Funcție continuă

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct al graficului dacă o modificare mică a argumentului în jurul punctului dat produce o modificare mică a imaginii funcției și, mai mult, se poate limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Continuitatea este o noțiune clarificată la începutul secolului al XIX-lea prin contribuțiile lui Cauchy.

Continuitate într-un spațiu metric

Dacă $f:X\to Y$, unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, $X=Y=ℝ$), funcția f se numește continuă în punctul $x_0\in X$ dacă pentru orice valoare $\epsilon \in (0,\mathrm{\infty })$ există un ${\delta }_{\epsilon }\in (0,\mathrm{\infty })$ astfel încât $\mathrm{\forall }x\in X\{x_0\},d_X(x,x_0)<{\delta }_{\epsilon }$, să aibă loc $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$, unde $d_X$ reprezintă distanța din spațiul metric X, iar $d_Y$ reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare $x_0$ dacă $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu se poate formula continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

$f:ℝ\to ℝ,f(x)=\{\begin{array}{ccc}0& ,& x\le 0\\ 1& ,& x>0\end{array}$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

$f:ℝ\to ℝ,f(x)=\{\begin{array}{ccc}0& ,& x=0\\ \sin \frac{1}{x}& ,& x\ne 0\end{array}$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Continuitatea funcțiilor reale

Definiția 1. Fief o funcție definită pe $E\subseteq ℝ$ și $x_0\in E.$ Se spune că funcția f este continuă în punctul $x_0$ dacă pentru orice $ϵ>0,(\mathrm{\exists })\delta (ϵ)>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E$ cu proprietatea $|x-x_0|<\delta (ϵ),$ se respectă relația:   $|f(x)-f(x_0)|<ϵ.$

Definiția 2 Se spune că funcția $f:E\subseteq ℝ\to ℝ$ este continuă în punctul $x_0\in E$ dacă pentru orice șir $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ convergent către $x_0,$ șirul valorilor funcției $\{f(x){\}}_{n\in \mathbb{N}}$ converge către $f(x_0).$

Definiția 3. Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului $x_0$ este continuă în $x_0$ dacă f are limita în punctul $x_0\in E$ și dacă această limită este egală cu $f(x_0).$

Vezi și

• Limită a unei funcții
• Derivată

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.