\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell }{2\lambda })}^{-1/2}.$

Dezvoltarea similară pentru armonicele solide neregulate conduce la o serie infinită:

$I_{\ell }^m(𝐫+𝐚)=\sum _{\lambda =0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell +2\lambda +1}{2\lambda })}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }{R}_{\lambda }^{\mu }(𝐫)I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(𝐚)⟨\lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m⟩$

cu $|r|\le |a|$. Cantitatea dintre paranteze este tot coeficientul Clebsch-Gordan:

$⟨\lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m⟩=(-1{)}^{\lambda +\mu }{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell +2\lambda +1}{2\lambda })}^{-1/2}.$

Referințe

Teorema de sumare a fost demonstrată în multe feluri de diverși autori. Vezi cele două exemple diferite de demonstrare:

• R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
• M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

Forma reală

Printr-o simplă combinație liniară de armonice solide de ±m aceste funcții sunt transformate în funcții reale. Armonicele solide regulate reale, exprimate în coordonate carteziene, sunt polinoame omogene de ordinul l în x, y și z. Forma explicită a acestor polinoame are o anumită importanță. De exemplu, ele apar sub forma orbitei atomice sferice și a momentelor multipolare reale. Expresii carteziene explicite vor fi date pentru armonicele regulate reale.

Combinații liniare

Scriem în acord cu definiția de mai sus:

$R_{\ell }^m(r,\theta ,\phi )=(-1{)}^{(m+|m|)/2}{r}^{\ell }{\mathrm{\Theta }}_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\phi },-\ell \le m\le \ell ,$

cu

${\mathrm{\Theta }}_{\ell }^m(\cos \theta )\equiv {\left[\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\sin }^m\theta \frac{d^m{P}_{\ell }(\cos \theta )}{d{\cos }^m\theta },m\ge 0,$

în care $P_{\ell }(\cos \theta )$ este un polinom Legendre de ordin l. Faza dependentă m este cunoscută drept faza Condon–Shortley

Următoarea expresie definește armonicele solide regulate reale:

$\left(\begin{array}{c}{C}_{\ell }^m\\ S_{\ell }^m\end{array}\right)\equiv \sqrt{2}{r}^{\ell }{\mathrm{\Theta }}_{\ell }^m\left(\begin{array}{c}\cos m\phi \\ \sin m\phi \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}(-1{)}^m& 1\\ -(-1{)}^{m}i& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{R}_{\ell }^m\\ R_{\ell }^{-m}\end{array}\right),m>0.$

iar pentru m = 0:

$C_{\ell }^0\equiv R_{\ell }^0.$

Deoarece transformarea se face prin intermediul matricii unitate, normalizarea armonicelor solide reale sau complexe este aceeași.

Parte z-dependentă

Dacă scriem u = cos θ, derivata m a polinoamelor Legendre poate fi scrisă prin următoare dezvoltare în u:

$\frac{d^m{P}_{\ell }(u)}{d{u}^m}=\sum _{k=0}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }{\gamma }_{\ell k}^{(m)}{u}^{\ell -2k-m}$

cu

${\gamma }_{\ell k}^{(m)}=(-1{)}^k{2}^{-\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell -2k}{\ell })\frac{(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}.$

Deoarece z = r cosθ urmează că, acestă derivată înmulțită cu o putere corespunzătoare a lui r, este un simplu polinom în z:

${\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z)\equiv r^{\ell -m}\frac{d^m{P}_{\ell }(u)}{d{u}^m}=\sum _{k=0}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }{\gamma }_{\ell k}^{(m)}{r}^{2k}{z}^{\ell -2k-m}.$

Parte (x,y)-dependentă

Scriind x = r sinθcosφ și y = r sinθsinφ:

$r^m{\sin }^m\theta \cos m\phi =\frac{1}{2}[(r\sin \theta e^{i\phi }{)}^m+(r\sin \theta e^{-i\phi }{)}^m]=\frac{1}{2}[(x+iy{)}^m+(x-iy{)}^m]$

De asemenea:

$r^m{\sin }^m\theta \sin m\phi =\frac{1}{2i}[(r\sin \theta e^{i\phi }{)}^m-(r\sin \theta e^{-i\phi }{)}^m]=\frac{1}{2i}[(x+iy{)}^m-(x-iy{)}^m].$

Mai mult:

$A_m(x,y)\equiv \frac{1}{2}[(x+iy{)}^m+(x-iy{)}^m]=\sum _{p=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})x^p{y}^{m-p}\cos (m-p)\frac{\pi }{2}$

și

$B_m(x,y)\equiv \frac{1}{2i}[(x+iy{)}^m-(x-iy{)}^m]=\sum _{p=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})x^p{y}^{m-p}\sin (m-p)\frac{\pi }{2}.$

În total

$C_{\ell }^m(x,y,z)={\left[\frac{(2-{\delta }_{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z)A_m(x,y),m=0,1,\dots ,\ell$

$S_{\ell }^m(x,y,z)={\left[\frac{2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z)B_m(x,y),m=1,2,\dots ,\ell .$

Lista celor mai scăzute funcții

Sunt listate cele mai scăzute funcții până la l = 5 inclusiv. Aici ${\overline{\mathrm{\Pi }}}_{\ell }^m(z)\equiv {\left[\frac{(2-{\delta }_{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z).$

