Teorema lui Heine

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

Enunț

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

este și uniform-continuă.

În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f   :   [a , b]   →   $ℝ$

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{\alpha }_{xϵ}>0$

astfel încât

$\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in [a,b],|x-x^{\prime }|<{\alpha }_{xϵ}\Rightarrow |f(x)-f(x^{\prime })|<ϵ$

Deoarece $\alpha$ poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\exists }{\alpha }_x$

devine

$\mathrm{\exists }\alpha ,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{\alpha }_{ϵ}>0/\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in [a,b],|x-x^{\prime }|<{\alpha }_{ϵ}\Rightarrow |f(x)-f(x^{\prime })|<ϵ.$

Demonstrație

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\alpha >0$

astfel încât:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in X,d(a,b)<\alpha \Rightarrow d^{\prime }(f(a),f(b))<ϵ$ .

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există $ϵ>0$ astfel încât pentru orice $\alpha =\frac{1}{n}$

putem găsi două puncte $a_n$ și $b_n$ în X cu:

$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ și $d^{\prime }(f(a_n),f(b_n))>ϵ$

Șirul $a_n$ are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

$\varphi$

iar limita sa $a$ .

Deoarece

$d(a_{\varphi (n)},b_{\varphi (n)})<\frac{1}{\varphi (n)}$

avem

$(b_{\varphi (n)})$ convergent, cu limita $a$

Așadar, dacă n tinde către $+\mathrm{\infty }$

și deoarece f este continuă:

$d^{\prime }(f(a),f(b))\ge ϵ$ .

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi și

• Georg Cantor

Legături externe

• Teorema Lui Heine la PlanetMath
• Demonstrația teoremei