Spațiu vectorial normat

Un spațiu vectorial normat, numit pe scurt spațiu normat, este un spațiu vectorial real sau complex $X$ pe care este definită o funcție, $\Vert \cdot \Vert :X\to [0,\mathrm{\infty }),$ numită normă, având următoarele proprietăți:

• este pozitiv definită: $\Vert x\Vert =0$ dacă și numai dacă $x=0,$
• $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$ pentru orice vector $x\in X$ și pentru orice scalar $\alpha \in ℝ$ sau $\alpha \in ℂ$
• $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$, $\mathrm{\forall }x,y\in X$

Norma definește o distanță $d(x,y)=\Vert x-y\Vert .$ Astfel, orice spațiu normat este spațiu metric.

Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach.

Exemple

a) Următoarele aplicații sunt norme pe $ℝ:$

1. $\Vert x\Vert =\sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2},\mathrm{\forall }x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {ℝ}^n.$
2. $\Vert x\Vert =\sum _{k=1}^n|x_k|,\mathrm{\forall }x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {ℝ}^n.$
3. $\Vert x\Vert =\sup |x_k|,k=\overline{1,n},\mathrm{\forall }x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {ℝ}^n.$

b) Fie $ℳ=\{A=\left[\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right],cua,b,c\in ℝ,i^2=-1\}$ și $f:ℳ\to {ℝ}_{+},f(A)=\sqrt{\det A}$

Atunci $(ℳ,\Vert \cdot \Vert )$ este spațiu normat în raport cu norma dată prin $\Vert A\Vert =f(A).$