Unitatea imaginară

Unitatea imaginară, notată de obicei cu Format:Mvar, este un număr al cărui pătrat este $-1$, adică astfel încât $i^2=-1$.

Cum nu există numere reale care ridicate la pătrat să fie numere negative, acest număr a fost numit imaginar de Rene Descartes, iar de aici rezultă notația Format:Mvar, dată de Euler.

Existența unității imaginare este baza construcției numerelor complexe.

Definiție

Unitatea imaginară Format:Mvar este definită ca fiind o soluție a ecuației:

$x^2+1=0$

Dată fiind această soluție, singura cealaltă soluție a ecuație este Format:Mvar. Nu contează care soluție este notată Format:Mvar și care soluție este notată Format:Mvar, ambele soluții fiind imposibil de distins Format:Lang.

Notații alternative

Unitatea imaginară este uneori scrisă ca $\sqrt{-1}$. Însă, această expresie este de evitat pentru că nu este riguroasă — rădăcina pătrată fiind definită numai pentru numere reale pozitive — și conduce la niște erori. Spre exemplu, următorul calcul este incorect:

$-1=i\cdot i=\underset{\text{expresie nedefinită}}{\underbrace{\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}}}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$    (incorect)

În fizică, mai ales în ingineria electronică, se mai folosește simbolul Format:Mvar, pentru a evita o confuzie cu intensitatea curentului electric. Această notație se folosește și în niște limbaje de programare, precum Python:

>>> x = 1 + 1j
>>> type(x)
<class 'complex'>

Proprietăți

• Modulul lui Format:Mvar este 1: $|i|=1$
• Argumentul principal a lui Format:Mvar este $\pi /2$: $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(i)=\pi /2$
• Coordonatele carteziene ale lui Format:Mvar în planul complex sunt $(0,1)$, iar coordonatele polare sale sunt $(1,\pi /2)$.
• O reprezentare exponențială a lui Format:Mvar este $i=e^{i\pi /2}$.
• Inversul lui Format:Mvar este propriul său opus: $1/i=-i$
• Conjugatul lui Format:Mvar este propriul său opus: $\overline{i}=-i$
• Numărul Format:Mvar este o rădăcină de ordin patru a unității, iar puterile întregi sale se repetă periodic:

$i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,\dots$

Vezi și

• Număr complex
• Identitatea lui Euler

Legături externe

• Format:En icon Imaginary unit – Mathworld