Distribuția binomială

În teoria probabilităților și statistică distribuția binomială este o distribuție de probabilitate discretă reprezentând numărul de succese intr-o secvență de n încercări Bernoulli (experimente da/nu) cu probabilitate de succes p.

Exemple

La aruncarea unui zar de 10 ori, numărul de apariții a feței cu numărul 6, urmează o distribuție binomială.

Daca bruneții reprezintă 40% din populația unei tări, numărul de persoane brunete intr-un grup aleator de 100 de persoane are o distribuție binomială

Presupunem că la aruncare unei monede părtinitoare iese cap cu probabilitate de 0.3. Care este probabilitate de a obține de 0, 1, 2, ..., 6 ori cap din șase aruncări?

$Pr(0cap)=f(0)=Pr(X=0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})0.3^0(1-0.3{)}^{6-0}=0.117649$

$Pr(1cap)=f(1)=Pr(X=1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})0.3^1(1-0.3{)}^{6-1}=0.302526$

$Pr(2cap)=f(2)=Pr(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})0.3^2(1-0.3{)}^{6-2}=0.324135$

$Pr(3cap)=f(3)=Pr(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})0.3^3(1-0.3{)}^{6-3}=0.18522$

$Pr(4cap)=f(4)=Pr(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})0.3^4(1-0.3{)}^{6-4}=0.059535$

$Pr(5cap)=f(5)=Pr(X=5)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})0.3^5(1-0.3{)}^{6-5}=0.010206$

$Pr(6cap)=f(6)=Pr(X=6)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})0.3^6(1-0.3{)}^{6-6}=0.000729$

Caracteristici

Funcția de distribuție

Daca variabila X urmează o distribuție binomială cu parametri n si p, X ~ B(n, p), probabilitatea obținerii a k succese in n incercări este dată de funcția de distributie:

$\mathrm{Pr}(K=k)=f(k;n,p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

pentru k = 0, 1, 2, ..., n unde :$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ este coeficientul binomial, de unde vine și numele distribuției. Interpretarea formulei este următoarea: k succese apar cu probabilitate p^k și n − k insuccese apar cu probabilitatea (1 − p)^n − k . Cele k succese pot apărea oriunde printre cele n încercări, existând astfel $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ moduri diferite de a distribui cele k succese într-o serie de n încercări.

Funcția cumulativă

Funcția cumulativă poate fi calculată ca:

$F(x;n,p)=\mathrm{Pr}(X\le x)=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}.$

unde x un număr intreg mai mic ca n.

Indicatori fundamentali

• medie: np
• mediana: partea întreagă a np
• abaterea standard: $\sqrt{np(1-p)}$

Vezi și

• Grad de libertate (statistică)