Inducție matematică

Inducţia matematică poate fi asemănată efectului căderii pieselor de domino.

Inducția matematică („raționamentul prin recurență” sau „inducția completă infinită”) este o modalitate de demonstrație utilizată în matematică pentru a stabili dacă o anumită propoziție este valabilă pentru un număr nelimitat de cazuri, contorul cazurilor parcurgând toate numerele naturale.

Istoric

Primele semne de utilizare a acestei metode pot fi găsite în demonstrația lui Euclid care încearcă să arate că numărul numerelor prime este infinit.

În cadrul matematicii indiene, o metodă similară se găsește la matematicianul Bhaskara, așa-numita metodă chakravala.

În jurul anului 1000 d.Hr., se regăsește, la matematicianul persan Al-Karaji (c. 953 - c. 1029), aplicarea metodei inducției la determinarea coeficienților binomiali (la ceea ce mai târziu avea să se numească binomul lui Newton), la studiul triunghiului lui Pascal.

Matematicianul islamic Ibn Al-Haytham (965 - 1039) aplică această metodă la calculul unor puteri cu exponent număr întreg.

Musulmanul Al-Maghribī al-Samaw'al (c. 1130 - c. 1180) utilizează inducția, într-o formă asemănătoare celei moderne, ducând mai departe studiile lui Al-Karaji privind triunghiul lui Pascal.

Prima expunere cu adevărat riguroasă a principiului inducției apare la matematicianul italian Francesco Maurolico (1494 - 1575). Acesta, în lucrarea Arithmeticorum libri duo (1575), demonstrează că suma primelor n numere impare este n².

Principiul inducției complete a fost descoperit și de Jakob Bernoulli (1713), Pascal (1653) și Fermat.

Descriere

Demonstrația prin inducție că propoziția $P(n)$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$ se compune din doi pași:

1. Cazul inițial: demonstrarea faptului că propoziția este valabilă pentru $n=0$ .
2. Pasul de inducție: Se dovedește că, pentru orice $n$ natural, $P(n)$ implică $P(n+1)$.

Exemple

Exemplul 1

Să demonstrăm formula utilizată pentru suma primelor n numere naturale:

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

• Inițializare:

pentru  $n=1$   avem:   $1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1$ .

Formula este verificată în cazul inițial.

• Iterare:

Trebuie să arătăm că, dacă formula este valabilă pentru $n=m$ , atunci este valabilă și pentru   $n=m+1$.

Să presupunem formula valabilă pentru $n=m$ :

$1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$ .

Adăugând la ambii membri $m+1$ , obținem:

$1+2+\cdots +m+(m+1)=\frac{m(m+1)}{2}+(m+1)$ .

Calculând, obținem:

$1+2+\cdots +(m+1)=\frac{(m+1)(m+2)}{2}$.

Astfel am arătat că:

$P(m)⟹P(m+1)$ .

Exemplul 2

Să calculăm suma primelor numere impare:

$1=1$

$1+3=4$

$1+3+5=9$

$1+3+5+7=16$.

$1+3+5+7+9=25$.

Ajungem la presupunerea: Suma primelor numere impare, de la 1 până la $2n-1$ este $n^2$,   adică:

$\sum _{i=1}^n(2i-1)=n^2$ .

Pentru a dovedi acest lucru prin metoda inducției complete, trebuie să demonstrăm că:

1. $\sum _{i=1}^1(2i-1)=1^2$

2. Dacă $\sum _{i=1}^n(2i-1)=n^2$ , atunci $\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=(n+1{)}^2$.

Primul punct e simplu de dovedit. Pentru cel de-al doilea folosim identitățile:

$\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=1}^n(2i-1)+(2(n+1)-1)=n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1=(n+1{)}^2$ .

Vezi și

• Binomul lui Newton
• Șirul lui Fibonacci
• Inegalitatea lui Jensen
• Factorial

Legături externe

• Format:En icon Metoda inducției la Wolfram MathWorld.
• Format:En icon Inducția la Cut-the-Knot.
• Format:Fr icon Fabio Acerbi (2000) A Proof by Complete Induction Format:Webarchive, Archive for History of Exact Sciences
• Format:De icon Inducție completă
• Format:Ro icon Exemple de exerciții rezolvate.