---

$\begin{array}{cccccc}{\overline{\mathrm{\Pi }}}_0^0& =1& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^1& =\frac{1}{4}\sqrt{6}(5z^2-r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^4& =\frac{1}{8}\sqrt{35}\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_1^0& =z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^2& =\frac{1}{2}\sqrt{15}z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^0& =\frac{1}{8}z(63z^4-70z^2{r}^2+15r^4)\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_1^1& =1& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^3& =\frac{1}{4}\sqrt{10}& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^1& =\frac{1}{8}\sqrt{15}(21z^4-14z^2{r}^2+r^4)\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_2^0& =\frac{1}{2}(3z^2-r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^0& =\frac{1}{8}(35z^4-30r^2{z}^2+3r^4)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^2& =\frac{1}{4}\sqrt{105}(3z^2-r^2)z\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_2^1& =\sqrt{3}z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^1& =\frac{\sqrt{10}}{4}z(7z^2-3r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^3& =\frac{1}{16}\sqrt{70}(9z^2-r^2)\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_2^2& =\frac{1}{2}\sqrt{3}& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^2& =\frac{1}{4}\sqrt{5}(7z^2-r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^4& =\frac{3}{8}\sqrt{35}z\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^0& =\frac{1}{2}z(5z^2-3r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^3& =\frac{1}{4}\sqrt{70}z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^5& =\frac{3}{16}\sqrt{14}\\ \end{array}$

---

Cele mai scăzute funcții $A_m(x,y)$ și $B_m(x,y)$ sunt:

m	Am	Bm
0	$1$	$0$
1	$x$	$y$
2	$x^2-y^2$	$2xy$
3	$x^3-3x{y}^2$	$3x^{2}y-y^3$
4	$x^4-6x^2{y}^2+y^4$	$4x^{3}y-4x{y}^3$
5	$x^5-10x^3{y}^2+5x{y}^4$	$5x^{4}y-10x^2{y}^3+y^5$

Exemple

De exemplu, partea unghiulară a celei de a noua sferică normalizată g a orbitei atomice este:

$C_4^2(x,y,z)=\sqrt{\frac{9}{4\pi }}\sqrt{\frac{5}{16}}(7z^2-r^2)(x^2-y^2).$

Una din cele 7 componente ale multipolului real de ordinul 3(octupol) ale unui sistem de N sarcini q_i este:

$S_3^1(x,y,z)=\frac{1}{4}\sqrt{6}\sum _{i=1}^N{q}_i(5z_i^2-r_i^2)y_i.$

Armonicele sferice sub forma carteziană

Următoarele formule exprimă armonicele sferice normalizate în coordonate carteziene (faza Condon-Shortley):

$r^{\ell }\left(\begin{array}{c}{Y}_{\ell }^m\\ Y_{\ell }^{-m}\end{array}\right)={\left[\frac{2\ell +1}{4\pi }\right]}^{1/2}{\overline{\mathrm{\Pi }}}_{\ell }^m(z)\left(\begin{array}{c}(-1{)}^m(A_m+i{B}_m)/\sqrt{2}\\ (A_m-i{B}_m)/\sqrt{2}\end{array}\right),m>0.$

iar pentru m = 0:

$r^{\ell }{Y}_{\ell }^0\equiv \sqrt{\frac{2\ell +1}{4\pi }}{\overline{\mathrm{\Pi }}}_{\ell }^0.$

Aici

$A_m(x,y)=\sum _{p=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})x^p{y}^{m-p}\cos ((m-p)\frac{\pi }{2}),$

$B_m(x,y)=\sum _{p=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})x^p{y}^{m-p}\sin ((m-p)\frac{\pi }{2}),$

iar pentru m > 0:

${\overline{\mathrm{\Pi }}}_{\ell }^m(z)={\left[\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}\sum _{k=0}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }(-1{)}^k{2}^{-\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell -2k}{\ell })\frac{(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}{r}^{2k}{z}^{\ell -2k-m}.$

Pentru m = 0:

${\overline{\mathrm{\Pi }}}_{\ell }^0(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor \ell /2\rfloor }(-1{)}^k{2}^{-\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell -2k}{\ell })r^{2k}{z}^{\ell -2k}.$

Exemple

Folosind expresiile de mai sus pentru ${\overline{\mathrm{\Pi }}}_m^{\ell }(z)$, $A_m(x,y)$ și $B_m(x,y)$ obținem:

$Y_3^1=-\frac{1}{r^3}{[\frac{7}{4\pi }\cdot \frac{3}{16}]}^{1/2}(5z^2-r^2)(x+iy)=-{[\frac{7}{4\pi }\cdot \frac{3}{16}]}^{1/2}(5{\cos }^2\theta -1)(\sin \theta e^{i\phi })$

$Y_4^{-2}=\frac{1}{r^4}{[\frac{9}{4\pi }\cdot \frac{5}{32}]}^{1/2}(7z^2-r^2)(x-iy{)}^2={[\frac{9}{4\pi }\cdot \frac{5}{32}]}^{1/2}(7{\cos }^2\theta -1)({\sin }^2\theta e^{-2i\phi })$

Se poate verifica că aceste corespund cu funcțiile listate în tabelul armonicelor sferice.